1、2014届浙江省嘉兴一中高三上学期入学摸底文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 , ,若 ,则 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 答案： D 试题分析：由 , , 可得 . 考点：本小题主要考查集合的基本运算 . 定义在 R上的奇函数 满足：当 时， ，则在R上，函数 零点的个数为 答案： 试题分析：显然定义 R 上的奇函数 ，必有 ；作函数 、的图像，可发现它们的图像只有一个交点，于是当 时，只有一个零点，根据奇函数的对称性可知当 时函数也有一个零点，所以一共有 个 . 考点：本小题主要考查函数的图像、函数的零点，考查学生的理解、分析能力 . 在 ABC中，角 A,B,C的
2、对边分别是 a,b,c已知 a=2c,且 A-C= ( ) 求 ； ( ) 当 b=1时，求 ABC的面积 S的值 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析： ( ) 用正弦定理、边角关系来求； ( )利用余弦定理、面积公式来求 . 试题：（ I）由正弦定理得 又 ，则 ，即 . 由 ，得 又 为锐角，得 ； ( )由余弦定理可知， 又 ，得 得 或 因为 ，所以 ，即 ，所以 . 所以 又 ，所以 考点：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和面积公式，考查分析问题、解决问题的能力 若函数 有两个零点 ，其中 ，那么在两个函数值中 ( ) A只有一个小于 1 B至少有一个小于 1 C都小于 1 D可能
3、都大于 1 答案： B 试题分析：若 则不妨设 ，于是 即，作图 如图所示，显然可以发现点 满足的区域有 ，于是，即在 两个函数值中至少有一个小于 1. 考点：本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力 已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 ，且 与 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，所以 ，又 与 轴垂直，所以 ，于是，所以 ，则. 考点：本小题主要考查抛物线、椭圆的定义以及离心率的求解 . 若 ，则直线 被圆 所截得的弦长为 ( ) A B 1 C
4、 D 答案： D 试题分析：因为 ，所以设弦长为 ，则 ，即. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系 相交 . 已知向量 ，向量 ，则 的最大值和最小值分别为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：，所以 ； . 考点：本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模 . 若 “ ”是 “ ”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：设集合 ， ，若 “ ”是 “ ”的充分而不必要条件可得 ，于是 ，即 . 考点：本小题主要考查充分必要条件 设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：若 Sn是等
5、差数列 an的前 n项和，则 也是等差数列；所以 也是等差数列，由 可设 ，则，于是可得 ，即 ，所以. 考点：本小题主要考查等差数列前 n项和的性质 . 设 是三个互不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A若 ，则 B若 ， ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ， ，则 答案： B 试题分析：根据点、线、面的位置关系可知 “若 ， ， ，则”，即不在平面内的直线平行于两个平行平面中的一个必平面另一个 . 考点：本小题主要考查点、线、面的位置关系 如果执行右边的程序框图，那么输出的 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据程序框图可知 . 考点：本小题主要考
6、查程序框图、等差数列求和，属于基本计算 . 设 则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 可知 ，即 . 考点：本小题主要考查对数的基本运算 . 填空题 以下四个命题： 在 ABC中 ,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且，则 ； 设 是两个非零向量且 ，则存在实数 ，使得 ； 方程 在实数范围内的解有且仅有一个； 且 ，则 ；其中正确的是 答案： 试题分析： 中根据正弦定理 可得 ，结合则有 解得 ，正确； 若 ，则，于是 ，即 ，所以 ，即存在实数 ，使得 ，正确； 显然 是方程 的根，令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，所以方程在实数范围内的解有且仅有一个，正确；
7、若 ，则，即，因为 ，所以 ，正确 . 考点：本小题主要考查正弦定理、向量、导数、不等式等知识点，考查学生的理解、分析和计算能力 . 若正数 满足 ,则 的最大值是 答案： 试题分析：由正数 满足 可得，所以 ，即 ，故的最大值是 . 考点：本小题主要考查基本不等式，考查学生的计算能力 . 已知直线 与 垂直，则 的值是 答案：或 4 试题分析：设直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为，由直线 与 垂直可得 ，于是 ，解得 . 考点：本小题主要考查直线与直线的垂直关系，考查学生利用直线方程求解方向向量 . 一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为 2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三
8、角形，则该几何体的体积为 答案： 试题分析：根据三视图可知该几何体为四棱锥，且底面是一个长、宽分别为和 的矩形，高为 ，于是 . 考点：本小题主要考查三视图、体积计算，考查学生的分析、计算能力 . 如图是某学校抽取的 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，第 小组的频数为 ，则的值 是 答案： 试题分析：设从左到右的前 个小组的频率为 ，则，解得 ，所以第 小组的频率为 ，于是 ，即 . 考点：本小题主要考查频率分布直方图，属于基础计算 . 若 ，其中 ， 是虚数单位，则复数 答案： 试题分析：若 ，则 ，所以 ，于是. 考点：本小题主要考查复数的计算，属于基
9、础题 . 解答题 设数列 满足 ， ( )求数列 的通项公式； ( )令 ，求数列 的前 项和 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）利用累加法求解通项公式；（ ）利用错位相减求解前 项和 . 试题： ( ) 当 时 把上面 个等式相加，得 所以 显然当 时 也成立 所以 ( ) 由 所以 两式相减可得 即 考点：本小题主要考查数列通项公式的求解方法 累加法以及前 项和公式、错位相减的求和等知识，考查分析问题、解决问题的能力 如图，在矩形 中， ，点 在边 上，点 在边 上，且 ，垂足为 ，若将 沿 折起，使点 位于 位置，连接， 得四棱锥 （ ）求证： ； （ ）若 ，直线 与平面 所
10、成角的大小为 ，求直线与平面 所成角的正弦值 答案：（ ）详见；（ ） ； 试题分析：（ ）主要利用线面垂直可证线线垂直；（ ）通过作作垂线转化到三角形内解角； 试题：（ ）证明： 且 是平面 内两条相交直线 （ ）由（ ）知 ， 平面 平面 ,且 过 作平面 的垂线，垂足 必在 上 是 与平面 做成的角， 且 是等边三角形 即 , 是等腰直角三角形 设 , 且 , 四棱锥 的高 设直线 与平面 所成的角为 ，则 考点：本小题主要考查立体几何线线垂直的证明、线面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力 . 已知函数 ， ； ( )若函数 在 1,2上是减函数，求实数 的取值范围； ( )令
11、，是否存在实数 ，当 ( 是自然对数的底数 )时，函数 的最小值是 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）根据原函数的单调性转化为导数来求；（ ）利用导数分析单调性，进而求最值 . 试题：（ ）若函数 在 1,2上是减函数， 则 在 1,2上恒成立 令 h(x) 2x2 ax-1， x 1,2， h(x)0在 1,2上恒成立 得 ， a 6分 （ ）假设存在实数 a，使 g(x) f(x)-x2， x (0， e有最小值 3 g(x) ax-lnx， x (0， e， g(x) a- 当 a0时， g(x) 时，在 (0， )上， g(x)0 g(x)
12、在 (0， 上单调递减，在 ( ， e上单调递增 g(x)min g 1 lna 3， a e2满足条件 当 e即 0 (舍去 ) 综上所述，存在 a e2使得当 x (0， e时， g(x)有最小值 3 .15分 考点：本小题主要考查导数，函数的单调性，分类讨论的数学思想，考查了学生的综合化简计算能力 . 已知点 ， 是抛物线 上相异两点，且满足 （ ）若 的中垂线经过点 ，求直线 的方程； （ ）若 的中垂线交 轴于点 ，求 的面积的最大值及此时直线的方程 答案：（ ） （ ） . 试题分析： ( ) 利用导数分析单调性，进而求最值； ( )利用不等式的放缩和数列的裂项求和 试题：（ I）
13、方法一 （ I）当 垂直于 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线 的方程为 ，代入方程 得： 得： 2分 直线 的方程为 中点的横坐标为 1， 中点的坐标为 4分 的中垂线方程为 的中垂线经过点 ，故 ，得 6分 直线 的方程为 7分 （ ）由（ I）可知 的中垂线方程为 ， 点的坐标为 8分 因为直线 的方程为 到直线 的距离 10分 由 得， ， 12分 , 设 ,则 ， ， ，由 ，得 在 上递增，在 上递减，当 时， 有最大值 得： 时， 直线 方程为 15分 (本题若运用基本不等式解决，也同样给分 ) 法二： （ ）当 垂直于 轴时，显然不符合题意， 当 不垂直于 轴时，根据题意设 的中点为 ， 则 2分 由 、 相关试题 2014届浙江省嘉兴一中高三上学期入学摸底文科数学试卷（带）
