1、2014届河南省方城一高高三第一次调研（月考）考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由条件知 ， ，所以. 考点： 1.复平面内复数和点的对应关系； 2.复数的除法运算 . 定义域为 的函数 ，若关于 的方程恰有 5个不同的实数解 ，则等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因方程 恰有 5个不同的实数解， 故 应是其中的一个根，又 ，故 于是有， 四个根为 . 考点： 1.方程的根的问题； 2.对数方程的解法 . 点 为双曲线 和圆 的一个交点，且 ,其中 为双曲线 的两个焦点，则双曲线
2、 的离心率为（ ） A B C D 2 答案： A 试题分析：在双曲线中有 ，所以圆 是以 为圆心，以 为半径的圆， ， 结合图形易知 ， ， ，由双曲线的定义可得，解得 . 考点： 1.双曲线的定义； 2.圆的标准方程； 3.双曲线的标准方程 . 我们把个位数字之和为 6的四位数称为 “六合数 ”（如 2013是 “六合数 ”），则 “六合数 ”中首位为 2的 “六合数 ”共有（ ） A 18个 B 15个 C 12个 D 9个 答案： B 试题分析：根据六合数的定义，首位数字为 2，则第二位数字最大为 4，此时对应的数字只有一个为 2400；当第二位数字为 3时，后面两位分别为 1、 0，
3、共有两种数字对应，分别为 2310或 2301；当第二位数字为 2时，后两位有 2、 0或1、 1对应，因此有 3种数字对应，分别为 2220， 2202， 2211；当第二位数字为1时，后两位分别为 3， 0或 2， 1，共有四种数字与之对应，分别为 2103，2130， 2121， 2112；当第二位数字为 0时，后两位数分别为 4、 0或 2、 2，或 1、3对应 5种数字，分别为 2040， 2004， 2022， 2013， 2031，因此六合数的个数为 15个 考点：排列组合 . 将函数 图像上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，那么所得图像的一条对称轴
4、方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：将函数 的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令 ，则 ，当 时， . 考点： 1.三角函数的变换； 2.三角函数图象的对称轴 . 阅读如图的程序框图，并判断运行结果为（ ） A 55 B -55 C 5 D -5 答案： D 试题分析： ， ， . 考点：程序框图 . 过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 与抛物线在第一、四象限分别交于 两点，则 等于（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 答案： C 试题分析：如图，过 作准线的垂线，垂足分别为 ，过 作于 ，由垂直及抛物线的定义可知 ，所以 ，所以,所以 . 考点：抛物线的定义 . 等差
5、数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列 . 则 的值为（ ） A 18 B 15 C 12 D 20 答案： A 试题分析：根据题意可知 ，则数列的公差为 5，所以 ，故选 . 考点：等差数列的通项公式 . 一个直三棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 9 B 10 C 11 D答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体为一个长方体截去一个三棱锥，三棱锥的体积为 ，长方体的体积为 ，所以该几何体的体积为 11，故选 . 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积 . 下列命题正确的是（ ） A B C 是
6、的充分不必要条件 D若 ，则 答案： C 试题分析：由 知不存在 满足条件， 错误；当 时知 不正确；当均为复值时，不等式不成立， 错误，正确答案：选 . 考点： 1.充分必要条件； 2.不等式的性质； 3.存在命题和全称命题 . 下列函数中，在 上单调递增的偶函数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设函数 ，则 ，当 ，即函数 在 上单调递增 . 考点： 1.函数的单调性； 2.函数的奇偶性 . 设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 ，解得 ，故 ；由 ，解得 ，故 ，所以 ，故选 D. 考点： 1.一元二次不等式的解法； 2.函数的值域
7、； 3.集合的交集运算 . 填空题 设 ，将 个数 依次放入编号为 1， 2， ，的 个位置，得到排列 ，将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列，将此操作称为 变换，将 分成两段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ，例如，当 时， ，此时，位于 中的第 4个位置 .当 时， 位于 中的第 个位置 . 答案： 试题分析：当 时，排列 是将 个数分成 段，每段有 个数排列的第 1段数列的通项为 ，排列 的前两段数列的通项分别为和 ，排列 的前四段数列的通项分别为和 ，排列 的前八段数
8、列的通项分别为， ， 是 中第四段的第 11个数，即 位于 中的第 个位置 考点： 1.数列的通项； 2.理解信息题的能力 . 已知正四棱柱的底边和侧棱长均为 ，则该正四棱锥的外接球的表面积为 . 答案： 试题分析：由于正四棱锥的底边和侧棱长均为 ，则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是 3，则该正四棱锥的外接球的表面积为 . 考点： 1.球的表面积； 2.正四棱锥的性质 . 设 满足 ，则 的最小值为 . 答案： -1 试题分析：根据不等式组画出可行域，当取点 时， 取最小值 2，即有. 考点：线性规划 . 若 ，则实数 的值是 . 答案： 试题分析：由 ，解得
9、，又因为 ，所以. 考点：积分的计算 . 解答题 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），若以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 的极坐标方程为 （其中 为常数） . （ 1）若曲线 与曲线 只有一个公共点，求 的取值范围； （ 2）当 时，求曲线 上的点与曲线 上的点的最小距离 答案：（ 1） 或 ；（ 2） . 试题分析：本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，参数方程与普通方程之间的转化，考查学生的转化能力和计算能力，考查数形结合思想 .第一问，把参数方程和极坐标方程先进行转化，再利用数形结合解题；第二问，考查点到直线的距离公式，利用配方法求最小值 .
10、试题： (1)曲线 可化为 ， ， 曲线 可化为 ， 若曲线 ， 只有一个公共点， 则当直线 过点 时满足要求，此时 ， 并且向左下方平行运动直到过点 之前总是保持只有一个公共点， 当直线 N 过点 时，此时 ， 所以 满足要求； 再接着从过点 开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立 ，得 ， ，解得 ， 综上可求得 的取值范围是 或 .（ 5分） （ 2）当 时，直线 ， 设 上的点为 ， ， 则曲线 上的点到直线 的距离为 ， 当 时取等号，满足 ，所以所求的最小距离为 .(10分 ) 考点： 1.参数方程与普通方程的互化； 2.极坐标方程与直角坐标
11、方程的互化； 3.点到直线的距离公式； 4.配方法求最值 . 如图，在 中， 是 的角平分线， 的外接圆交 于 ，. （ 1）求证： ； （ 2）当 时，求 的长 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线相等的证明及相似三角形的证明，考查学生的转化能力和化归能力 .第一问，运用相似三角形的基本方法求证；第二问，借助割线定理证明相等关系，列出表达式，通过解方程求边长 . 试题： (1)连结 ， 为圆的内接四边形， ，又 ， ，即 ，而 ， . 又 是 的平分线， ，从而 .(5分 ) (2)由条件得 ，设 . 根据割线定理得 ，即 ， ， 解得 ，即
12、 .(10分 ) 考点： 1.相似三角形的判定和性质； 2.割线定理 . 若 ，其中 . （ 1）当 时，求函数 在区间 上的最大值； （ 2）当 时，若 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，最值和不等式等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力 .第一问，当 时，函数式确定，并不是分段函数，这就降低了试题的难度，求导数，判断所求区间上函数的单调性，再求最值，第一问较简单；第二问，由于函数 是分段函数，所以根据函数定义域把所求区间从 断开，充分考查了分类讨论思想，求出每段范围内函数的最
13、小值来解决恒成立问题 . 试题：（ 1）当 ， 时， ， ， 当 时 , , 函数 在 上单调递增 , 故 .(4分 ) （ 2） 当 时， ， ， ， ， 在 上为增函数， 故当 时， ； 当 时， ， ， （ ）当 即 时， 在区间 上为增函数， 当 时， ，且此时 ； （ ）当 ，即 时， 在区间 上为减函数，在区间上为增函数， 故当 时， ，且此时 ； （ ）当 ，即 时， 在区间 上为减函数， 故当 时， . 综上所述，函数 在 上的最小值为由 ，得 ；由 ，得无解； ，得无解； 故所求 的取值范围是 .（ 12分） 考点： 1.用导数求函数最值； 2.恒成立问题； 3.用导数判断函
14、数的单调性 . 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆 相切 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 ，且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直于 ，垂足为点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程； （ 3）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上（ 与 也不重合），且满足 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力
15、、综合分析和解决问题的能力 .第一问，利用直线与圆相切列出距离公式，求出椭圆中的基本量，比较简单；第二问，考查抛物线的定义，本问主要考查理解题意的能力；第三问，与向量相结合，再加上基本不等式求最值 . 试题：（ 1）由直线 与圆 相切，得 ，即. 由 ，得 ，所以 ，所以椭圆的方程是 . （ 4分） （ 2）由条件，知 ，即动点 到定点 的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点 的轨迹 的方程是 .（ 6分） （ 3）由（ 2）知 ，设 ， 由 ，得 ， ， ， ，当且仅当 ，即 时等号成立 . 又 ， ， 当 ，即 时， . 故 的取值范围是 .(12分 ) 考点： 1.椭圆的标准方程；
16、 2.点到直线的距离公式； 3.抛物线的定义； 4.基本不等式 . 已知在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， 分别是 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 答案： (1)证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力 .第一问，利用线面平行的判定定理，先找出面内的一条线 ，利用平行四边形证明 ，从而证明线面平行；第二问，用向量法解题，先建立直角坐标系，求出 2个平面的法向量，再求夹角 . 试题： (1)证明：取 的中点 ，连结
17、. ，且 ， 又 ， . 又 是 的中点，且 ， ， 四边形 是平行四边形 . 又 平面 ， 平面 . 平面 .(6分 ) (2)解：以 为原点，如图建立直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， 则 可得 ，令 ，则 易得平面 的法向量可为 ， ； 如图，易知二面角 的余弦值等于 ，即为 . （ 12分） 考点： 1.线面平行的判定定理； 2.向量法求二面角 . 某网站用 “10分制 ”调查一社区人们的幸福度 .现从调查人群中随机抽取 16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （ 1）若幸福度不低于 9.5分，则称该人
18、的幸福度为 “极幸福 ”，求从这 16人随机选取 3人，至多有 1人是 “极幸福 ”的概率； （ 2）以这 16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3人，记 表示抽到 “极幸福 ”的人数，求 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2）分布列详见， . 试题分析：本题考查茎叶图的读法和期望及分布列问题，考查学生的分析能力和计算能力 .第一问，至多有 1人是 “极幸福 ”，包含 2种情况：有 1人是 “极幸福 ”，有 0人是 “极幸福 ”，这一问利用公式计算，较简单；第二问，对事件进行分析是 本问的关键，先求出选 1人为 “极幸福 ”的概率 ，利用 ，利用二项
19、分布计算出每种情况下的概率，这部分是关键，以下的分布列和期望都需要用这些数 . 试题：（ 1）设 表示所取 3人中有 个人是 “极幸福 ”，至多有 1人是 “极幸福 ”记为事件 ， 所以 . （ 4分） （ 2） 的可能取值为 0,1,2,3. 分布列为 令解： 的可能取值为 0,1,2,3. 分布列为 所以 . （ 12分） 考点： 1.茎叶图； 2.分布列； 3.二项分布 . 已知 三个内角 的对边分别为 ，向量 ，且 与 的夹角为 . （ 1）求角 的值； （ 2）已知 ， 的面积 ，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 5. 试题分析：本题主要考查三角函数、平面向量、余弦定理、两角
20、和与差的余弦公式等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力 .第一问，根据平面向量的数量积列出一个三角函数的等式，通过变换这个等式探究第一问的答案：，在求角之前应注意角的取值范围；第二问，利用第一问的结论，有了角 的大小，要求三角形面积只需求出 的值，利用余弦定理和面积公式联立，解出 . 试题： (1) ， . ， 即 ， 又 ， .(6分 ) (2)由 ，得 ， 由 ，得 ， 由 得 ， ， .(12分 ) 考点： 1.向量的数量积； 2.余弦定理； 3.三角形的面积公式； 4.两角和与差的余弦定理 . 已知函数 . （ 1）求不等式 的解集； （ 2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力 .第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用绝对值的运算性质求出最小值证明恒成立问题 . 试题：（ 1）原不等式等价于 或 或 ， 解得 或 或 ， 不等式的解集为 .（ 5分） （ 2）依题意得：关于 的不等式 在 上恒成立， ， ，即 ，解得 ， 实数 的取值范围是 .(10分 ) 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.恒成立问题； 3.绝对值的运算性质 .
