1、2014届河南省内黄一中高三年级 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 的定义域为 的值域为 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 可得 ，又由 的图象可得 ，故 . 考点：集合的运算 已知函数 ，则函数 的零点所在的区间为 A B C 或D 答案： B 试题分析：由函数可得： ，则函数在 内有零点，故 在 内有零点，即选 B. 考点：函数的零点 设点 在 内部及其边界上运动，并且 ，则的最小值为 A B C 1 D 2 答案： B 试题分析：由则 ，故 ，代入化简得：，当 时有最小值 考点： 1.向量的运算 ;2.函数的最值 设 为等差数列，且 ，则数列
2、 的前 13项的和为 A 63 B 109 C 117 D 210 答案： C 试题分析：由已知化简得： ，故 ，即选 C. 考点：等差数列的基本量 已知四面体 中， ，则四面体 外接球的表面积为 A 36 B 88 C 92 D 128 答案： B 试题分析：在 中，由 ，可得 ，则 ，又 ，故 ，则. 考点：几何体的组合 若函数 ，满足 ，则 的值为 A B C 0 D答案： C 试题分析：由函数 满足 ，可知函数 的图象关于对称，则有 ，又，故选 C 考点：三角函数的图象和性质 如图，在 中， ， AD是边 BC 上的高，则的值等于（ ） A 0 B 4 C 8 D -4 答案： B 试
3、题分析：在 中，由 ，可求出，又 ，则，故选 B 考点：向量的数量积 已知函数 对任意的实数 都有 ，且 ，则 A B C D 答案： B 试题分析：由已知可得 ，可得 为一等差数列，又，则 ，即 ，故选 B 考点：等差数列的定义 已知直线 与圆 相切，且与直线 平行，则直线的方程是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意知直线 与直线 平行，故可设直线;又直线 与圆 相切，则，故选 D. 考点： 1.两直线的位置关系 ;2.直线与圆相切 设 ，则 之间的关系是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由函数 的图象可知 ，又由函数 的图象可得该函数在 上单调增，因为 ，则
4、 ，综上所述选 A 考点： 1.对数函数 ;2.幂函数的单调性 已知函数 的导函数为偶函数，则 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题分析：对所给函数求导得： ，由偶函数定义知：，即 ，所以 考点： 1.函数的导数 ;2.偶函数的定义 在 中，若 ，则 的形状一定是 A等边三角形 B不含 角的等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形 答案： D 试题分析：由已知化简得 可得到这是个直角三角形 考点：三角化简 填空题 设 ,则当 _时 , 取得最小值 . 答案： -2 试题分析：由题设得 ，代入可得： ，当时， ，不妨设，当且仅当 时取等号 ;当 时， ，不妨设 ，当且仅当 时取
5、等号，综上所述当时， 取最小值 考点： 1.分式函数 ;2.函数的最值 ;3.基本不等式 四棱锥 的底面是矩形，顶点 在底面 内的射影是矩形对角线的交点，且四棱锥及其三视图如下（ 垂直于主视图投影平面）则四棱锥的 侧面积是 _ 答案： 试题分析：由三视图可知四棱锥的高为 2，则可在含有棱锥高的两个直角三角形内分别求出两侧面上的斜高： 内 边上的高，则 ，同理得，故四棱锥的侧面积为 . 考点：棱锥的侧面积 已知 x， y满足 ，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：由满足的条件作图如下，又由 ，可看成两点间的斜率，由图可知过点 时，有最大值 ;过点时，有最小值 ，则范围为 考点：简单的线性规划
6、 解答题 下列说法：（ 1）命题 “ ”的否定是 “ ”； （ 2）关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ； （ 3）对于函数 ，则有当 时， ，使得函数 在 上有三个零点； (4） （ 5）已知 ，且 是常数，又 的最小值是 ，则 7.其中正确的个数是 . 答案： 试题分析：（ 1）将 改为 ， 改为 ，故（ 1）正确 ;（ 2）令 ，由函数图象可知 时， ，故 ，（ 2）正确 ;（ 3）由 时，函数 是奇函数，对函数化简 ，通过图象可看出与 与 只有一个交点 ，故（ 3）错误 ; （ 4） ， 又 ，故左边 右边，即（ 4）正确 ; （ 5）由已知可得， 则 ，又 可解得： ，则，即（
7、 5）正确 考点： 1.命题的否定 ;2.定积分运算 ;3.基本不等式 设函数 （ 1）在区间 上画出函数 的图象 ； （ 2）设集合 . 试判断集合 和之间的关系，并给出证明 . 答案：（ 1）详见 ; （ 2） . 试题分析：（ 1）根据函数的具体特点采用列表描点的基本方法，区间 的端点 要单独考虑，另外还要考虑到函数 的零点，含有绝对值函数 的图象的规律： 轴上方的不变， 轴下方的翻到 轴上方，这样就可画出函数在区间 上的图象 ; （ 2）由不等式 可转化为求出方程的根，再结合（ 1）中所作函数的图象，利用函数图象的单调性，即可确定出不等式 的解集 ，借助于数轴可分析 出的关系 试题：（
8、 1）函数 在区间 上画出的图象如下图所示： 5分 （ 2）方程 的解分别是 和 ，由于 在和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此. 8分 由于 . 10分 考点： 1.函数的图象和性质 ;2.集合的运算 在 中，内角 所对边长分别为 ， ，. （ 1）求 的最大值； （ 2）求函数 的值域 答案：（ 1） ; （ 2） 试题分析：（ 1）由数量积的定义 ，又在 中，可得到 之间的一个等式，又由 已知，可想到运用余弦定理，可找出 之间满足的等式关系，最后运用基本不等式，就可求出 的最大值 ; （ 2）对题中所给函数 运用公式进行化简，可得 的形式，结合中所求 的最大值，进而求出 的范围，最后
9、借助三角函数图象求出函数的最大值和最小值 试题：（ 1） ， 即 2分 又 所以 ，即 的最大值为 4分 当且仅当 ， 时取得最大值 5分 （ 2）结合（ 1）得， ， 所以 ， 又 0 所以 0 7分 8分 因 0 ，所以 ， 9分 当 即 时， 10分 当 即 时， 11分 所以，函数 的值域为 12分 考点： 1.向量的数量积 ;2.余弦定理 ;3.三角函数的图象和性质 已知数列 ，满足 ， ，若 。 (1)求 ； (2)求证： 是等比数列； (3)若数列 的前 项和为 ，求 答案：（ 1） ; （ 2）详见 ;（ 3） 试题分析：（ 1）根据题中所给数列的递推关系 ，由已知推出 ，再由
10、所得 推出 ，最后由 求出 的值 ;（ 2）要证明是 等比数列，即可联想到等比数列的定义去证明 常数，将由所给 代入到 ，化简得到这是一个常数，进而得到 是一个等比数列 ; （ 3）由（ 2）中所求 是一个等比数列，结合等比数列的通项公式中的，可求出 的通项，进而得出 的表达式，并由此求出所有奇数项的和 ，又由 求出 的表达式，并由此求出所有偶数项的和 ，最后由求出 的表达式 试题：（ 1） ; （ 2）证明： ，故数列 是首项为 ，公比为的等比数列 ; （ 3） ，即 ，又， 考点： 1.数列的通项 ;2.等比数列的定义 ;3.数列的求和 如图，在三棱柱 中， （ 1）求证： ； （ 2）若
11、 ，在棱 上确定一点 P， 使二面角 的平面角的余弦值为 答案：（ 1）详见 ; （ 2） P为棱 的中点 . 试题分析：（ 1）要证 ，可转化为去证明 垂直于含有 的平面，再由题中所给线面垂直 ，结合面面垂直的判定定理，可以判断得出 ，最后结合面面垂直的性质定理，由题中所给线线垂直 ，可以得到 ，进而不难证得 ;（ 2）由题意可知点 处可以构造出三条线两两垂直，故可选择以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，这样图中 的坐标，由点 在线段上，可转化为 从而用一个变量 表示出点 的坐标，求出这两个平面的法向量，运用向量数量积公式可计算出这两个法向量的夹角的余弦值，并由此而求出 的值，从而确定出点
12、的位置 试题：（ 1）在三棱柱 中，因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ， （ 2分） 因为平面 平面 ， ，所以 平面 ，所以. （ 4分） （ 2）设平面 的一个法向量为 ，因为 ， 即 所以 令 得 ， （ 10分） 而平面 的一个法向量是 ， 则 ，解得 ，即 P 为棱 的中点 . （ 12 分） 考点： 1.线线，线面和面面垂直 ;2.二面角的处理落实 如图所示，已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 两点， 是 的中点，直线 与相交于点 . (1)求圆 的方程； (2)当 时，求直线 的方程； (3) 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是 ,请说明理由 答
13、案：（ 1） ; （ 2） 或 ;（ 3）是定值，且 试题分析：（ 1）已知圆的圆心，再根据直线与圆相切可利用圆心到直线的距离等于半径来求出圆心，这样即可求出圆的标准方程 ; （ 2）已知直线被圆截得的弦长可联想到圆的特征三角形的三边的关系： ，又直线过一点可联想到设出直线的点斜式方程，但此处一定要注意斜率是否存在从而分两种情况讨论：当斜率不存在时，由图可直接分析得出 ;当斜率存在时，先计算出圆心到直线的距离，再结合已知 由上述特征三角形的关系可求出直线的斜率 ，进而得出直线方程 ; （ 3）要判断 是否为定值，发现点 是弦 的中点，根据圆的几何性质有： ，即可得 ，再由向量运算的知 识可知
14、，这样可转化为去求 ，最后结合（ 2）中所设直线的两种形式去求出点 的坐标，由向量数量积的运算公式可得是一个常数 试题：（ 1）设圆 的半径为 ，因为圆 与直线 相切，所以，故圆 的方程为 ; （ 2）当直线与轴垂直时，易知 符合题意 ;当直线与 轴不垂直时，设直线的方程为，即 连接 ，则 ，由 ，得 ，得直线的方程为 ，所求直线的方程为： 或 ;（ 3），当直线与 轴垂直时，得 ，则 ，又，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由 ，解得 ,，综上所述，是定值，且 考点： 1.圆的方程 ;2.直线与圆的位置关系 ;3.向量的数量积 已知函数 的最大值为 0，其中 。 （ 1）求 的值； （ 2
15、）若对任意 ，有 成立，求实数 的最大值； （ 3）证明： 答案：（ 1） ;（ 2） ;（ 3）详见 http:/ 试题分析：（ 1）根据函数的特征可对函数求导，由导数等于零，可求出函数的零点，利用导数与函数单调性的关系：导数大于零，函数在对应区间上单调增，导数小于零，函数在对 应区间上单调减，就可用 表示出函数的最大值进而求出 ;（ 2）先定性分析 的范围，发现当 时，易得 ，即可得出矛盾，进而 只有小于零，对函数求导后得出导数为零的 ，再根据与零的大小关系，可发现 要以 为界进行讨论，又由 结合函数的单调性不难得出只有 时不等式 恒成立 ; （ 3）当 时，不等式显然成立 ; 当 时，首先结合（ 1）中所求函数得出求和的表达式，这样与所要证不等式较近了，再结合（ 2）中所证不等式，取 的最大值 ，即 ，两式相结合，最后用放缩法可证得所要证明不等式 试题：（ 1） 定义域为 ,由 =0，得 . 1分 当 变化时， ， 变化情况如下 (-a,1-a) 1-a (1-a,+) + 0 - 增 极大值 减 因此， 在 处取得最大值，故 ,所以 . 3分 （ 2）当 时，取 有 ，故 不合题意 ;当 时，令 ，令 ，得http:/
