1、2014届河北唐山市高三年级第一学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，已知集合 ， ，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， . 考点： 1.一元二次不等式的解法； 2.集合的交集运算 . 是以原点 为中心，焦点在 轴上的等轴双曲线在第一象限部分，曲线在点 P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于 两点，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设过点 的切线为 ， ，消 得：， 即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为 中点， ， . 考点： 1.直线与双曲线的位置关系； 2.根与系数关系 . 椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上两点， ，则椭圆
2、 的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由条件 ，设 ，则 ，在 中有， 整理有 : ，即 ，即 ，在 中有 ， 将 代入得： ，即 ，即 ，即 . 考点： 1.椭圆的标准方程与性质； 2.勾股定理 . 的零点个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 答案： B 试题分析： ， ，图像如图所示，由图像看出与 有 5个交点， 的零点个数为 5个 . 考点： 1.函数零点问题； 2.函数图像 . 如图， 和 都是圆内接正三角形，且 ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A表示事件 “豆子落在 内 ”， B表示事件 “豆子落在内 ”，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析
3、：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，所以. 考点：条件概率 . 如图，直三棱柱 的六个顶点都在半径为 1的半球面上，侧面 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 的面积为（ ） A 2 B 1 C D答案： C 试题分析：球心在面 的中心 上， 为截面圆的直径， ，底面外接圆圆心 位于 中点， 外心 在 中点上，设正方形边长为 ， 中， ， ， ， ，即 ，则 ， . 考点： 1.中位线； 2.勾股定理 . 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知：几何体是底面是半径为 2的半径扣掉一个三角形，. 考点： 1.三视图；
4、2.柱体体积 . 在公比大于 1的等比数列 中， ， ，则 （ ） A 96 B 64 C 72 D 48 答案： A 试题分析： ， ， 或 ，又 公比大于 1， ， 即 ， . 考点： 1.等比数列的性质； 2.等比数列的通项公式 . 执行下边的程序框图，则输出的 n是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 答案： C 试题分析：第一次循环： 第二次循环： 第三次循环： 第四次循环： 第五次循环： 第六次循环： 输出 . 考点：程序框图 . 是 上的奇函数，当 时， ，则当 时，（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ，又 是 上的奇函数， ， . 考点： 1.函数的奇偶性
5、； 2.函数式 . 设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： D 试题分析：由约束条件可得区域图像如图所示：则目标函数 在点取得最大值 6. 考点：线性规划 . 设复数 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， . 考点： 1.复数的除法计算； 2.共轭复数 . 填空题 数列 的前 n项和为 ，且 ， ，则该数列的通项公式为 . 答案： 试题分析： ， ，相减得：， 即 ， ， 数列 是以 1为首项， 为公比的等差数列， ， . 考点： 1.求数列的通项公式； 2.等差数列的通项公式 . 已知 ，函数 在区间 单调递减，则 的最大
6、值为 . 答案： -12 试题分析： ， ， 函数 在区间 单调递减， ，即 ，即 ， 的最大值为 -12. 考点：利用导数研究函数的单调性 . 在 的展开式中， 项的系数为 . 答案： 试题分析： ， ， ， 项的系数为 . 考点：二项式定理 . 一支游泳队有男运动员 32人，女运动员 24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 14的样本，则抽取男运动员的人数为 . 答案： 试题分析：由题意得： ， ，所以抽取男运动员 8人 . 考点：分层抽样问题 . 解答题 已知圆 ，直线 ，以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 . （ 1）将圆 C和直线
7、 方程化为极坐标方程； （ 2） P是 上的点，射线 OP交圆 C于点 R，又点 Q在 OP上且满足，当点 P在 上移动时，求点 Q轨迹的极坐标方程 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：本题主要考查直角坐标系与极坐标之间的互化，考查学生的转化能力和计算能力 .第一问，利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式 ，进行转化；第二问，先设出 的极坐标，代入到中，化简表达式，又可以由已知得 和 的值，代入上式中，可得到 的关系式即点 轨迹的极坐标方程 . 试题：（ ）将 ， 分别代入圆 和直线 的直角坐标方程得其极坐标方程为 ， 4分 （ ）设 的极坐标分别为 ， ， ，则 由 得 6分 又
8、， ， 所以 ， 故点 轨迹的极坐标方程为 10分 考点： 1.直角坐标方程与极坐标方程的互化； 2.点的轨迹问题 . 如图， 内接于 上， ， 交 于点 E，点 F在 DA的延长线上， ，求证： （ 1） 是 的切线； （ 2） . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线垂直、相等的证明，考查学生的转化与化归能力 .第一问，要证明 是 的切线，需要证明 或，由于 ，所以 与 相等，而 与 相等，而 与 相等，又因为 ，所以通过角的代换得也就是 为 ；第二问，先利用切割线定理列出等式，再通过边的等量关系转换边，得到求证的表达式 . 试题：
9、（ ）连结 因为 ，所以 是 的直径 因为 ，所以 又因为 ，所以 4分 又因为 ， ， 所以 ，即 ， 所以 是 的切线 7分 （ ）由切割线定理，得 因为 ， ， 所以 考点： 1.同弦所对圆周角相等； 2.切割线定理 . 已知函数 . （ 1）证明： ； （ 2）当 时， ，求 的取值范围 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力 .第一问，因为，所求证 ，所以只需分母 即可，设函数 ，对 求导，判断函数的单调性，求出最小值，证明最小值大于 0即可，所求证的不
10、等式的右边，需证明函数 的最大值为 1即可，对 求导，判断单调性求最大值；第二问，结合第一问的结论 ，讨论 的正负，当时， ，而 与 矛盾，当 时，当时， 与 矛盾，当 时，分母 去分母， 等价于 ，设出新函数，需要讨论 的情况，判断在每种情况下， 是否大于 0，综合上述所有情况，写出符合题意的 的取值范围 . 试题：（ ）设 ，则 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增 所以 又 ，故 2分 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减 所以 综上，有 5分 （ ）（ 1）若 ，则 时， ，不等式不成立 6分 （ 2）若 ，则当 时， ，不等式不成立 7分 （ 3）若 ，则 等
11、价于 设 ，则 若 ，则当 ， ， 单调递增， 9分 若 ，则当 ， ， 单调递减， 于是，若 ，不等式 成立当且仅当 已知抛物线 ，直线 与 E交于 A、 B两点，且，其中 O为原点 . （ 1）求抛物线 E的方程； （ 2）点 C坐标为 ，记直线 CA、 CB的斜率分别为 ，证明：为定值 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力 .第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数 ，得到关于 的方程，得到两根之和两根之积，设出点 的坐
12、标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得出 的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点 的坐标得出直线 的斜率，再根据抛物线方程转化参数 ，得到 和 的关系式，代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常 数即可 . 试题：（ ）将 代入 ，得 2分 其中 设 ， ，则 ， 4分 由已知， ， 所以抛物线 的方程 6分 （ ）由（ ）知， ， ，同理 ， 10分 所以 12分 考点： 1.抛物线的标准方程； 2.韦达定理； 3.向量的数量积； 4.直线的斜率公式 . 据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表： 规定初查累计权重分
13、数为 10分或 9分的不需要复查并给予奖励， 10分的奖励18万元； 9分的奖励 8万元；初查累计权重分数为 7分及其以下的停下运营并罚款 1万元；初查累计权重分数为 8分的要对不合格指标进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为 10分方可继续运营，否则停业运营并罚款 1万元 . （ 1）求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率； （ 2）求一家单位在这次整治性核查中所获金额 X（万元）的分布列和数学期望（奖励为正数，罚款为负数） . 答案：（ 1） ；（ 2）分布列详见， . 试题分析：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查综合分析问
14、题解决问题的能力，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查计算能力 .第 一问，分析题意：只有得 8分的情况既没有奖励又没有罚款，但是得 8分时需要复查不合格指标项，所以符合题意的情况有： 甲的 4个指标项合格，乙的 2个指标项不合格，并对乙的 2个指标项进行复查， 甲的 4个指标项有 3个合格， 1个不合格，乙的 2个指标项合格并对甲中不合格的 1个指标项进行复查；第二问，通过已知条件得出， 有 4种情况：当 时，表示既没有奖励又没有罚款的情况，也就是第一问的情况；当 时，表示累计权重分数为 9分，也就是甲的 4个指标项都合格，而乙中的 2个指标项只有 1个合格；当 时，表示累计权重分数
15、为 10分，也就是说甲 乙中的所以指标项都合格的情况；当 时，表示累计权重分数为 7分，也就是甲中的 4个指标项有 3个合格 1个不合格，乙中的 2个指标项 1个合格 1个不合格，利用分析的情况列出概率表达式，列出分布列，利用期望的计算公式求数学期望 . 试题：记 “初查阶段甲类的一个指标项合格 ”为事件 ， “初查阶段乙类的一个指标项合格 ”为事件 ， “复查阶段一个指标项合格 ”为事件 ，则 ， （ ）记 “一家单位既没获奖励又没被罚款 ”为事件 ，则 4分 （ ） 的可能取值为 -1， 0， 8， 18 ， ， ， 的分布列为 X -1 0 8 18 P 10分 的数学期望 （万元） 1
16、2分 考点：离散型随机变量的分布列和数学期望 . 如图，在三棱锥 中， ， ， D为 AC的中点， . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力 .第一问，根据已知条件，取 中点 ，连结 ，得出，再利用 ，根据线面垂直的判定证出 平面 ，从而得到 垂直平面 内的线 ，再利用 为中位线，得出 平面 ，最后利用面面垂直的判定证明平面 垂直平面 ；第二问，由第一问知两两互相垂直，所以建立空间直
17、角坐标系，得出点 ，以及坐标，利用已知先求出平面 与平面 的法向量，再利用夹角公式求出夹角的余弦值 . 试题：（ ）取 中点为 ，连结 ， 因为 ，所以 又 ， ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 3分 由已知， ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 5分 （ ）由（ ）知， ， ， 两两互相垂直 以 为坐标原点， 的方向为 轴的方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 由题设知 ， ， ， 则 ， ， 设 是平面 的法向量，则 即 ，可取 9分 同理可取平面 的法向量 故 11分 所以二面角 的余弦值为 12分 考点： 1.线面垂直的判 在锐角 中， 分别
18、为角 的对边，且 . （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 BC边上高为 1，求 面积的最小值？ 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、诱导公式、三角函数最值等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和计算能力 .第一问，利用三角形的内角和为 转化 ，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简表达式，得到关于 的方程，解出 的值，通过 的正负判断角 是锐角还是钝角；第二问，在 和 中， ，代入到三角形面积公式 中，要求面积的最值，只需求化简后的表达式中的分母的最值，将角 用角 表示，利用两角和与差的正弦公式化简，由于角 和角 都是锐角，所以得到角
19、的取值范围，代入到化简的表达式中，得到函数的最小值，从而三角形面积会有最大值 . 试题：（ ）因为 ，所以 ， 所以由已知得 ，变形得 ， 整理得 ，解得 因为 是三角形内角，所以 5分 （ ） 的面积 设 ， 则 9分 因为 ， ，所以 ，从而 ， 故当 时， 的最小值为 考点： 1.诱导公式； 2.降幂公式； 3.倍角公式； 4.两角和与差的正弦公式； 5.三角函数的最值 . 已知 ， . （ 1）求 的最小值； （ 2）证明： . 答案：（ 1）最小值为 3；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力 .第一问，用基本不等式分别对 和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将 ， 变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的 ，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于 0即可 . 试题：（ ）因为 ， ， 所以 ，即 ， 当且仅当 时， 取最小值 3 5分 （ ） 又 ， 所以 考点： 1.基本 不等式； 2.不等式的性质； 3.作差比较大小 .
