1、2014届江西稳派名校学术联盟高三 12月调研文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 得 ，所以 ，所以 考点：集合的运算 随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从 A点出发沿曲线段B 曲线段 C 曲线段 D，最后到达 E点。某观察者站在点 M观察练车场上匀速行驶的小车 P的运动情况，设观察者从点 A开始随车子运动变化的视角为 AMP（ ），练车时间为 t，则函数 的图像大致为（ ） 答案： D 试题分析：观察图像，可知随着时间的增加，刚开始角度为 0并且在增
2、加，排除 A；在蓝线中间一段变化不大，然后角度减少到达红线段，故排除 B、 C，接着角度增加，后面又略减少到绿线段，之后一直增加，并且角度要大小前面几段，故选 D 考点：函数的图像与性质 函数 ，的图像如图所示，则函数， 的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位后，得到 y g（ x）的图像，则函数 在（ 0， ）上（ ） A是减函数 B是增函数 C先增后减函数 D先减后增函数 答案： A 试题分析：由图像可知 ，故 ，解得 ，又当 x 0 时，故 ，又直线 y kx 1过（ -3， 0）、（ 0， 1），因此 k ，故 ，平移后的图像的式为，由 ，解得 ，故选 A 考点：三
3、角函数图像与性质 抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。现已知抛物线 的焦点为 F，过抛物线上点的切线为 ，过 P点作平行于 x轴的直线 m，过焦点 F作平行于 的直线交 m于 M，则 的长为（ ） A B CD 答案： C 试题分析：如图 所示，由抛物线的光学性质可知： ，又 ，所以 ，则 ，所以 ，故选 C. 考点：抛物线的性质 已知实数 x， y满足 ，则 r的最小值为（ ） A 1 B CD 答案： B 试题分析：在平面直线坐标系中画出不等式组 表示的平面区域 D，由于圆 经过平面区域 D，因此其半径 r 的最小值为圆心（ -1，1）到直线
4、 y x的距离，即 rmin 考点：简单线性规划 正项递增等比数列 中， ，则该数列的通项公式 为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 得 ， 或 （舍） 考点：等比数列的运算性质 已知 M是 的最小值， N ，则下图所示程序框图输出的 S为（ ） A 2 B 1 CD 0 答案： A 试题分析： M ， N ，所以 2.706时，有 90的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关； 当 3.841时，有 95的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关； 当 6.635时，有 99的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关。 非高收入族 高收入族 总计 赞成 不赞成 总计 （ ）现
5、从月收入在 55， 65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率。 答案：（ ） 非高收入族 高收入族 总计 赞成 25 3 28 不赞成 15 7 22 总计 40 10 50 有 90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（ ）所求概率 试题分析：（ ）可根据频数分布表中的数据，很容易完成 列联表，由列联表中数据，代入公式 ，求出 ，从而比较数据得结论；（ ）现从月收入在 55， 65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率，这显然符合古典概型，即随机事件的概率，因此可用列举法得到总的基本事件数共 10种，以及符合条件的基本事件数共种
6、，从而得所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率 试题：（ ） 非高收入族 高收入族 总计 赞成 25 3 28 不赞成 15 7 22 总计 40 10 50 故有 90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；（ 5分） （ ）设月收入在 55， 65）的 5人的编号为 a， b， c， d， e，其中 a， b为赞成楼市限购令的人 .从 5人中抽取两人的方法数有 ab， ac， ad， ae， bc，bd， be， cd， ce， de共 10种，其中 ab， ac， ad， ae， bc， bd， be为有利事件数，因此所求概率 。（ 12分） 考点：独立性检验，古典概型的概率求法 正项
7、数列 的前 n项和为 ，且 。 （ ）证明数列 为等差数列并求其通项公式； （ 2）设 ，数列 的前 n项和为 ，证明： 。 答案：（ ）详见， ；（ ）详见 试题分析：（ ）证明数列 为等差数列并求其通项公式 ，由已知，这是由 求 ，可根据 来求，因此当 时，解得 ，当 时， ，整理得 ，从而得数列 是首项为，公差为的等差数列，可写出数列 的通项公式；（ ）设 ，数列 的前 n项和为 ，证明： ，首先求出 的通项公式，分母是等差数列连续两项积，符合利用拆项相消法求和，即 ，这样求得和 ，利用数列的单调性，可证结论 试题：（ ）由 得：当 时， ，得 ， 当 时， ， 整理 得 ，又 为正项数
8、列， 故 ，（ ），因此数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列， 。（ 6分） （ ） ， ， ， ，（ 8分） ， 数列 是一个递增数列 ， 综上所述， 。（ 12分） 考点：等差数列的判断，求数列的通项公式，数列求和 已知 P（ ）为函数 图像上一点， O 为坐标原点，记直线 OP的斜率 。 （ ）求函数 的单调区间； （ ）设 ，求函数 的最小值。 答案：（ ） 在 上单调递增，在 上单调递减；（ ）函数的最小值为 试题分析：（ ）求函数 的单调区间，首先确定函数 的式，由题意得函数 ， ，求单调区间，由于含有对数函数可利用导数法，求导函数 ，令 可得函数的单调增区间；令 ，可得函数的
9、单调减区间；（ ）求函数 的最小值，因为，求导函数可得 ，构造新函数 ，确定 在 为单调递增函数，从而可求函数 的最小值 试题：（ ） ， ， ， 故当 即 时， ，当 时， 成立， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减。（ 4分） （ ） ， 则 ， 设 ，则 ， 故 为 上的增函数，（ 8分） 又由于 ，因此 且 有唯一零点 1， 在 为负，在 值为正， 因此 在 为单调减函数，在 为增函数， 所以函数 的最小值为 。（ 13分） 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性 已知 是椭圆 E： 的两个焦点，抛物线 的焦点为椭圆 E的一个焦点，直线 y 上到
10、焦点 F1， F2距离之和最小的点 P恰好在椭圆 E上， （ ）求椭圆 E的方程； （ ）如图，过点 的动直线 交椭圆于 A、 B 两点，是否存在定点 M，使以 AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由。 答案：（ ）椭圆方程为 ；（ ）存在定点 M ，使以 为直径的圆恒过这个定点 试题分 析：（ ）求椭圆 E的方程，可用待定系数法求方程，因为抛物线的焦点为 ，故可得椭圆 E：的两个焦点 ，即 ，由题意直线 y 上到焦点 F1， F2距离之和最小，可用对称法求最小值，即求出点 关于直线 的对称点为 最小值为，此时的点 P恰好在椭圆 E上，故 ，可得 ，从而得 ，
11、这样就得椭圆 E的方程；（ ）这是探索性命题，可假设存在定点 M，使以 AB为直径的圆恒过这个点，此时当 AB 轴时，以AB为直径的圆的方程为： ，当 AB 轴时，以 AB为直径的圆的方程为： ，解得两圆公共点 因此所求的点 如果存在，只能是 由此能够导出以 AB为直径的圆恒过定点 M 试题：（ ）由抛物线的焦点可得： ， 点 关于直线 的对称点为 故 ， 因此 ，椭圆方程为 。（ 4分） （ ）假设存在定点 M，使以 AB为直径的圆恒过这个点。 当 AB 轴时，以 AB为直径的圆的方程为： 当 AB 轴时，以 AB为直径的圆的方程为： 由 知定点 M 。（ 6分） 下证：以 AB为直径的圆恒过定点 M 。 设直线 ，代入 ，有 。 设 ，则 。 则 ， 在 轴上存在定点 M ，使以 为直径的圆恒过这个定点。（ 14分） 考 点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征
