1、2014届浙江省杭州市七校高三上学期期中联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ， ， ，那么 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 ， ，可得 . 考点：集合的基本运算 . 已知函数 满足 ，当 ， ，若在区间内，函数 有三个不同零点，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当 时，则 ，于是 ，故，如图所示，作出函数 的图像，观察图像可知：要使函数 有三个不同零点，则直线 应在图中的两条虚线之间，于是 . 考点： 1.导数求切线斜率； 2.函数的图像 正 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B
2、试题分析： 可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然. 考点：平面向量数量积 . 数列 满足 并且 ，则数列 的第100项为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 可得是等差数列，于是其首项为，公差 ，所以 ，即 . 考点：等差数列 . 已知函数 ，若 且 在区间上有最小值，无最大值，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据 且 在区间 上有最小值无最大值，所以中点 ，即 . 考点：三角函数的图像与性质 . 已知函数 ，则等式 的解集是（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：当 时， ，即 时 ；当时， ；故的解集是 或 . 考点：分段函
3、数 已知 ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：. 考点： 1.诱导公式； 2.二倍角余弦公式 . 等比数列 中， ，则 “ ”是 “ ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为 ，由 可得 ，所以，即 ；当 时可得，于是当 时， ；故 “ ”是“ ” 的充分而不必要条件 . 考点： 1.等比数列； 2.充分必要条件 若实数 满足不等式组 ，则 的最小值为（ ） A B C 1 D 2 答案： B 试题分析：如图所示， 过点 时，取值最小，即 . 考点：简单线性规划 . 在等差数列 中， ，则公差 等于
4、（ ） A 1 B C 2 D -2 答案： B 试题分析：由 . 考点：等差数列 . 填空题 已知 中， ， ，点 是线段 （含端点）上的一点，且 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：如图所示， ， ，则，由于 ，则 ，于是，因为 ，所以，即 的取值范围是 . 考点：平面向量综合运算 . 已知不等式 对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：由 可得 ，因为 ， ，所以 ，令 ，则 在 上单调递减，于是当 时， ，即 . 考点：函数的单调性 . 已知 ，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 . 考点：基本不等式 . 已知函数 是 上的奇函数， 时，
5、，若对于任意，都有 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 . 考点：函数的基本性质 在 ABC中，角 所对的边分别为 ， ， ，则 ABC的面积为 . 答案： 试题分析：由正弦定理 ，所以. 考点 1.正弦定理； 2.三角形面积公式 . 函数 不存在极值点，则 的取值范围是_. 答案： 试题分析： ，函数 不存在极值点，则 . 考点：函数的极值 . 已知 则 = . 答案： 试题分析：已知 则 ，于是 . 考点：同角三角函数基本关系式 . 解答题 已知函数 的定义域为 ， （ 1）求 ； （ 2）若 ，且 是 的真子集，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分
6、析： (1) 本小题求函数的定义域，主要涉及到对数的真数大于零、二次根号下非负、分式的分母不等于零，联立不等式 解之即可； (2) 本小题考查集合之间的关系，可以从 是 的真子集来考虑参数需要满足的条件，也可以把问题转化为恒成立的问题来求解 . 试题：（ 1）由 ， 2分 解得 或 ， 4分 （ 2）法一： 中 6分 1 时， ，此时 ，符合题意； 8分 2 时， ，此时 ，由 是 的 真子集得 ， 10分 3 时， ，此时 ，由 是 的 真子集得 ， 12分 综上得 14分 法二：因为 时总有 ， 所以 时总有 8分 所以 ， ； 12分 此时，显然有 但 ，所以 是 的真子集，综上得 14
7、分 考点： 1.函数定义域； 2.集合的关系 在 中，满足 的夹角为 ， 是 的中点， （ 1）若 ，求向量 的夹角的余弦值； . （ 2）若 ，点 在边 上且 ，如果 ，求 的值。 答案：（ 1） ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）本小题考查平面向量的基本运算，利用 来求两个向量的夹角的余弦值； （ 2）本小题首先利用余弦定理建立边角关系，然后求解 ，代入化简可得. 试题：（ 1）设 ，则 ， 3分 而 ， 5分 所以向量 的夹角的余弦值等于 。 8分 （ 2）在 解得 ， 10分 因为 ，所以 ， 12分 故 。 14分 考点： 1.平面向量数列积； 2.余弦定理 . 函数 （ 为常数）的
8、图象过原点，且对任意总有 成立； （ 1）若 的最大值等于 1，求 的式； （ 2）试比较 与 的大小关系 . 答案：（ 1） ；（ 2） ； 试题分析：（ 1）本小题主要利用函数图形过原点、函数的最大值、函数最值即为函数的极值点建立参数的等量关系式，然后解方程组可得 ； （ 2）本小题主要利用函数图形过原点、函数的最大值、函数最值即为函数的极值点建立参数的等量关系式，可得 ， ， 、 ，通过作差比较 可得结论 ； 试题： (1)由 4分 解得 ， 所以 。 8分 （ 2）因为 、 ， 为最大值， 所以 ， 10分 而 、 ，所以 ， 12分 所以 ，即 。 14分 考点： 1.求导的公式与法
9、则； 2.作差比较法 . 数列 前 项和 ，数列 满足 （ ）， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求证：当 时，数列 为等比数列； （ 3）在题（ 2）的条件下，设数列 的前 项和为 ，若数列 中只有 最小，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） 。 试题分析：（ 1）本小题主要利用数列公式 ，可以求得数列 的通项公式 ； （ 2）本小题通过分析可得 ，根据等比数列的定义可以判定 是以为首项、 为公比的等比数列； （ 3）本小题首先求得数列 的通项公式 ，然后根据数列 中只有 最小可以得出 ，即 . 试题：（ 1） ； 4分 （ 2） ， 所以 ，且 ， 所以 是以
10、 为首项、 为公比的等比数列； 8分 （ 3） ； 10分 因为数列 中只有 最小， 所以 ，解得 ； 13分 此时， ， 于是， 为递增数列， 所以 时 、 时 ，符合题意， 综上 。 15分 考点： 1.等差数列； 2.等比数列； 3.数列单调性的判定 . 设函数 ， ； （ 1）求证：函数 在 上单调递增； （ 2）设 ， ，若直线 轴，求 两点间的最短距离 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 3. 试题分析： (1) 本小题首先利用求导的公式与法则求得函数 的导数，通过分析其值的正负可得函数的单调性，函数 在 上单调递增； (2) 本小题主要利用导数分析函数的单调性 在上单调递增，然后求得目标函数的最值即可。 试题：（ 1） 时， ， 所以函数 在 上单调递增； 6分 （ 2）因为 ，所以 8分 所以 两点间的距离等于 ， 9分 设 ，则 ， 记 ，则 ， 所以 ， 12分 所以 在 上单调递增，所以 14分 所以 ，即 两点间的最短距离等于 3. 15分 考点： 1.求导得公式与法则； 2.导数判断单调性 .
