1、2014届江西稳派名校学术联盟高三 12月调研理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，集合 （ e为自然对数的底数）则 MN（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，故 考点：集合的运算 函数 ，当 时， 恒成立，则的最大值是（ ） A 3 BC 4 D答案： B 试题分析：设 ，则依题意 ，代入可得： ，画出可行域，构造点 与原点连线的斜率可得 ；而 ，易知函数 为区间上的增函数，故 考点：函数恒成立问题 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为 “平行相切 ”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为 “平行相离 ”；否则称为
2、 “平行相交 ”。已知直线 ，和圆 C： 的位置关系是 “平行相交 ”，则 b的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：圆 C的标准方程为 (x+1)2+y2=b2，由两直线平行可得 a(a+1)-6=0，解得 a=2或 a=-3，又当 a=2时，直线 l1与 l2重合，舍去，此时两平行线方程分别为 x-y-2=0和 x-y+3=0；由直线 x-y-2=0与圆 (x+1)2+y2=b2相切，得 ，由直线 x-y+3=0与圆相切，得 ，当两直线与圆都相离时，所以 “平行相交 ”时， b满足 ，故 b的取值范围是 考点：新概念，直线与圆的位置关系 随着生活水平的提高，私家车已成为许
3、多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从 A点出发沿曲线段B 曲线段 C 曲线段 D，最后到达 E点。某观察者站在点 M观察练车场上匀速行驶的小车 P的运动情况，设观察者从点 A开始随车子运动变化的视角为 AMP（ ），练车时间为 t，则函数 的图像大致为（ ） 答案： D 试题分析：观察图象，可知随着时间的增加，刚开始角度为 0并且在增加，排除选项 A；在曲线段 B中间一段变化不大，然后角度减少到达曲线段 C，接着角度增加，故排除选项 C，后面又略减少到达曲线段 D，之后一直增加到点 E，并且角度要大于前面几段，排除选项 B，故选 D 考点：函数的图像
4、与性质 已知实数 x， y满足 ，则 r的最小值为（ ） A B 1 C D 答案： A 试题分析：在平面直角坐标系中画出不等式组 表示的平面区域 D，由于圆 经过平面区域 D，因此其半径 r的最小值为圆心 (-1，1)到直线 y=x的距离，即 rmin 考点：简单线性规划 设 ，则 与 的大小关系是（ ） A B C D与 x的取值有关 答案： B 试题分析： ，又，当 时， ，故，而函数 在 为增函数，故 考点：三角函数图像与性质，三角函数的单调性 已知函数 与 轴和 所围成的图形的面积为 M， N，则程序框图输出的 S为（ ） A 1 B 2 CD 0 答案： C 试题分析： N ， ，
5、所以 ，又框图的功能是求 中的较小值，故输出的值为 考点：正切的二倍角公式，定积分，算法框图 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：当 时， ，则 ；当 时， ，此时无法得出 ，当 时不成立 考点：充要条件的判断 如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为 ，则主视图中三角形的高 x的值为（ ） A B C 1 D答案： C 试题分析：由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为 ，高为 x，体积为 ，解得 ，故选 C 考点：由三视图求面积、体积 已知等比数列 中， ，且 ，则 的值为（ ） A 4 B -
6、4 C 4 D 答案： A 试题分析：由等比数列的性质，得 ，故 ，又 ， ，解得 (负值舍去，因为 同号 ) 考点：等比数列的运算性质 填空题 将 2n按如表的规律填在 5列的数表中，设 排在数表的第 n行，第 m列，则第 m列中的前 n个数的和 _。 答案： 试题分析：由于 2014=4503+2，故 位于表格的第 504行第 3列，所以n=504， m=3。所以 考点：归纳推理 在区间 内图像不间断的函数 满足 ，函数，且 ，又当 时，有 ，则函数 在区间 内零点的个数是 _。 答案： 试题分析： ， 为偶函数， ， ， 在 上为单调增函数，又 ， 函数 在 上只有一个零点，又 ， 在
7、上有且仅有一个零点， 是偶函数，且 ， 在上有且仅有两个零点 考点：函数的零点；抽象函数及其应用 已知函数 与 的图像关于直线 对称，若 ，则不等式 的解集是 _。 答案： 试题分析： 若 ，则 ，故不等式 等价于 ，即 ，解得，或 考点：利用对称性求式，解不等式 在平面直角坐标系中， O是原点， 是平面内的动点，若 ，则 P点的轨迹方程是 _。 答案： y2=2x-1 试题分析：设 P(x， y)，则 ，又因为 | | | |，所以 (x-1)2+y2=x2，整理得 考点：向量的运算，求轨迹方程 直线 的倾斜角为 ，则 的值为 _。 答案： 试题分析：由题意可知， ，则 考点：直线的斜率，三
8、角函数求值 解答题 已知 a， b， c分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 。 （ ）求 B； （ 2）若 ，求 的值。 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ） ，像这样即含有边又含有角，可以把边化为角，也可把角化为边，本题两种方法都可以，若利用正弦定理，把边化为角，再利用 ，利用两角和的正弦展开即可求出 ，从而求出角 ，若利用余弦定理，把角化为边，整理后得 ，再利用余弦定理得 ，从而求出角 ；（ ）若 ，求 的值，由，可以得到 ，由（ ）可知， ，角 的正弦，余弦值都能求出，由 ，展开即可 试题：（ ）由余弦定理知得 ，（ 2分 ) ， 4 分 ，又 ， 。（ 6分） （
9、 ） ， ， ，（ 8分） （ 10分） 12分） 考点：解三角形 方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是，随着电动车的普及，它的安全性也越来越受到人们关注。为了出行更安全，交通部门限制电动车的行驶速度为 24km/h。若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时，紧急刹车时行驶的路程 S（单位： m）和时间 t（单位： s）的关系为：。 （ ）求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间； （ ）求该款车正常行驶的速度 是否在限行范围内 答案：（ ）从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s；（ ）在限速范围内 试题分析：（ ）紧急刹车时行驶的路程 S（单位： m）和时间 t（单位： s
10、）的关系为： ，求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间，这需要知道紧急刹车后电动车的速度，由导数的物理意义可知，只需对路程 S： 求导即可，领导数等于零，求出 的值，就是从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；（ ）求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内，只需求出紧急刹车是电动车的速度，由（ ）知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s，又由车的速度，当 时，就是车子正常行驶的速度，从而得结论 试题：（ ） 紧急刹车后电动车的速度 ，（ 2分） 当电动车完全停止时 ，令 =0， 得 ，解得 或 （舍去 )， 即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s。（ 6分） （ ）
11、由（ ）知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s， 又由车的速度 ，（ 4分） 车子正常行驶的速度为：当 时， ， 故在限速范围内。（ 12分） 考点：函数应用题，导数的物理意义 正项数列 的前 n项和为 ，且 。 （ ）求数列 的通项公式 ； （ ）求证： 。 答案：（ ） ；（ ）详见 试题分析：（ ）求数列 的通项公式 ，由已知 ，这是由求 ，可根据 来求，因此当 时， ，解得，当 时， ，整理得，从而得数列 是首项为 2，公差为 4 的等差数列，可写出数列 的通项公式；（ ）求证：，由（ ）可知 ，观察所证问题，显然需对式子变形，但所证问题的形式为 ，这就需要利 用放缩法，很
12、容易得证 试题：（ ）由 知，当 时， ，解得 ； 当 时， ， （ 3分） 整理得 ，又 为正项数列， 故 ( )，因此数列 是首项为 2，公差为 4的等差数列， 。 (6分 ) （ ）由于 = （ 8分） 因此= 。（ 12分） 考点：求数列的通项公式，放缩法证明不等式 已知三棱柱 中，平面 平面 ABC， BC AC， D为 AC的中点， AC BC AA1 A1C 2。 （ ）求证： AC1 平面 A1BC； （ ）求平面 AA1B与平面 A1BC的夹角的余弦值。 答案：（ ）详见；（ ）平面 AA1B与平面 A1BC的夹角的余弦值 试题分析：（ ）求证： AC1 平面 A1BC，只需
13、证 垂直平面 内两条线即可，由于平面 平面 ， ，可得 ，由题意可得，四边形 是菱形，由菱形对角线性质可知， ，从而可得 平面，也可利用向量法，即如图以 为 轴建立空间直角坐标系，由 知 ，即可得 平面 ；（ ）求平面 AA1B与平面 A1BC的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，设，作 于 ，连接 ，则 为二面角的平面角，从而求得两平面夹角的余弦值为 ，还可以利用向量来求，即找出两个平面的法向量，利用法向量的夹角平面 AA1B与平面 A1BC的夹角的余弦值 试题：解法一： （ ）由于平面 平面 ， ，所以 面 ，所以。 (2分 ) 而 是菱形，因此 ，所以 平面 。（ 4分） （
14、）设 ，作 于 ，连接 ， 由（ 1）知 平面 ，即 平面 ，所以 又 于 ，因此 ， 所以 为二面角的平面角 ，（ 8分） 在 中， ， ，故直角边 ， 又因为 中斜边 因此 中斜边 ， 所以 ，所以所求两平面夹角的余弦值为 。（ 12分） 解法二： 如图，取 的中点 ，则 ， 因为 ，所以 ，又 平面 ，（ 2分） 以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， （ ） ， ， ， 相关试题 2014届江西稳派名校学术联盟高三 12月调研理科数学试卷（带） 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率 。它有一个顶点恰好是抛物线 =4y的焦点。过该椭圆上任一点 P作 PQ x轴，垂足为
15、Q，点 C在 QP的延长线上，且 。 （ ）求动点 C的轨迹 E的方程； （ ）设椭圆的左右顶点分别为 A， B，直线 AC（ C点不同于 A， B）与直线交于点 R， D为线段 RB的中点。试判断直线 CD与曲线 E的位置关系，并证明你的结论。 答案：（ ）动点 的轨迹 的方程为 ；（ ）直线 与圆相切 试题分析：（ ）求动点 C的轨迹 E的方程，由题意首先求出椭圆的方程为，设 ， ，由已知 ，找出 与 之间的关系，利用点 在椭圆 上，代入即可求出动点 C的轨迹 E的方程；（ ）判断直线 CD与曲线 E的位置关系，由（ ）动点 的轨迹的方程为 ，主要看圆心到直线距离与半径之间的关系，因此，主
16、要找直线 的方程，设 ，则 ，由题意 三点共线，得 ，设点 的坐标为 ，利用共线，求出 ，得点 的坐标为 ，从而得点 的坐标为 ，这样写出直线 的方程，利用点到直线位置关系，从而可判断直线 CD与曲线 E的位置关系 试题：（ ）设椭圆 C的方程为 ，则由题意知 b = 1， ， ，所以椭圆的方程为 。（ 2分） 设 ， ，由题意得 ，即 又 ，代入得 ，即 。 即动点 的轨迹 的方程为 。（ 6分） （ ）设 ，点 的坐标为 ， 三点共线， ， 而 ， ，则 ， ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 直线 的斜率为 ，（ 9分） 而 ， ， ， 直线 的方程为 ，化简得 ， 圆心 到直线 的距
17、离 ， 所以直线 与圆 相切。（ 13分） 考点：求轨迹方程，判断直线与圆的位置关系 。 （ ）求 的极值点； （ ）当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数 t的取值范围； ( ）证明：当 时， 。 答案：（ ） 时， ， 在（ -1， +）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点； 当 时， 在 上递增，在 单调递减，函数的极大值点为 -1，无极小值点； 当时， 在 上递减，在 单调递增，函数的极小值点为 -1，无极大值点；（ ）当 时，方程 有两解； ( ）详见 试题分析：（ ）求 的极值点，先求函数的定义域为 ，然后可对函数 求导数得 ，令导数等零，求出 的解，再利用导数大于 0，
18、导数小于 0，判断函数的单调区间，从而确定极值点，但本题由于含有参数 ，需对 讨论（ ）当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数 t的取值范围，由（ ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ，由此可得实数 t的取值范围；（ ）根据 要证明当 时， ，直接证明比较困难，可以利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质 试题：（ ） （ 1分） 时， ， 在（ -1， +）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点。（ 2分） 当 时， 在 上递增，在 单调递减，函数的极大值点为 -1，无极小值点（ 3分） 当 时， 在 上递减，在 单调递增，函数的极小值点为 -1，无极大值点（ 4分） （ ）由（ ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， ， 当 时，方程 有两解 （ 8分） ( ）要证： 只须证 只须证： ， 设 则 ，（ 10分） 由（ 1）知 在 单调递减，（ 12分） ，即 是减函数，而 mn， ，故原不等式成立。 （ 14分） 考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性
