1、2014届江西省百强中学高三上学期第二次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在区间 上的最大值是（ ） A -2 B 0 C 2 D 4 答案： C 试题分析： ，所以 ，由于，解得 ，当 时， ，当 时， ，故函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故函数在 处取得极大值，亦即最大值，即 ，故选 C. 考点：利用导数求函数的最值 设函数 有两个极值点 ，且 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，定义域为 ，则 、 是方程 的两个不等的正根，由韦达定理得 ，所以 ， 因为 ， ，故有 ，且有 ，即，所以 ， ，令，则有 ，所以 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增
2、，所以 ，故选 C. 考点： 1.函数的极值； 2.函数的单调性 已知函数 上有两个零点 ,则的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，由于 ，故 ， 由于函数 在区间 上有两个零点，所以，所以 ， 所以 ，故选 D. 考点： 1.三角函数的图象； 2.三角函数的对称性 若函数 的图象在 上恰有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当 且 时，则有 ，且函数在区间 上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有 ，解得 ，故选 D. 考点：三角函数的极值 函数 的值域为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，其中 ， ，且 为锐角
3、， 故当 时，函数 取得最大值 ，且函数在 上单调递增，在区间 上单调递减，故函数 在 或 处取得最小值，当 时，当 时， ，所以 ，故函数 在区间 上的值域为 ，故选 B. 考点： 1.辅助角变换； 2.三角函数的最值 现有四个函数： 的图象 (部分 )如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数 为偶函数，故第一幅图象对应的函数的序号为 ；第二幅图象所对应的函数为非奇非偶函数，而函数 与函数 均为奇函数，故第二幅图象所对应的函数的序号为 ， 对于第四幅图象，由于 ，则当 ， ，当 ， ，故第四幅图象所对应的函数的序
4、号为 ，所以第三幅图象所对应的函数的序号为 ，故选 A. 考点：函数的奇偶性 对于 ，有如下四个命题 : 若 ，则 为等腰三角形， 若 ，则 是直角三角形 若 ，则 是钝角三角形 其中正确的命题个数是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：对于命题 ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，故 也可能是直角三角形，故命题 为假命题；对于命题 ，取， ，则 ，此时 为钝角三角形，故不一定是直角三角形，故命题 为假命题；对于命题 ，由于，所以 ，故有 ，故角 为钝角，即为钝角三角形，所以命题 为真命题，故选 A. 考点： 1.诱导公式； 2.正弦定理； 3.余弦定理 在 中角 、 、 的对边分别是 、
5、 、 ，若，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，则有 ，则有 ，即 ，即 ，则有 ，即，因为 ， 所以 ，故有 ，解得 ，因为 ，所以 ，故选 C. 考点： 1.正弦定理； 2.边角互化 把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变 )，得到的图象所表示的函数是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：，故选C. 考点：三角函数图象变换 函数 图象的一条对称轴方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于正弦曲线 的图象的对称轴的方程为，函数 图象的对称轴方程满足，即 ，当 时，函数的图象的一条
6、对称轴方程为 ，故选 A. 考点：三角函数图象的对称性 填空题 给出下列个命题： 若函数 为偶函数，则 ； 已知 ,函数 在 上单调递减，则 的取值范围是； 函数 （其中 ）的图象如图所示，则 的式为 ； 设 的内角 所对的边为 若 ，则 ； 设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是 . 其中正确的命题为 _. 答案： . 试题分析：对于命题 ，由于正弦曲线的对称轴方程为 ，且函数 为偶函数，则直线 是它的一条对称轴，则 ，解得 ；对于命题 ，由于 ，当 时， ，且函数 在 上单调递减，则有 ，解得 ，则，所以 ，由于 ，所以 ，所以，因为 ，所以 ，从而有 ，故命题
7、为真命题；对于命题 ，由图象知， ， ，解得 ，所以 ， 且函数在 附近单调递减，则有 ，因为 ，所以 ，则有 ，解得 ，所以函数，命题 为真命题；对于命题 ， ， 所以 ，故，故 为锐角，故命题 为假命题；对于命题 ，由题意知， ， 当 时， 取最小值 ，故命题 为真命题 .故以上正确的命题是 . 考点： 1.三角函数的对称性； 2.三角函数的单调性； 3.三角函数的图象； 4.余弦定理； 5.三角函数的周期性 已知函数 ，函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：当 时， ，此时函数 单调递减，则有， ，当 ， ，此时，则函数 在 上单调递增，即 ，故函
8、数 在 上的值域为 ，所以 ，所以 ，由于 ， ，故有 或 ，解得 . 考点： 1.函数的值域； 2.存在性命题 已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则 的值为 _ . 答案： . 试题分析：作出函数 在区间 的图象如下图所示，设方程的三个根从小到大依次为 、 、 ，则 ，所以 ，且 ，由于 、 、 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以. 考点： 1.函数的图象； 2.等比中项的性质 己知 三边长成等比数列，公比为 ，则其最大角的余弦值为 _. 答案： . 试题分析：设 ，最大角为角 ，则有 ， ，所以. 考点：余弦定理 曲线 与直线 和 所围成的平面图形的面积为
9、 _. 答案： 试题分析：在同一坐标系中作出曲线 和直线 以及直线 的图象如下图所示， 则所求区域面积为 . 考点：定积分 解答题 设函数 （ 1）写出函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间； （ 2）当 时，函数 f（ x）的最大值与最小值的和为 ，求 的值 答案：（ 1）函数 的最小正周期为 ，单调递增区间为；（ 2） . 试题分析：（ 1）先将函数 的式化为 的形式，在的前提下，利用周期公式 即可计算出函数 的最小正周期，再利用 解出这个不等式即为函数 的单调递增区间；（ 2）先由 计算出 的取值范围，然后结合函数的图象确定函数 的最小值和最大值，列式求出 的值 . 试题：（ 1）
10、， ，故函数 的最小正周期为 ， 令 ，解得 ， 故函数 的单调递增区间为 ； （ 2） ，所以 ， 故当 时，函数 取最小值，即 ， 当 时，函数 取最大值，即 ， 由题意知， ，解得 . 考点： 1.三角函数的周期； 2.三角函数的单调区间； 3.三角函数的最值 已知函数 的最大值为 ，且 ，是相邻的两对称轴方程 . （ 1）求函数 在 上的值域 ; （ 2） 中 , ，角 所对的边分别是，且 ， ，求 的面积 . 答案：（ 1）函数 在 上的值域为 ；（ 2） 的面积为. 试题分析：（ 1）先根据函数 的最大值为 列式解出 的值，并将函数 的式化为 的形式，根据三角函数两条相邻对称轴之间
11、的距离与周期的关系，求出函数 的最小正周期，进而求出 的值，然后再由 ，确定出 的取值范围，然后结合函数 的图象确定函数 的值域；（ 2）先利用正弦定理求出 的外接圆的半径，然后利用正弦定理中的边角互化的思想并结合题中的等式将 与 所满足的等式确定下来，再利用余弦定理求出 的值求出来，最后再利用三角形的面积公式 即可算出 的面积 . 试题：（ 1）由题意 , 的最大值为 ,所以 . 而 ,于是 , . 是相邻的两对称轴方程 . T=2= , =1 , 的值域为 . （ 2）设 ABC的外接圆半径为 ,由题意 ,得 . 化简 ,得 . 由正弦定理 ,得 , . 由余弦定理 ,得 ,即 . 将 式
12、代入 ,得 . 解得 ,或 (舍去 ). . 考点 ： 1.三角函数的最值； 2.三角函数的周期； 3.正弦定理； 4.余弦定理； 5.三角形的面积公式 设函数 （ 1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值； （ 2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围 答案：（ 1） 的最大值为 ；（ 2）实数 的取值范围为. 试题分析：（ 1）先将函数 的导数 求出来，并将不等式 在上恒成立转化为二次函数在 恒成立，利用 列相应的不等式，求出实数的取值范围，进而确定 的最大值；（ 2）先利用导数求出函数 的极大值与极小值，由于方程 有且只有一个实数根，利用 或求出实数 的取值范围 . 试题：（ 1）
13、 , 因为 , , 即 恒成立 , 所以 , 得 ，即 的最大值为 （ 2）因为 当 时 , ;当 时 , ;当 时 , ; 所以 当 时 , 取极大值 ; 当 时 , 取极小值 ; 故当 或 时 , 方程 仅有一个实根 . 解得 或 . 考点： 1.二次不等式恒成立； 2.函数的极值； 3.函数的零点个数 已知函数 （其中 ）， 、是函数 的两个不同的零点，且 的最小值为 （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先将函数 的式化为 的形式，利用函数 图象两个对称中心点之间距离的最小值与周期之间的关系求出函数的最小正周期 ，再利用公式 即可
14、求出 的值；（ 2）先利用 的值求出 的值，然后将 利用诱导公式转化为 ，最后再利用二倍角公式进行计算 . 试题：（ 1） ， ， 或 (k0)或 （ 2） ，由 ，得 ， 考点： 1.三角函数的周期； 2.诱导公式； 3.二倍角公式 . （ 1）若 求 的单调区间及 的最小值 ; （ 2）试比较 与 的大小 . ,并证明你的结论 . 答案：（ 1）函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，函数的最小值为 ； （ 2） . 试题分析：（ 1）先将 代入函数式，并将函数 的式表示为分段函数，然后求出对应定义域上的单调区间，并求出相应的最小值；（ 2）利用（ 1）的结论证明 ，再利用放缩法得到 ，最
15、后借助同向不等式具备相加性以及累加法得到 . 试题：（ 1） 当 时 , 在区间 上是递增的 当 时 , 在区间 上是递减的 . 故 时 , 的增区间为 ,减区间为 , (2) 由 (1)可知 ,当 时 ,有 即 = . 考点： 1.分段函数； 2.三角函数的单调区间； 3.三角函数的最值； 4. 放缩法证明数列不等式 已知函数 . （ 1）求函数 在 上的最小值； （ 2）若函数 有两个不同的极值点 、 且 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1）详见；（ 2）实数 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）先求出函数 在 上的单调区间，并求出相应的极小值点，然后就极小值点是否在区间 内进行分类讨论，
16、分析函数在区间 上的单调性，从而求出最小值；（ 2）将函数在定义域上有两个极值点等价转化为导函数方程在定义域上有两个不等的实根，借助参数分离法先求出当函数有两个极值点时， 的取值范围，然后求出当 时的取值，利用图象的特点即可以得到当 时，参数 的取值范围 . 试题：（ 1） ，所以 ，令 ，解得 ，列表如下： 减 极小值 增 当 时，即当 时，则函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 故函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即 ； 当 时，函数 在区间 上单调递增，此时函数 在处取得最小值， 即 ， 综上所述 ； （ 2） ，所以 ， 函数 有两个极值点 、 ， 等价于方程 有两个不等的正实
17、根， 令 ，则 ，令 已知对任意 ， 恒成立（其中 ），求 的最大值 . 答案： 的最大值为 . 试题分析：利用二倍角公式 ，利用换元法 ，将原不等式转化为二次不等式 在区间 上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出 的最大值，但是在对 时的情况下，主要对二次函数的对称轴 是否在区间 进行分类讨论，再将问题转化为 的条件下，求 的最大值， 试题：由题意知， 令 ， ，则当 ， 恒成立，开口向上， 当 时， ，不满足 ， 恒成立， 当 时，则必有 （ 1） 当对称轴 时，即 ，也即 时，有 ， 则 ， ，则 ，当 ， 时， . 当对称轴 时，即 ，也即 时， 则必有 ，即 ，又由（ 1）知， 则由于 ，故只需 成立即可， 问题转化为 的条件下，求 的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求 的最大值 . 法一：（三角换元）把条件配方得： ， ，所以， ； 法二：（导数） 令 则即求函数的导数 ,椭圆的上半部分 ； 法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知： ，当且仅当 ,即 及时等号成立 .即当 时， 最大值为 2. 综上可知 . 考点： 1.二倍角； 2.换元法； 3.二次不等式的恒成立问题； 4.导数； 5.柯西不等式
