1、2014届河南省中原名校联盟高三上学期第一次摸底考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 A 1， 4， 2x，若 B 1， ，若 B A，则 x （ ） A 0 B -2 C 0或 -2 D 0或 2 答案： C 试题分析：因为 ,则 ,或 ,当 时 , ,但 时 , ,这与集合的互异性相矛盾 , 当 时 , ,或 ,但 时 , ,这与集合的互异性相矛盾 ,综上所述 , 或 . 考点：集合的性质，集合与集合的关系，考查学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力 已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ x），则 （ ） A f（ 2） f（ 0） B f（ 2） f（ 0） C f（
2、2） f（ 0） D f（ 2） f（ 0） 答案： D 试题分析：函数 f（ x）（ x R）满足 ，则函数为指数函数，可设函数 ，则导函数 ，显然满足 ， ，显然 ，即 ，故选 B本题入手点是根据函数导数运算法则，构造满足条件函数，从而解题。 考点：函数与导数运算法则，考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力 . 等轴双曲线 （ a 0,b 0）的右焦点为 F（ c， 0），方程的实根分别为 和 ，则三边长分别为 ， ， 2的三角形中，长度为 2的边的对角是 （ ） A锐角 B直角 C钝角 D不能确定 答案： C 试题分析：等轴双曲线 （ 0,b 0）的右焦点为 F（ c， 0），可得，方
3、程 的实根分别为 和 ，得，长度为 2的边的对角，由余弦定理可得，故 为钝角 . 考点：本题等轴双曲线的定义及性质 ,根与系数关系 , 余弦定理 , 考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力 . 在圆 内任取一点，则该点恰好在区域 内的概率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：作出不等式组 表示的平面区域，得到如下图的 ABC及其内部，其中 A（ 1， 2）， B（ 3， 3）， C（ 3， 1） , ABC位于圆（ x-2）2+（ y-2） 2=4内的部分， 在圆 内任取一点，则该点恰好在区域 内的概率为 故答案：为： 考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识 ,考查学
4、生的基本运算能力 已知四棱锥 P-ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥 P-ABCD的四个侧面中的最大的面积是（ ） A 3 B 2 C 6 D 8 答案： C 试题分析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩 形的长边的中点，底面边长分别为 4， 2，后面是等腰三角形，腰为 3，所以后面的三角形的高为： ，所以后面三角形的面积为： ，两个侧面面积为： ，前面三角形的面积为： ，四棱锥 P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积： 6故选 C 考点：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力 如图所示， M， N 是函数 y 2sin（ wx
5、）（ 0）图像与 x轴的交点，点 P在 M， N 之间的图像上运动，当 MPN 面积最大时 0，则 （ ） A B C D 8 答案： A 试题分析：点 P在 M， N 之间的图像上运动，当 MPN 面积最大时，此时 ， 是等腰直角三角形，由题意可知， ， ，故 ， 考点：三角函数图像与性质，向量的数量积，学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思想 已知等比数列 中，各项都是正数，且 a1, a3， 2a2成等差数列，则（ ） A 1- B 1 C 2 D -1 答案： B 试题分析：由 成等差数列得 : ,即 ,从而,解得 , ,又因为各项都是正数 ,故 ,而 ,故选B. 考点：等比数列的通
6、项公式与等差数列的性质，考查学生的基本 运算能力以及转化与化归能力 . 正方形 AP1P2P3的边长为 4，点 B， C分别是边 P1P2， P2P3的中点，沿 AB，BC， CA折成一个三棱锥 P-ABC（使 P1， P2， P3重合于 P），则三棱锥 P-ABC的外接球表面积为 （ ） A 24 B 12 C 8 D 4 答案： A 试题分析：沿 AB， BC， CA折成一个三棱锥 P-ABC，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体 PABC 外接球的直径为以 为棱的球内接长方体的体对角线，由长方体的体对角线长， ，故四面体 PABC外接球的体积为 考点：本题考查球体的表面积公式，考查学生的
7、空间想象能力 . 执行右边的程序框图，若 t -1， 2，则 s （ ） A（ -1， 2） B -1， 2） C -1， 2 D（ -l， 2 答案： D 试题分析：由算法流程图可知 ,当 时 , ,当,时 , ,即 ,综上可知 . 考点：对算法框图的理解，及函数值域 , 考查学生的基本运算能力 若直线 y kx 与圆 -4x 3 0 的两个交点关于直线 x y b 0 对称，则 （ ） A k 1， b -2 B k 1， b 2 C k -1， b 2 D k -1， b -2 答案： A 试题分析：若直线 与圆 的两个交点关于直线对称，则直线 与直线 垂直 ,故斜率互为负倒数 ,可知
8、,而过弦的中点 ,且与弦垂直的直线必过圆心 ,而圆心的坐标为 ,代入直线 得 , . 考点：直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力 . 若数列 通项为 an，则 “数列 为递增数列 ”的一个充分不必要条件是（ ） A a0 B a 1 C a 0 D a 0 答案： B 试题分析：数列 为递增数列 ,则 ,反之 ,则数列 为递增数列 , 是数列 为递增数列的充要条件 , “数列 为递增数列 ”的一个充分不必要条件是 的范围比 小 ,即包含于 中 ,故选 考点：充要条件，考查学生的逻辑推理能力 . 已知 m， n R， mi-1 n i，则复数 m ni在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象
9、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析：由复数相等的定义可知 ,故 ,故在复平面内对应的点位于第四象限 . 考点：对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力 填空题 对于实数 a， b，定义运算 “”： ab ,设 f（ x）（ 2x-1）x，且关于 x 的方程 f（ x） m（ m R）恰有三个互不相等的实数根 ， ，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：因为 ，作出函数的图像，由图像可知 大于 ，小于 ，（注当 时，最小值 ， ，解得）本题综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高像此类题，应结合图像，综合考虑 考点：函数的根的问题，考查数形结合及运算求
10、解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想 已知（ 1 x） ，且 126，则 n的值为 _ 答 案： 试题分析：令 得， ，所以 ，即 ，赋值法是解二项式常用方法 考点：二项式的应用，考查学生的基本运算能力 曲线 x与 y 围成的图形的面积为 _ 答案： 试题分析：求曲线 和曲线 围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标 0、 1，然后求 在区间 0， 1上的积分，具体解法为联立 ，解得 ，所以曲线 和曲线 围成的图形面积，故选 A对于求平面图形的面积问题，首先应画出平面图形的大致形状，根据图形特点，选择相应的积分变量和被积函数，并确定被积区间，解答的关键是找到被积函数的原函数 考点：定积分
11、的运用，考查学生的数形结合能力，与基本计算能力 已知 1， ，且 ， 的夹角为 ，则 - 的值为_ 答案： 试题分析 ， 考点：向量的运算，考查学生的基本运算能力 解答题 已知在直角坐标系 xOy中，圆锥曲线 C的参数方程为 （ 为参数），直线 l经过定点 P（ 2， 3），倾斜角为 （ ）写出直线 l的参数方程和圆的标准方程； （ ）设直线 l与圆相交于 A， B两点，求 PA PB的值 答案：（ ）直线 l的参数方程 ,圆的标准方程;（ ） 试题分析：（ ）圆的标准方程 ,两式平方相加 ,消去参数即可 , 直线 l的参数方程可直接利用 为参数 ,来写出 ;（ ）设直线 l 与圆相交于 A，
12、B两点，求 PA PB的值 ,而 PA , PB即为直线与圆交点的 的值 ,故将直线方程代入圆的方程即可 . 试题：（ ） ， 为参数 （ ）把 代人 得， , 设 是方程 的两个实根，则 , 所以 考点：本题考查参数方 程，一般方程的应用以及相互转化，考查学生的转化与化归能力 如图，在 ABC中， CD是 ACB的平分线， ACD的外接圆交于 BC 于点 E， AB 2AC （ ）求证： BE 2AD； （ ）当 AC 1,EC 2时，求 AD的长 答案：（ ）详见 ;（ ） . 试题分析：（ ）要证明 ,注意到 是 的平分线，等角对等弦 ,可连接 ,则 ,可证 ,又因为 ,可证 即可 ,由
13、圆内接四边形的性质可证 ;（ ）根据割线定理 ,建立 的方程 ,解出 即可 . 试题：（ ）连接 ,因为 是圆的内接四边形，所以 ，又 ，所以 ，即有 ，又 ，所以，又 是 的平分线， 所以 ，从而 . （ ）由条件的 设 ，根据割线定理得 ,即，所以 即 解得 ，或 （舍去），即 考点：本小题考查割线定理，相似三角形，等角对等弦，圆内接四边形 ,考查分析问题、解决问题的能力 ,及推理论证能力 已知函数 f（ x） ln -a x（ a 0） （ ）若 ，求 f（ x）图像在 x 1处的切线的方程； （ ）若 的极大值和极小值分别为 m， n，证明： 答案：（ ） ；（ ）详见 试题分析：（
14、）若 ，求 图像在 处的切线的方程，须求图像在 处 的切线的斜率，即 的值，及 的值，这样需求参数的值，注意到条件 ，可以建立方程来确定参数 的值，本题思维简单，学生比较容易得分；（ ）证明： ，需要求出 的极大值和极小值，但此题是字母，不能求出，可考虑它们的和的问题，可设极大值点，与极小值点分别为 ，利用根与系数关系，得 ，这样 就转化为关于参数 的关系式，利用导数求出 的单调性，从而证出，此题出题新颖，构思巧妙，确实是一个好题 试题：（ ） ， ，即 ， ， 图像在 处的切线的方程为 ，即 ； （ ）设 为方程 的两个实数根，则 ，由题意得： ，令，则 ， 时， 是减函数，则 即 考点：本
15、题考查函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值，曲线的切线方程，导数与不等式的综合应用，考查学生的基本推理能力，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力 . 已知椭圆长轴的左右端点分别为 A， B，短轴的上端点为 M， O 为椭圆的中心， F为椭圆的右焦点，且 1， 1 （ ）求椭圆的标准方程； （ ）若直线 l交椭圆于 P， Q 两点，问：是否存在直线 l，使得点 F恰为 PQM的垂心 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说 明理由 答案：（ ）椭圆方程为 ；（ ）满足题意的直线存在，方程为：. 试题分析：（ ）求椭圆的标准方程 ,可采用待定系数法求方程 , 设椭圆方程为，利用
16、条件求 的值 ,从而得方程 ,因为 1,即,再由 1,写出 , 的坐标 ,从而求出 的值 ,可得方程 ;（ ）此题属于探索性命题 ,解此类问题，一般都假设成立，作为条件，能求出值，则成立，若求不出值，或得到矛盾的结论，则不存在，此题假设存在直线 符合题意，设出直线方程，根据直线与二次曲线位置关系的解题方法，采用设而不求的解题思维，设 的坐标，根据根与系数关系，来求出直线方程，值得注意的是，当方程不恒有交点时，需用判别式讨论参数的取值范围 试题：（ ）设椭圆方程为 ， ，所以 ，又因为，所以 ，则椭圆方程为； （ ）假设存在直线 符合题意。由题意可设直线 方程为： ，代入得： ， ，设，则 ，
17、解得： 或 ， 当 时，三点共线，所以 ，所以 ，所以满足题意的直线存在，方程为： . 考点：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力 如图，在多面体 ABCDE中， DB 平面 ABC， AE DB，且 ABC是边长为 2的等边三角形， AE 1， CD与平面 ABDE所成角的正弦值为 （ ）若 F是线段 CD的中点，证明： EF 面 DBC; （ ）求二面角 D-EC-B的平面角的余弦值 答案：（ ）详见；（ ）二面角 的平面角的余弦值为 试题分析：（ ）此题关键是建立空间坐标系，需要找三条两两垂直的直线，注意到 ABC 是边长为 2 的等边
18、三角形，可考虑取 AB的中点 O，则 ，取 BD的中点为 G，则 ，从而得到三条两两垂直的直线，这样就可以建立空间坐标系，根据题中条件，求出个点坐标，要证明 面 ，只需证 平行平面 的一个法向量即可，此题也可以用传统方法来解；（ ）求二面角 D-EC-B的平面角的余弦值，只需找出平面的一个法向量，利用法向量来求即可，值得注意的是，需要判断二面角是钝角还是锐角，否则求出的值不对 . 试题：（ ）证明：取 AB的中点 O，连结 OC,OD，则 ，即是 与平面 所成角， ，取 BD的中点为 G，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图空间直角坐标系，则 ，取BC 的中点为 M，则 面 ，所以
19、 ，所以 面 ； （ ）解：由上面知： ，又 取平面 DEC 的一个法向量 ，又 ，设平面 BCE的一个法向量 ,由 ,由此得平面 BCE的一个法向量则 ，所以二面角 的平面角的余弦值为 考点：本小题考查线面垂直的判定以及二面角的求法，考查学生的化归与转化能力以及空间想象能力， 甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的 10道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 5道题规定每次考试都从备选的 10道题中随机抽出 3道题进行测试，答对一题加 10分，答错一题（不答视为答错）减 5分，得分最低为 0分，至少得 15分才能入选 （ ）求乙得分的分布列和数学期望； （ ）求甲、乙两人中至少有一
20、人入选的概率 答案：（ ） 的分布列为 0 15 30 ；（ ）甲、乙两人中至少有一人入选的概率 试题分析：（ ）此题属于答错扣分问题，得分最低为零分，它包括两种情况，一种是三个都答错，一种是三个答对一个，若三个答对两个，此时得分为 15 分，若三个答对三个，此时得分为 30分，故 = ，计算出各个概率，可得分布列，从而求出数学期望；（ ）甲、乙两人中至少有一人入选，像这种至少有一问题，常常采用对立事件来解，即甲乙都没入选，分别求出甲乙没入选的概率，从而求出甲、乙两人中至少有一人入选的概率 试题：（ ）设乙得分为 ，则 = ， ， 的分布列为 0 15 30 ； （ ）设 “甲入选 ”为事件
21、A， “乙入选 ”为事件 B，则， ， ，所求概率考点：本小题考查独立事件与对立事件的概率，分布列，数学期望，考查学生的分析问题、解决问题的能力 设函数 f（ x） -sin（ 2x- ） （ 1）求函数 f（ x）的最大值和最小值； （ 2） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， c 3， f（ ） ，若sinB 2sinA，求 ABC的面积 答案：（ I）函数取得最大值 1，函数取得最小值 0；（ ） 试题分析：（ I）求函数 的最大值与最小值，需将函数 转化为一个角的一个三角函数，因此需对 降次整理，此题降次后，以及 sin（ 2x- ）利用诱导公式，转化为 ，从而
22、求解；（ ）求 ABC的面积，由三角形面积公式 ，须知道 ，及 的值，由 来确定的值，由 ，可利用 正弦定理转化为 的关系，再由余弦定理，求出 的值，从而求解 试题：（ I） 当 时，函数取得最大值 1；当 时，函数取得最小值 0； （ ） ，又 ， ， ， ， ， ，考点：本题考查三角恒等变化，正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合的能力以及转化与化归能力 . 设函数 f（ x） 2x 1 - x-2 （ ）求不等式 的解集； （ ）若 x f（ x） -ty 0y1 ，求实数 t的取值范围 . 答案：（ ）解集为 ；（ ） 试题分析：（ ）解不等式 ，首先将 转化为分段函数，然后利用分段函数分段解不等式，从而求出不等式的解；易错点，不知将 转化为分段函数；（ ）不等式，即 在 时有解 ,只要 在的最大值大于 即可 ,因此只需求出 在 的最大值即可 , 而，易求出最大值 ,然后解一元二次不等式即可 . 试题：（ ） ，所求解集为 （ ）依题意得 在 时有解 ， ，则 考点：本小题考查绝对值不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想，以及学生的运算能力 .
