1、2014届江西省抚州一中高三年级第四次同步考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 为（ ） A B C D 答案： 试题分析：因为 ，所以，故选 考点：集合的运算 已知 的最大值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号。所以当 时， 有最大值为 ，选 A. 考点：基本不等式 已知函数 上有两个零点 ,则的值为（ ） A B C D 答案： 试题分析：由 ，在 上有两个零点 ,则这两个零点关于 ，即 对称，所以 ，则 考点：三角函数的图象与性质 若 是 的重心， 分别是角 的对边，若则角 （ ） A B C D 答案：
2、试题分析： 由， 与 不共线， ， ， 中，由余弦定理可求得 ， 考点：余弦定理，向量在几何中的应用 函数 的图象只可能是（ ） 答案： 试题分析：因为 是偶函数，图像关于 轴对称，又因为二次函数开口向下，当 时，函数值小于零，故选 考点：函数图像 若 sin2x、 sinx分别是 sin与 cos的等差中项和等比中项，则 cos2x的值为（ ） A B C D 答案： 试题分析：若 、 分别是 与 的等差中项和等比中项，所以，由此可得 ，即 ，解得 ，又由 ，得 ，所以 不合题意。故选A 考点：等差中项和等比中项的定义以及三角变换 已知等比数列 的首项 公比 ，则( ) A 50 B 35
3、C 55 D 46 答案： 试题分析：因为等比数列 的首项 公比 ，所以 ，故，故选 考点：等比数列的性质，对数的运算 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A命题 “若 则 ”的逆否命题为真命题 . B函数 的定义域为 . C命题 “ 使得 ”的否定是： “ 均有 ” . D “ ”是 “直线 与 垂直 ”的必要不充分条件 . 答案： 试题分析： A命题 “若 则 ”的逆否命题为真命题是正确，因为原命题为真命题，而逆否命题与原命题等价，所以逆否命题为真命题； B函数 的定义域为 是错误，因为函数 的定义域为 ， C命题 “ 使得 ”的否定是： “ 均有 ” 是错误，命题 “ 使得 ”的否定是：
4、 “ 均有”； D “ ”是 “直线 与 垂直 ”的必要不充分条件是错误， “直线 与 垂直 ”等价于 ，即 ，故“ ”是 “直线 与 垂直 ”的充分不必要条件 考点：命题真假判断 已知 , 满足约束条件 ,若 的最小值为 ,则 （ ） A B C D 答案： 试题分析：先根据约束条件画出可行域，设 ，将最值转化为 轴上的截距，当直线 经过点 B时， 最小，由 得： ，代入直线 得， 故选 考点：简单线性规划 等差数列 中，如果 ， ，则数列 前 9项的和为等 ( ) A 297 B 144 C 99 D 66 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，因为，所以 ，即 ， ，得，则数列 前 9
5、项的和为： ，故选 考点：等差数列的性质及前 项的和 填空题 设集合 ，如果 满足：对任意 ，都存在 ,使得，那么称 为集合 的一个聚点，则在下列集合中：（ 1） ；（ 2） ;(3) ;(4) ，以 为聚点的集合有 （写出所有你认为正确的结论的序号） 答案：（ 2）（ 3） 试题分析：（ 1）对于某个 a 1，比如 a=0.5，此时对任意的 x Z+ Z-，都有|x-0|=0或者 |x-0|1，也就是说不可能 0 |x-0| 0.5，从而 0不是 Z+ Z-的聚点；（ 2）集合 x|x R， x0，对任意的 a，都存在 x= （实际上任意比 a小得数都可以），使得 0 |x|= a， 0是集
6、合 x|x R， x0的聚点；（ 3）集合中的元素是极限为 0 的数列，对于任意的 a 0，存在 n ，使 0 |x|= a， 0是集合 的聚点；（ 4）集合中的元素是极限为 1的数列，除了第一项 0之外，其余的都至少比 0大 ， 在 a 的时候，不存在满足得 0 |x| a的 x， 0不是集合 的聚点故答案：为（ 2）（ 3） 考点：新定义问题，集合元素的性质，数列的性 质 已知函数 ，函数 ，若存在，使得 成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：当 时 , ,又当 时 , ,有,因 ,有 ,要条件成立 ,就要 或,即 或 ,故 考点：函数图像与性质 设函数 的定义域为 R，且 是以
7、3为周期的奇函数， , ,且 ，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为 是以 3为周期的奇函数，所以，即 ，所以由， 得，即 ，所以 ，即 或 ，解得或 ，故答案：为： 考点：函数的周期性与奇函数性 已知实数 满足 ，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：由 得， ，它是以 为圆心，以为半径的圆，则 表示的是圆上的点与原点连线的斜率，它的最大值为相切时最大，由圆的性质可求出此时的斜率为 ，故 的最大值为 考点：圆的切线 若 ， ， ，则的值为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，故 ， ，故 考点：两角和与差的三角函数恒等变化 解答题 已知函数 （ ）当 时，求函数 的定义域； （ 2
8、）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围 答案：（ ）函数 的定义域为 ；（ ） 的取值范围是 试题分析：（ ）当 时，求函数 的定义域，求函数定义域首先考虑，分母不等于零，偶次方根被开方数大于等于零，对数的真数大于零，此题将代入后，考虑对数的真数大于零，即 ，这是一个解绝对值不等式，可分类讨论来解，也可数形结合，从而解出不等式，得函数 的定义域；（ ）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围，这是一个恒成立问题，首先利用对数函数的单调性，去掉对数符号，转化为代数不等式，然后把不等式化为含 的放到不等式一边，不含 的放到不等式另一边，转化为求最大值与最小值问题，本题整理得 ，只需求出
9、的最小值即可 试题：（ ）由题设知： ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集： ，或 ，或 解得函数 的定义域为 ； （ ）不等式 即 ， 时，恒有 ， 不等式 解集是 R， 的取值范围是 考点：函数的定义域，绝对值不等式的解法 已知正项数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中项 . （ ）若 ，且 ，求数列 的通项公式； （ ）在（ ）的条件下，若 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）已知正项数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中项，若 ，且 ，求数列 的通项公式，此题关键是求 ，要求 利用 是 与 的等比中项，得 ，当 时，求得 ，从而得 ，再由 ，得 ，这
10、样得数列 是以 2为公比的等比数列，从而得数列 的通项公式；（ ）若 ，求数列 的前 项和 ，首先求数列 的通项公式，由 ，只需求出数列 的通项公式，由前面可知 ，可利用 来求，求得 ，得 ，这是一个等比数列与一个等差数列对应项积所组成的数列，求它的和可用错为相减法来求 试题：（ ） ，即 ，当 时， ， ，当 时， ， ，即 ， , 数列 是等差数列，由 得， 数列 是以 2为公比的等比数列， ， （ ） ， ， 两边同乘以 得 ， - 得 考点：求数列的通项公式，数列求和 设 的内角 所对的边长分别为 ,且满足 （ ）求角 的大小； （ ）若 ， 边上的中线 的长为 ，求的面积 答案：（
11、） ；（ ） 试题分析：（ ）求角 的大小，由于三角形的三边满足 ，含有平方关系，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得 ，把 代入，可求得 ，从而可得角 的值；（ ）由于 ，关系式中，即含有边，又含有角，需要进行边角互化，由于 ，故利用正弦定理把边化成角，通过三角恒等变换求出，得三角形为等腰三角形，由于 边上的中线 的长为 ，可考虑利用余弦定理来求 的长，由于 的长与 的长相等，又因为 ，从而可求出 的面积 试题：（ ）因为 ,由余弦定理有 ，故有,又 ，即： 5分 （ ）由正弦定理： 6分 可知：9分 ，设 10分 由余弦定理可知： 11分 12分 考点：解三角形，求三角形的面积 设函数 ，
12、若 在点 处的切线斜率为 （ ）用 表示 ； （ ）设 ，若 对定义域内的 恒成立，求实数 的取值范围； 答案：（ ） ；（ ）实数 的取值范围为 试题分析：（ ）设函数 ，若 在点 处的切线斜率为 ，用 表示 ，与函数的切线有关，可考虑利用导数来解，对 求导，利用 ，即可得出；（ ）若 对定义域内的 恒成立，求实数的取值范围，即 ，这样转化为求 的最大值，由于 含有对数函数，可考虑利用导数来求 的最大值，求导得 ，含有参数 ，需对参数 进行分类讨论，分别求出最大值，验证是否符合题意，从而确定实数 的取值范围 试题：（ ） ，依题意有： ； （ ） 恒成立 由 恒成立，即 ， 当 时， ， ，
13、 ， 单调递减，当 ， 单调递增，则 ，不符题意； 当 时， （ 1）若 ， ， ， ， 单调递减；当 ， 单调递增，则 ，不符题意； （ 2）若 ，若 ， ， ， ， 单调递减， 这时 ，不符题意； 若 ， ， ， ， 单调递减，这时，不符题意； 若 ， ， ， ， 单调递增；当 ， 单调递减，则 ，符合题意； 综上，得 恒成立，实数 的取值范围为 考点：导数的几何意义，导数与单调性，导数与最值，分类讨论 下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第 个图形中有 个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为 . 图 1 图 2 图 3 图 4 （ ）求出 , , , ; （ ）找出 与 的关系，并
14、求出 的表达式； （ ）求证： ( ). 答案：（ ） 12,27,48,75. （ ） ， （ ）详见 试题分析：（ ）求出 , , , ，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即 ，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即 ，以此类推可求出 , ；（ ）观察, , , 可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即 ，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出 ， ， ， ， ，把这 个式子叠加，即可得出 的表达式；（ ）求证：( )， 先求出的关系式，得 ，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即 ，这样既可证明 试题：（ ）由题意有， ， ， ， ， （ ）由题意及（ ）知， ， 即 ，所以 ， ， ， 5分 将上面 个式子相加，得： 6分 又 ，所以 7分 （ ） ， 9分 当 时， ，原不等式成立 10分 当 时， ，原不等式成立 11分 当 时， ， 原不等式成立 13分 综上所述，对于任意 ，原不等式成立 14分 考点：归纳推理，放缩法证明不等式
