1、2014届河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，且 ，那么 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析： ， ，又 ， ，即 . 考点： 1.集合的补集运算； 2.集合的子集关系 . 已知数列 的通项公式为 ，其前 n项和为，则在数列 中，有理数项的项数为（ ） A 42 B 43 C 44 D 45 答案： B 试题分析：， 为有理项， 且 ， 有理数项的项数为 43项 . 考点： 1.分母有理化； 2.裂项相消法求和； 3.数列的通项公式 . 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则椭圆的离心率 的取值范围为（
2、） A B C D 答案： A 试题分析： 椭圆 , ， ， ， 双曲线 ， ， ， 由条件有 ，则 ， ，由 ，有， ， ， ，即 ，而 ， . 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.双曲线的标准方程； 3.焦点、离心率 . 已知 是两个互相垂直的单位向量，且 ，则对任意的正实数， 的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 答案： B 试题分析：设 ， ，则 ，代入得 ， 所以 . 考点： 1.特殊值法； 2.向量的运算； 3.基本不等式 . 设函数 ，且其图像关于直线对称，则（ ） A 的最小正周期为 ，且在 上为增函数 B 的最小正周期为 ，且在 上为减函数 C 的最小正周期为 ，且在 上为
3、增函数 D 的最小正周期为 ，且在 上为减函数 答案： B 试题分析： ， 函数图像关于直线 对称， 函数 为偶函数， ， ， ， ， ， 函数 在 上为减函数 . 考点： 1.三角函数式的化简； 2.三角函数的奇偶性； 3.三角函数的周期； 4.三角函数的单调性 . 已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 -1的直线交抛物线于两点，若线段 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 焦点为 ， 设直线为 ， 直线交抛物线于两点， 消参得 ，设 ， ， 线段的中点的横坐标为 3， ， ， 抛物线的准线方程为 . 考点： 1.直线的方程； 2.韦达定理；
4、3.抛物线的焦点、准线； 4.中点坐标公式 . 二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则 的值为（ ） A 3 BC 3或 D 3或 答案： B 试题分析： ，第二项的系数为， ， . 考点： 1.二项展开式的系数； 2.积分的计算 . 已知各项不为 0的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且 ，则 等于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 答案： D 试题分析： ， ，即 ， ， ， 又 . 考点： 1.等差数列的性质； 2.等比数列的通项公式 . 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 1 D答案： B 试题分析：令切点坐标为 ，且 ， ， ， . 考点
5、：利用导数求切线的斜率 . 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由三视图知原图是一个底面为边长为 3的正方形，高为 的斜四棱柱， 所以 . 考点： 1.三视图； 2.四棱柱的体积 . 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早 7点至晚 8点甲、乙两个 监测点统计的数据（单位：毫克 /每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ） A甲 B乙 C甲乙相等 D无法确定 答案： A 试题分析： 所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地 . 考点： 1.平
6、均数的计算； 2.方差的计算 . 复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析： ，对应点的坐标为 ，在第四象限内 . 考点： 1.复数的计算； 2.复数与点的对应关系 . 填空题 定义在 上的函数 的单调增区间为 ，若方程 恰有 6个不同的实根，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析： 函数 的单调增区间为 ， -1和 1是 的根， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， . 考点： 1.函数的单调性； 2.韦达定理； 3.函数的最值 . 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
7、， ， ， ，则此球的表面积等于 . 答案： 试题分析：由已知条件得： ， ， ， ， 设 的外接圆的半径为 ，则 ， ， 外接球的半径为 ， 球的表面积等于 . 考点： 1.棱柱的体积公式； 2.余弦定理； 3.球的表面积 . 执行如图的程序框图，若输出的 ，则输入的整数 的值为 . 答案： 试题分析： ，此时 ，必须使 否时，输出 ，所以 . 考点： 1.程序框图； 2.等比数列的前 n项和公式 . 设 满足约束条件 ，则 的取值范围为 . 答案： 试题分析：由已知可画出区域如图：所以目标函数 的取值范围为 . 考点：线性规划 . 解答题 已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数） . （ 1
8、）化 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ 2）过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 . 答案：（ 1） ，曲线 为圆心是 ，半径是 1的圆，曲线 为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长轴长是 8，短轴长是 6的椭圆；（ 2） . 试题分析：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力 .第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线 的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出 . 试题： 曲线 为圆心是 ，半径是 1的圆 曲线 为
9、中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长轴长是 8，短轴长是 6的椭圆 4分 曲线 的左顶点为 ，则直线 的参数方程为 （ 为参数） 将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ， 则 所以 . 10分 考点： 1.参数方程与普通方程的互化； 2.圆和椭圆的标准方程； 3.韦达定理； 4.直线的参数方程 . 如图， 四点在同一圆上， 与 的延长线交于点 ，点 在的延长线上 . （ 1）若 ， ，求 的值； （ 2）若 ，证明： . 答案：（ 1） ；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要以圆为几何背景考查线线平行、相等的证明以及相似三角形的证明，考查学生的转化与化归能力 .第一问，利用四点
10、共圆得 和相等，再证明 与 相似，得出边的比例关系，从而求出 的值； 第二问，利用已知 得到边的关系，又因为 为公共角，所以得出 与 相似，从而得出 与 相等，根据四点共圆得与相等 与 相等，通过转化角，得出 与 相等，从而证明两直线平行 . 试题： 四点共圆， ，又 为公共角， . . 6分 ， ， 又 ， ， ， 又 四点共圆， ， ， . 10分 考点： 1.四点共圆的性质； 2.相似三角形的证明 . （本小题满分 12分）已知函数 ， . （ 1）若 恒成立，求实数 的值； （ 2）若方程 有一根为 ，方程 的根为 ，是否存在实数 ，使 ？若存在，求出所有满足条件的 值；若不存在，说明
11、理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）不存在满足条件的实数 . 试题分析：本题主要考查导数的计算以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查学生的函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力 .第一问，注意到函数的定义域中 ，所以先将原恒成立的不等式进行转化，设出新函数 ，只需证出 即可，所以转化为求函数的最小值问题，对 求导，讨论 的正负，判断函数的单调性和最值；第二问，结合第一问的结论，判断出当 或 或 时不合题意，当时，先求出 的解 ，假设存在 成立，得到 的值，代入到 中，判断 有没有可能为 0，设出新函数 ，只需判断 的最小值的正负，对 求导，并进行二次求导，判
12、断函数 的单调性，判断出 ，所以不合题意，所以不存在满足条件的实数 . 试题： 解 :注意到函数 的定义域为 , 所以 恒成立 恒成立 , 设 , 则 , 2分 当 时 , 对 恒成立 ,所以 是 上的增函数 , 注意到 ,所以 时 , 不合题意 . 4分 当 时 ,若 , ;若 , . 所以 是 上的减函数 ,是 上的增函数 , 故只需 . 6分 令 , , 当 时 , ; 当 时 , . 所以 是 上的增函数 ,是 上的减函数 . 故 当且仅当 时等号成立 . 所以当且仅当 时 , 成立 ,即 为所求 . 8分 解 :由 知当 或 时 , ,即 仅有唯一解 ,不合题意 ; 当 时 , 是
13、上的增函数 ,对 ,有 ， （本小题满分 12分）已知 的两顶点坐标 ， ，圆 是的内切圆，在边 ， ， 上的切点分别为 ， （从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点 的轨迹为曲线 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）设直线 与曲线 的另一交点为 ，当点 在以线段 为直径的圆上时，求直线 的方程 . 答案：（ 1） ；（ 2）直线 的方程 或. 试题分析：本题主要考查椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何意义、直线的方程、向量垂直的充要条件等基础知识，考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力 .第一问，利用圆外一点到圆的两条切
14、线段长相等，转化边，得到，所以判断出曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆（挖去与 轴的交点），利用已知求出椭圆标准方程中的基本量；第二问，根据已知设出直线 的方程，直线与曲线 联立，消参得关于 的方程，求出方程的 2个根，并且写出两根之和两根之积，因为点 在以 为直径的圆上，所以只需使 ，解出参数从而得到直线 的方程 . 试题： 解：由题知所以曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆（挖去与 轴的交点）， 设曲线 ： ， 则 ， 所以曲线 ： 为所求 . 4分 解：注意到直线 的斜率不为 ，且过定点 ， 设 ， 由 消 得 ，所以 ， 所以 8分 因为 ,所以 注意到点 在以 为直径的圆上 ,所以
15、 ,即 , 11分 所以直线 的方程 或 为所求 . 12分 考点： 1.椭圆的第一定义； 2.椭圆的标准方程； 3.直线与椭圆的位置关系； 4.韦达定理； 5.向量垂直的充要条件 . （本小题满分 12分）在三棱柱 中，侧面 为矩形， ， 为 的中点， 与 交于点 ， 侧面 . （ 1）证明： ； （ 2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和线面垂直的判定以及线面角的求法，可以运用空间向量法求解，突出考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及计算能力 .第一问，由于侧面 为矩形，所以在直角三角形
16、 和直角三角形 中可求出 和 的正切值相等 ，从而判断 2个角相等，通过转化角得到 ， 又由于线面垂直，可得 ，所以可证 ， 从而得证 ；第二问，根据已知条件建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，根据 ，求出平面 的法向量，再利用夹角公式求出直线和平面所成角的正弦值 . 试题： (1)证明：由题意 , 注意到 ,所以 , 所以 , 所以 , 3分 又 侧面 ， 又 与 交于点 ，所以 , 又因为 ,所以 6分 (2)如图，分别以 所在的直线为 轴，以 为原点，建立空间直角坐标系 则 ， ， ， ， ， 又因为 ，所以 8分 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则根据 可得 是平面 的一个法向
17、量 , 设直线 与平面 所成角为 ，则 12分 考点： 1.直角三角形中正切的计算； 2.线面垂直的判定和性质； 3.空间向量法；4.线面角的正弦值的求法 . （本小题满分 12分）为迎接 2014年 “马 ”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题 有三个选项，问题 有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题 可获奖金 元，正确回答问题 可获奖金 元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生 . （ 1）如果参与者先回答问题 ，求其恰好获得奖金 元的概率
18、； （ 2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 ，时 ，即先回答问题 A，再回答问题 B，获奖的期望值较大；当 ，时 ，两种顺序获奖的期望值相等；当 ，时 ，先回答问题 B，再回答问题 A，获奖的期望值较大 . 试题分析：本题考查生活中的概率的计算公式和离散 型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查学生的分析能力和计算能力 .第一问，参与者先回答问题 ，恰好获得奖金 元，说明了问题 答对了，而问题 没有答对，利用随机猜对问题 的概率 ，随机猜对问题 的概率 ， 求所求概率；第二问，分别求出先回答
19、问题 再回答问题 ， 先回答问题 再回答问题 的概率和期望值，由于得到的期望值中含有字母，所以作差比较大小，分情况讨论 2个期望值的大小 . 试题：随机猜对问题 的概率 ，随机猜对问题 的概率 2分 设参与者先回答问题 ，且恰好获得奖金 元为事件 , 则 , 即参与者先回答问题 ，其恰好获得奖金 元的概率为 . 4分 参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： 先回答问题 ，再回答问题 参与者获奖金额 可取 ， 则 ， ， 先回答问题 ，再回答问题 ，参与者获奖金额 ，可取 ， 则 ， ， 10分 于是，当 ，时 ，即先回答问题 A，再回答问题 B，获奖的期望值较大； 当 ，时 ，两种顺序获奖
20、的期望值相等；当 ，时 ，先回答问题 B，再回答问题 A，获奖的期望值较大 . 12分 考点： 1.随机事件的概率； 2.离散 型随机变量的分布列和数学期望 . （本小题满分 12分）如图 中，已知点 在 边上，满足， ， ， . （ 1）求 的长； （ 2）求 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：本题主要考查解三角形中正弦定理和余弦向量的应用以及平面向量垂直的充要条件、平方关系、诱导公式等三角公式的应用，考查基本的运算能力和分析问题解决问题的能力 .第一问，由于两向量的数量积为 0，所以两向量垂直，从而转化角，利用诱导公式化简，利用已知条件和余弦定理列出表达式，解出 的长；第二问，先利
21、用正弦定理在 中解出 的值，再利用 ，用诱导公式转化，求角 . 试题： (1) 因为 ，所以 , 即 , 2分 在 中，由余弦定理可知 ， 即 ， 解之得 或 6分 由于 ，所以 .7分 (2) 在 中，由正弦定理可知 ， 又由 可知 ， 所以 , 因为 , 所以 .12分 考点： 1.向量垂直的充要条件； 2.诱导公式； 3.余弦定理； 4.正弦定理； 5.平方关系 . 设函数 （ 1）若 的最小值为 3，求 的值； （ 2）求不等式 的解集 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力 .第一问，利用不等式的性质，得出 的最小值，列出等式，解出 的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有 和 4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集 . 试题： 因为 因为 ,所以当且仅当 时等号成立 ,故 为所求 . 4分 不等式 即不等式 ， 当 时，原不等式可化为 即 所以，当 时，原不等式成立 . 当 时，原不等式可化为 即 所以，当 时，原不等式成立 . 当 时，原不等式可化为 即 由于 时 所以，当 时，原不等式成立 . 综合 可知： 不等式 的解集为 10分 考点： 1.不等式的性质； 2.绝对值不等式的解法 .
