1、2014届浙江省浙北名校联盟高三上学期期中联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，所以，故选 D 考点：集合的运算 已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 ，得 ，关于 的不等式 在上恒成立，即关于 的不等式 在 上恒成立，由图像可知，当时，关于 的不等式 在 上恒成立 考点：函数图像 已知 ， ，则 的最小值是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：建立坐标系，以 的角平分线所在直线为 x轴，使得 的坐标为， 的坐标为 设 的坐标为 ，则由已知有，整理
2、后有，这是一个圆，要求 的最小值，即在圆上找一点离原点最近，显然是圆心到原点的距离减去半径，此时有最小值为 考点：向量的数量积，向量的模，向量的夹角 已知定义域为 的函数 在区间 上单调递减，并且函数为偶函数，则下列不等式关系成立的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：已知函数 为偶函数，故函数 关于直线 对称，又因为 在 上递减， ，显然 ，又因为 在 上递减，所以 考点：函数的奇偶性，与单调性 在 中，角 所对应的边分别为 ， .若 ,则 ( ) A B 3 C 或 3 D 3或 答案： C 试题分析：由 得， ，即 ，当 时， ，又因为 ，故 ，当 时， ， 考点：解三角形
3、若 ，满足 的解中 的值为 0的概率是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：满足 的解共有种，其中 为的有种，由古典概率可得 考点：古典概率 已知两个不重合的平面 和两条不同直线 ，则下列说法正确的是 ( ) A若 则 B若 则 C若 则 D若 则 答案： B 试题分析： A.若 则 不一定垂直 ，可以平行，也可以斜交，C.若 则 不一定垂直 ，可以平行，也可以斜交， D. 若则 不一定平行，它可相交，也可异面， B.若则 是正确的 考点：立体几何基本定理的理解 个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 4 B C 8 D 答案： 试题分析：有三视图可以看出，该几何体
4、是一个三棱锥，它的体积为 考点：三视图，几何体的体积 已知 ,则 “ ”是 “ ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 试题分析： ，解得 ，且 ，所以 “ ”不能得到 ，同时 也不能得到 ，故 “ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件 考点：充要条件的判断 若 ，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 考点：复数的运算 填空题 已知实数 ， 方程 有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于 3，则实数 的取值范围 _. 答案： 试题分析：令 ，根据函数 的图象，发现：当 x 1时，函数的图象是由 的图象向下平移 单位而得，它与
5、x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于 1；而 x1的图象是抛物线的一部分；若方程 有且仅有两个不等实根，且较大实根大于，则有： ，即 ，解得实数 的取值范围 考点：根的存在性与根的个数的判定 若正数 满足 ，则 的最大值为 _. 答案： 试题分析： ，所以 ，又单调性可知， 时取得最大值，最大值为 考点：基本不等式 过双曲线 上任意一点 ，作与实轴平行的直线，交两渐近线 、 两点，若 ，则该双曲线的离心率为 _. 答案： 试题分析：设 ，则 ， ，则，故，即 ，又因为点 在双曲线上，故 ，得，由此可得 ，从而 ，所以 考点：双曲线的离心率 已知圆 及直线 ，则圆心 到直线 距离为_. 答案：
6、试题分析：由圆 得圆心为 ，由点到直线距离公式得，圆心 到直线 距离为 考点：圆与直线位置关系 设实数 满足约束条件 则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：如图作出可行域，由图可知，当目标函数过 时值最大，最大值为 考点：线性规划 某程序框图如图所示，则输出的结果为 . 答案： 试题分析：第一次运行结果， ，此时 ，第二次运行结果，此时 ，第三次运行结果， ，此时 ，第四次运行结果， ，此时 ，第五次运行结果， ，此时，故停止运算，输出 考点：算法框图 设函数 .若 ，则 _. 答案： 试题分析：由题意 ，即 ，解得 ， ，所以 ， 考点：函数求值 解答题 已知函数 ，且其图象的相邻对称轴间的
7、距离为 . （ I）求 在区间 上的值域； （ II）在锐角 中，若 求 的面积 . 答案： (I) 的值域是 ；（ II） 试题分析： (I) 求 在区间 上的值域，解这类问题常常通过三角恒等变形，把它转化为一个角的一个三角函数来解，本题通过三角恒等变形得，因为其图象的相邻对称轴间的距离为 ，故它的周期，可得 ，这样得 ，从而可求值域；（ II）在锐角 中，若 由 (I)可得 ,求 的面积，只需求出 的值即可，又因为 可用余弦定理 ，求得 ，从而有 求得面积 试题：（ I）2分 3分 由条件知， ，又 ， . 4分 ， ， ， 的值域是 . 7分 （ II）由 ，得 , 9分 由 及余弦定理
8、 ，得 ， 12分 的面积 . 14分 考点：三角恒等变化，三角函数值域，解三角形 已知数列 的前 项和 ， （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）若 ，求数列 的前 项和 . 答案： (I) 详见；（ II） 试题分析： (I) 求证：数列 是等差数列，首先确定数列 的通项公式或关系式，由 ，求数列 的通项公式或关系式，可利用来求，注意需讨论 时的情况，本题由 ，得到数列的递推式， ，根据 ，证明 等于与 无关的常数即可；（ ）求数列 的前 项和 ，需求出数列 的通项公式，这是一个等比数列与一个等差数列对应项积所组成的数列，故可用错位相减法来求 试题：（ I） ,当 时， ， ， 1分 当
9、时， ， 2分 ， ， 4分 ，又 ， 是首项为 1，公差为 1的等差数列 . 7分 （ II） ， ， 8分 . 9分 ， ， 11分 - 得 ， ， 13分 . 14分 考点：求数列的通项公式，等差数列的定义，数列求和 如图三棱锥 中， ， 是等边三角形 . （ ）求证： ； （ ）若二面角 的大小为 ，求 与平面 所成角的正弦值 . 答案： (I) 详见；（ II） 试题分析： (I) 求证： ，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，注意到 ， 是等边三角形，可考虑取 的中点 ，连接 ，只需证 面 即可，显然易证，从而可得 ；（ II）若二面角的大小为 ，求 与平面 所成角的正弦值
10、，首先确定二面角的平面角，由（ I）可知， 即为二面角 的平面角，所以 ，求 与平面 所成角的正弦值，关键是找 在平面上的射影，注意到平面 平面 ，可过点 作 ，则 面，则 为 与平面 所成角，为了便于计算，可设 ，从而求出 与平面 所成角的正弦值 试题：（ I）取 的中点 ，连接 . 2分 是等边三角形， ， 4分 又 ， 面 ， 6分 （ II）由（ I）及条件知，二面角 的平面角为 ， 8分 过点 作 ，由（ I）知 面 ， ， 又 ， 面 ， 10分 为 与平面 所成角， 11分 令 ，则 ，. 14分 考点：线线垂直，线面垂直，二面角，线面角 已知函数 . （ ）当 时，试讨论 的单
11、调性； （ ）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使，求实数 取值范围 . 答案： (I) 当 时，当 时，在 上， ，在 上，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，函数 在 单调递减；当 时， 时 ,函数 在 上单调递减； 时 ,函数 在 上单调递增； 时 ,函数在 上单调递减；（ II）实数 取值范围 试题分析： (I) 当 时，试讨论 的单调性，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调性，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数 求导得 ，由此需对参数 讨论，分 ， 三种情况，判断导数的符号，从而得单调性；（ II）设，当 时，若对任意 ，存在 ，使，求实数
12、取值范围，由题意可知，当 时，若对任意时， 的最小值大于或等于当 时 的最小值即可，由（ I）知，当时， 在 单调递减，在 单调递增 . ，只需求出的最小值，由于本题属于对称轴不确定，需讨论，从而确定实数 取值范围也可用分离参数法来求 试题：（ I） = （ ） 3分 当 时，在 上， ，在 上， ，函数 在上单调递减，在 上单调递增； 4分 当 时， ，函数 在 单调递减； 5分 当 时， ， 时 , ,函数 在 上单调递减；时 , ,函数 在 上单调递增； 时 ,函数 在 上单调递减 . 7分 （ II）若对任意 ，存在 ，使 成立，只需9分 由（ I）知，当 时， 在 单调递减，在 单调
13、递增 .， 11分 法一： 相关试题 2014届浙江省浙北名校联盟高三上学期期中联考文科数学试卷（带） 已知抛物线 上有一点 ，到焦点 的距离为 . （ ）求 及 的值 . （ ）如图，设直线 与抛物线交于两点 ，且,过弦 的中点 作垂直于 轴的直线与抛物线交于点 ，连接.试判断 的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由 . 答案： (I) ， ；（ II） 的面积为定值，且为 试题分析： (I)已知抛物线 上有一点 ，到焦点 的距离为 ，求 及 的值，有焦半径公式， ，及已知可得 的值，又因为 在抛物线上，把 代入得可求 的值；（ II）判断 的面积是否为定值？关键是写出 的面积形式，几何中，求三角形的面积，常常采用分割法，分成两个公共底平行于坐标轴，高为坐标之差来求，本题已给出,只需求出 的长即可，而 的横坐标为 ，由此可采用设而不求，既有 ，得： ，可得， ，再由 ，可求出 关系，可得 的坐标，从而得 的坐标，这样可求出 的长，得 的面积，可解 试题：（ I）焦点 , 1分 ， 3分 ，代入 ，得 5分 （ II）联立 ，得： ， 即 ， 6分 ， 8分 = ， ， 11分 ， 13分 的面积 15 分注：其他解法可参考给分 . 考点：抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系
