1、2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 1集合 A=x ， B= ，则 =( ) A 0 B 1 C 0， 1 D -1， 0， 1 答案： B 试题分析： ， ，所以 . 考点： 1.指数不等式的解法； 2.三角函数的函数值； 3.集合的交集运算 . 在平面直角坐标系中，定义 为两点 ,之间的 “折线距离 ”.在这个定义下，给出下列命题： 到原点的 “折线距离 ”等于 的点的集合是一个正方形； 到原点的 “折线距离 ”等于 的点的集合是一个圆； 到 两点的 “折线距离 ”相等的点的轨迹方程是 ； 到 两点的 “折线距离 ”差的绝对值为 的点的集合是两条
2、平行线 .其中正确的命题有（ ） A 1个 B 2 个 C 3 个 D 4个 答案： C 试题分析：到原点的 “折线距离 ”等于 1的点为 ,为正方形，所以 正确 不正确； 到 两点的 “折线距离 ”相等的点为 ，所以，所以 ，所以 正确；到 两点的 “折线距离 ”差的绝对值为 1为 所以 所以，所以点的集合是两条平行线，所以 正确 . 考点： 1.点的集合； 2.新定义题 . 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆 “相交 ”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆 “相离 ”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两
3、条平行线和圆 “相切 ”已知直线相切，则 a的取值范围是（ ） A B C -3a一 或 a7 D a7或 a3 答案： C 试题分析：圆 ，圆心 ， ，两直线分别与圆相切时对应的 的边界值： 时 ； 时， 或 ，所以 的边界值分别为 ，所以选 . 考点： 1.点到圆的距离公式； 2.直线与圆相切问题 . 点 P是双曲线 左支上的一点，其右焦点为 ，若 为线段 的中点 , 且 到坐标原点的距离为 ，则双曲线的离心率 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设左焦点为 ，则 ，设 ，则有，即 ， 由定义有： ， ，由 得 . 考点： 1.双曲线的定义； 2.焦点三角形求离心率
4、的方法 . 函数 的部分图像如图，其中 ,且 ，则 f(x)在下列哪个区间中是单调的（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当图像过原点时，即 时， ，在 上为减函数， 上为增函数 当图像的最高点在 轴上时， ，在 上是减函数，上为增函数， 所以 在 上是单调的 . 考点： 1.三角函数的单调区间； 2.三角函数图像 . 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A B 160 C D 答案： C 试题分析： . 考点： 1.三视图还原几何体； 2.求几何体的表面积 . 已知函数 f(x) |x|，则函数 y f(x)的大致图像为 ( ) 答案： B 试题分析：当 时，
5、 ；当 时， ， 为减函数，所以选 B. 考点： 1.分段函数图像； 2.利用导数判断函数的单调性 . 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点，则下列说法错误的是（ ） A MN 与 CC1垂直 B MN 与 AC 垂直 C MN 与 BD平行 D MN 与 A1B1平行 答案： D 试题分析：在 中， ，由 ，则 ；由于，则 ，而 ，则 ，所以 正确 . 考点： 1.中位线的性质； 2.线线垂直的判定 . 已知数列 ， 满足 ， , 则数列的前 项的和为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， 是以 1为首项，以 2为公差的等差
6、数列， ， ， ， 是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， ， ， 数列 的前 项的和为 . 考点： 1.等差、等比数列的通项公式； 2.等比数列的前 n项和公式 . 若抛物线 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 和 ，则抛物线方程为（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析： ，即 ，代入抛物线中， ，所以 或 . 或 . 考点： 1.抛物线的焦点； 2.抛物线的对称轴； 3.抛物线的标准方程 . 函数 在点 处的切线斜率的最小值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ，当且仅当 时取等号， 的最小值为 . 考点： 1.利用导数求切线的斜率； 2.基本不
7、等式 . 已知复数 z满足 为虚数单位），则复数 所对应的点所在象限为 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析： ， ，复数 所对应的点 所在象限为第一象限 . 考点： 1.复数的除法运算； 2.复数和点的一一对应关系 . 填空题 直线 过椭圆 的左焦点 F，且与椭圆相交于 P、 Q 两点， M为 PQ的中点， O 为原点若 FMO 是以 OF为底边的等腰三角形，则直线 l的方程为 答案： 试题分析：由条件有 ，则 ， 设 ， ，则 ， 由条件 ，作 于 ，则 为 中点， ，即 ， 设直线 斜率为 ，则直线 的方程为 ， ，消 得： ， ，即 ，即 ， 直
8、线 的方程为 . 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.直线与椭圆相交问题； 3.直线的标准方程 . 如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，则平面截球 的截面面积为 . 答案： 试题分析：由题意可知：截面是 的外接圆，而 是边长为 的等边三角形， 所以外接圆 ，则 ，所以 . 考点： 1.平面截圆的性质； 2.三角形外接圆半径的求法 . 设 ABC的三个内角 A、 B、 C所对的三边分别为 a,b,c，若 ABC的面积为 ，则 = . 答案： 试题分析： ， ， ， ， ， ， . 考点： 1.余弦定理； 2.三角形面积公式 . 若直线 上存在点 满足约束条件 ，则实数 的取值范围 . 答案
9、： 试题分析： 与 的交点为 ，要使直线 上存在点满足约束条件，需要 . 考点：线性规划 . 解答题 在 中，角 所对的边为 ，且满足（ 1）求角 的值； （ 2）若 且 ，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题考查解三角形中的正弦定理、二倍角公式、二角和与差的正余弦公式及求三角函数最值等基础知识，考查基本运算能力 .第一问，先用倍角公式和两角和与差的余弦公式将表达式变形，解方程，在三角形内求角；第二问，利用正弦定理得到边和角的关系代入到所求的式子中，利用两角和与差的正弦公式展开化简表达式，通过 得到角 的范围，代入到表达式中求值域 . 试题：（ 1）由已知 得 ， 4
10、分 化简得 ，故 6分 （ 2）由正弦定理 ，得 ， 故 8分 因为 ，所以 ， ， 10分 所以 12分 考点： 1.倍角公式； 2.两角和与差的余弦公式； 3.正弦公式； 4.求三角函数的值域 . 已知数列 an满足： a1=20， a2=7， an+2an=2（ n N*） （ ）求 a3， a4，并求数列 an通项公式； （ ）记数列 an前 2n项和为 S2n，当 S2n取最大值时，求 n的值 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式等基础知识，考查化归与转化的思想方法，考查运算能力，考查分析问题和解决问题的能力 .第一问，分 是奇数，
11、是偶数两种情况，按等差数列的通项公式分别求解；第二问，分组求和，分 2组按等差数列的前 项和公式求和，再按二次函数的性质求最大值 . 试题：（ I） ， ， ， 由题意可得数列 奇数项、偶数项分布是以 2为公差的等差数列 当 为奇数时， 当 为偶数时， （ II） 结合二次函数的性质可知，当 时最大 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的求和公式； 3.二次函数的性质 . 如图所示的几何体 ABCDFE中， ABC， DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED是边长为 2的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC （ ）求几何体 ABCDFE的体积； （ ）证明：平面 A
12、DE 平面 BCF； 答案： 试题分析：本题考查面面垂直、面面平行的判定，考查学生的空间想象能力和计算能力 .第一问，根据题意，作辅助线，利用面面垂直的判定得平面平面 ，利用性质得 平面 ，同理 平面 ，利用等边三角形得 ，再利用几何体体积公式求体积；第二问，由第一问知，所以判断四边形 为平行四边形，所以 ，最后利用已知得面面平行 . 试题：（ ）取 的中点 ， 的中点 ，连接 . 因为 ，且平面 平面 ， 所以 平面 ，同理 平面 ， 因为 ， 所以 . （ 6分） （ ）由（ ）知 ， 所以四边形 为平行四边形，故 又 ，所以平面 平面 . （ 12分） 考点： 1.面面垂直的判断； 2.
13、面面平行的判断； 3.几何体体积公式 . 如图，已知抛物线 ： 和 ： ，过抛物线 上一点 作两条直线与 相切于 、 两点，分别交抛物线为 E、 F两点，圆心点 到抛物线准线的距离为 （ 1）求抛物线 的方程； （ 2）当 的角平分线垂直 轴时，求直线 的斜率； （ 3）若直线 在 轴上的截距为 ，求 的最小值 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系，突出几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等 .第一问，据点 到准线 的距离为 ，直接列式求得 ，得到抛物线的标准方程；第二问，据条件 的角平分线为 ，即
14、轴，得 ，而 ， 关于 对称，所以 ，利用两点斜率公式代入得，所以求得 ；第三问，先求直线 的方程，再求 的方程，令 ，可得到 ，利用函数的单调性求函数的最值 . 试题：（ 1） 点 到抛物线准线的距离为 ， ，即抛物线 的方程为 （ 2）法一： 当 的角平分线垂直 轴时，点 ， ， 设 ， ， ， ， 法二： 当 的角平分线垂直 轴时，点 ， ，可得， ， 直线 的方程为 ， 联立方程组 ，得 ， ， 同理可得 ， ， （ 3）法一：设 ， ， ， 可得，直线 的方程为 ， 同理，直线 的方程为 ， ， ， 直线 的方程为 ， 令 ，可得 ， 关于 的函数在 单调递增， 法二：设点 ， ，
15、以 为圆心， 为半径的圆方程为 相关试题 2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试卷（带） 已知函数 ， ，函数 的图像在点处的切线平行于 轴 （ 1）求 的值； （ 2）求函数 的极小值； （ 3）设斜率为 的直线与函数 的图象交于两点 ，（ ） ,证明： 答案： (1) ；（ 2） ；（ 3）证明过程详见 . 试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、单调区间、最值等 数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力 .第一问，对 求导，将 代入得到切线的斜率，由已知得 ，即 ，所以 ；第二问，利用第一问的结论得到 的式，对 求导，判断函数的单调性和
16、极值；第三问，先用分析法得出与结论等价的式子，即，先证不等式的右边，构造函数 ，通过求导数判断函数的单调性，求出最大值，所以 ，即 ，再证不等式的左边，同样构造函数 ，通过求导，求出最小值，即 ，即 ，综合上述两部分的证明可得 . 试题：（ 1）依题意得 ，则 由函数 的图象在点 处的切线平行于 轴得： . （ 2）由（ 1）得 函数 的定义域为 ，令 得 或 函数 在 上单调递增，在 单调递减；在 上单调递增故函数 的极小值为 （ 3）证法一：依题意得 ， 要证 ，即证 因 ，即证 令 （ ），即证 （ ） 令 （ ）则 在（ 1， + ）上单调递减， 即 ， 令 （ ）则 在（ 1， +
17、）上单调递增， =0，即 （ ） 综 得 （ ），即 【证法二：依题意得 ， 令 则 由 得 相关试题 2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试卷（带） 如图， AB是圆 O 的直径， C， D是圆 O 上两点， AC 与 BD相交于点 E，GC， GD 是圆 O 的切线，点 F 在 DG 的延长线上，且 .求证：（ 1） D、E、 C、 F四点共圆；（ 2） . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要以圆为几何背景考查四点共圆问题，线线垂直的证明，考查学生的转化与化归能力 .第一问，利用切线的性质得出 ， ，利用圆心角和圆周角的关系得出 ， ，通
18、过角之间转化得出 ，所以 四点共圆；第二问，通过边长相等，确定四点所在圆的圆心为 ，利用半径相等得出 在等腰三角形，所以，通过角之间的转化，证出 ，所以 试题：（ ）如图，连结 ， ，则 ， ， 设 ， ， ， ， 所以 3 分 因为 ，所以 又因为 ， 所以 ，所以 四点共圆 5 分 （ ）延长 交 于 因为 ，所以点 是经过 四点的圆的圆心 所以 ，所以 8 分 又因为 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 ，即 10 分 考点： 1.切线的性质； 2.圆心角与圆周角的关系； 3.四点共圆的判定 . 已知函数 . （ 1）解不等式 ； （ 2）若 ，且 ，求证： . 答案：（ 1）不等式 的解集为 ；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题考查解绝对值不等式和证明不等式，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想 .第一问，利用函数零点将绝对值去掉，将函数转化为分段函数，分类讨论解不等式；第二问，先利用已知函数将所证结论进行转化变成 ，再利用作差法先证 ，再开方即可 . 试题：（ ） ， 当 时，由 ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时，由 ，解得 4 分 所以不等式 的解集为 5 分 （ ） 即 6 分 因为 ， 所以 ， 所以 故所证不等式成立 10 分 考点： 1.解绝对值不等式； 2.作差法证明不等式 .
