1、2014届河北省衡水中学高三上学期一调考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 =( ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可得 ,所以 ,故选 A. 考点：集合的基本运算 . 已知函数 , ,设函数 ，且函数 的零点均在区间 内，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 ，当 时，所以可知函数 在 上单调递增，又， ，所以可知函数 在区间上有且只有一个零点，所以 的零点满足；由 ，当 时，所以可知函数 在 上单调递减，又 ，=，因为当 时， ，所以 ，可知函数 在区间 上有且只有一个零点，所以 的零点满足 ；因此函数 零点满足的区间至少为
2、，由此可知 . 考点：导数公式、函数的零点 定义区间 ， ， ， 的长度均为 . 用 表示不超过的最大整数，记 ，其中 .设 ， ，若用表示不等式 解集区间的长度，则当 时，有（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 ，于是，显然 ，于是，又 ，所以 ，即 . 考点：新定义 . 函数 是偶函数， 是奇函数，则 （ ） A 1 B CD 答案： D 试题分析：由函数 是偶函数可知 ，即；由函数 是奇函数可知 ，即；所以 . 考点：函数的奇偶性 . 已知 是 R上的单调递增函数，则实数 的取值范围为 ( ) A (1， ) B 4,8) C (4,8) D (1,8) 答案： B 试题分析
3、：根据函数 是 R上的单调递增函数，所以. 考点：分段函数、函数的单调性 . 设 是定义在 R上的偶函数，且在 上是增函数，设，则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 是定义在 R上的偶函数，且在 上是增函数，所以函数在 上是减函数， 且，所以 . 考点：函数的单调性、奇偶性 . 下列命题： （ 1） “若 ，则 ”的逆命题； （ 2） “全等三角形面积相等 ”的否命题； （ 3） “若 ，则 的解集为 R”的逆否命题； （ 4） “若 为有理数，则 为无理数 ”。 其中正确的命题是 （ ） A（ 3）（ 4） B（ 1）（ 3） C（ 1）（ 2） D（ 2）（ 4
4、） 答案： A 试题分析：（ 1） “若 ，则 ”的逆命题是 “若 ，则 ”，显然当取 时， ，所以是假命题；（ 2） “全等三角形面积相等 ”的否命题是 “若两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等 ”，显然是假命题；（ 3） “若 ，则 的解集为 R”的逆否命题，根据原命题与逆否命题等价，于是当 时， ，所以不等式 的解集为 R，知其为真命题；（ 4） “若为有理数，则 为无理数 ”，因为 是无理数，所以当 为有理数，则为无理数，知其为真命题 . 考点：四种命题 设函数 则 的单调减区间（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，所以函数 的单调递减区间为 ，而函数 是把函数
5、的图像向右平移一个单位，所以 的 单调减区间为 . 考点：导数判断函数的单调性、函数图像的平移 . 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：当 时， ；当 时，所以不等式 的解集为 . 考点：分段函数、不等式解法 方程 的解 属于区间 （ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 答案： C 试题分析：令 ，则，所以零点 属于区间 . 考点：函数的零点 . 实数 ，条件 : ，条件 : ，则 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：由 ； 可知 是 的充分不
6、必要条件，故选 A. 考点：充分必要条件 . 填空题 若函数 有六个不同的单调区间，则实数的取值范围是 _ . 答案： 试题分析：显然 为偶函数，当 ，要使原函数有六个不同的单调区间，则需 有二不等正实根，于是且 ，解得 . 考点：导数判断函数单调性、分析函数的单调区间 函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称为单函数 .例如 ,函数 是单函数 .下列命题 : 函数 是单函数 ; 函数 是单函数 ; 若 为单函数 , 且 ,则 ; 函数 在定义域内某个区间 上具有单调性 ,则 一定是单函数 . 其中的真命题是 _ (写出所有真命题的编号 ). 答案： 试题分析：根据单函数的定义可知如果函数
7、为单函数，则函数 在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知 不是，因为该二次函数先减后增； 不是，因为该函数是先减后增；显然 的说话也不对，故真命题是 . 考点：新定义、函数的单调性 . 若函数 对任意的 恒成立，则_. 答案： 试题分析： ，所以函数 在 R上单调递增，又，所以函数 为奇函数，于是，因为对任意的恒成立，所以 . 考点：导数判断函数的单调性、解不等式 . 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时， ，则 =_. 答案： 试题分析：由题意可知函数 的周期 ，于是，又函数 是 上的偶函数，所以 ，则. 考点：周期函数、奇偶性 . 解
8、答题 记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 （ 1）若 ，求 ； （ 2）若 ，求正数 的取值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1) 本小题主要考查分式不等式的解法，将 代入到目标不等式中，然后化分式不等式为整式不等式，根据一元二次不等式来求； (2)由可得 ，利用集合的基本关系可以分析出正数 的取值范围，当然也可辅以数轴来分析求解 . 试题：（ 1）由 ，得 4分 （ 2） 由 ，得 ， 8分 又 ，所以 ，所以 10分 考点： 1.分式不等式； 2.集合的基本关系 已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调增函数 （ 1）求函数 的式； （ 2）设函数 ，其中 .
9、若函数 仅在处有极值，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得 的取值范围，再利用 得 ，然后根据幂函数 为偶函数可得 ；（ 2）根据导数求极值，为使方程 只有 一个根，则必须 恒成立，于是根据判别式可求 . 试题：（ 1） 在区间 上是单调增函数， 即 又 4分 而 时， 不是偶函数， 时， 是偶函数， . 6分 （ 2） 显然 不是方程 的根 . 为使 仅在 处有极值，必须 恒成立， 8分 即有 ，解不等式，得 . 11分 这时， 是唯一极值 . . 12分 考点： 1.幂函数； 2.函数的单调性； 3.导数公式；
10、 4.函数的极值 . 已知向量 ， ，且 ，其中 A、 B、 C是ABC的内角， 分别是角 A， B， C的对边。 （ ）求角 C的大小； （ ）求 的取值范围； 答案：（ ） ；（ ） ； 试题分析：（ ）根据平面向量数量积的坐标运算得到三边的数量关系，再利用余弦定理可求角 ；（ ）首先根据三角形内角和定理得到 ，然后利用三角恒等变换得到 取值范围； 试题：（ ）由 得 由余弦定理 又 ，则 6分 （ II）由（ I）得 ，则 即 的取值范围为 12分 考点： 1.平面向量数量积； 2.余弦定理； 3.三角恒等变换 . 已知函数 . (1)若 是函数 的极值点 ,求 的值； (2)求函数 的
11、单调区间 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 试题分析：（ 1）先求函数的定义域，然后求导数，根据 “若 是函数的极值点，则 是导数的零点 ”；（ 2）利用导数的正负分析原函数的单调性，按照列表分析 . 试题：（ 1）函数定义域为 ， 2分 因为 是函数 的极值点，所以 解得 或 4分 经检验， 或 时， 是函数 的极值点， 又因为 a0所以 6分 （ 2）若 ， 所以函数 的单调递增区间为 ； 若 ，令 ，解得 当 时， 的变化情况如下表 - 0 + 极大值 所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 考点：
12、 1.导数公式 3.函数极值； 3.函数的单调性 . 已知函数 . （ 1）若函数 上是减函数，求实数 a的最小值； （ 2）若 ，使 成立，求实数 a的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析： (1) 根据原函数在区间上的单调递减转化为导数在该区间内小于等于零恒成立，再把恒成立转化为最值求解，在求解的过程中利用了二次三项式的配方； (2)命题的等价变换是解决本小题的关键， “若 使成立 ”等价于 “当 时，有 ”，于是整个问题就化为求函数的最值，然后利用导数分析单调性，进而求最值。 试题：由已知函数 的定义域均为 ,且. (1)函数 , 2分 因 f(x)在 上为减函数，故 在
13、 上恒成立 所以当 时， 又 ， 故当 ，即 时， 所以 于是 ，故 a的最小值为 6分 (2)命题 “若 使 成立 ”等价于 “当 时，有” 由（ ），当 时， ， 问题等价于： “当 时，有 ” 8分 当 时，由（ ）， 在 上为减函数， 则 = ，故 10分 当 时，由于 在 上为增函数， 故 的值域为 ，即 由 的单调性和值域知， 唯一 ，使 ，且满足： 当 时， ， 为减函数； 当 时， ， 为增函数； 所以， = ， 所以， ，与 矛盾，不合题意 11分 综上，得 12分 考点： 1.导数公式； 2.函数的单调性； 3.恒成立问题； 4.函数的最值以及命题的等价变换 . 已知函数
14、，其中 是自然对数的底数， （ 1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）若 ，求 的单调区间； （ 3）若 ，函数 的图象与函数 的图象有 3个不同的交点，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（ 3） . 试题分析： (1) 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式直线方程求切线方程； (2)利用导数的正负分析原函数的单调性，注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论； (3)根据单调性求函数的极值，根据其图像交点的个数确定两
15、个函数极值的大小关系，然后解对应的不等式 . 试题：（ 1）因为 ， 所以 ， 所以曲线 在点 处的切线斜率为 . 又因为 ， 所以所求切线方程为 ，即 2分 （ 2） ， 若 ，当 或 时， ；当 时，. 所以 的单调递减区间为 ， ； 单调递增区间为 . 4分 若 ， ， 所以 的单调递减区间为 . 5分 若 ，当 或 时， ；当 时，. 所以 的单调递减区间为 ， ； 单调递增区间为 . 7分 （ 3）由（ 2）知函数 在 上单调递减，在 单调递增，在上单调递减， 所以 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 . 8分 由 ，得 . 当 或 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递增 . 故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 . 10分 因为函数 与函数 的图象有 3个不同的交点， 所以 ，即 相关试题 2014届河北省衡水中学高三上学期一调考试理科数学试卷（带）
