1、2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期回头考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 = （ ） A B C D 2 ， 0 答案： C 试题分析： ， . 考点：函数的定义域、集合的交集运算 在正方体 中 , 为体对角线 的三等分点 ,则 到各顶点的距离的不同取值有 （ ） A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 答案： B 试题分析：如下图所示，设正方体 的棱长为 ，设点 是线段 上靠近点 的三等分点，过点 作 交 于点 ，则，易得 ， ， ， ， 由于 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，同理可得 ， ， ， ， ， ， ， 故 到各顶点的距离的不同取值有 个 . 考点：空间中两点
2、间的距离、勾股定理 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线 ，则下列命题不正确的是 （ ） A若 则 B若 则 C若 ， ，则 D若 , ，则 答案： D 试题分析：如下图所示，在长方体 中， ， 平面，且 平面 ，分别把 、 当做直线 、 ，平面视为平面 可知 选项正确；对于 选项， 平面 ， 平面，且有平面 平面 ，把直线 当做直线 ，平面与平面 分别当做平面 、 ，可知 选项正确；对于 选项，平面 ， ， 平面 ，且平面 平面，分别把 、 当做直线 、 ，平面 与平面 当做平面 、 ，可知 选项正确； 平面 ，平面 平面，但直线 与 异面，分别把直线 、 当做直线 、，把平面 、平面 分
3、别当做平面 、 可知选项 错误 . 考点：直线与平面、平面与平面的位置关系 已知函数 ,下列结论中错误的是（ ） A R, B函数 的图像是中心对称图形 C若 是 的极小值点 ,则 在区间 上单调递减 D若 是 的极值点 ,则 答案： C 试题分析：由于 ， ，由于 是函数的极小值点，且函数 的图象开口向上，故函数 存在极大值点，即存在 使得 ，从而函数 在 上单调递增，在上单调递减，即函数 在 不是单调递减的 . 考点：函数的单调性与极值、函数的对称性 已知曲线 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ，当 时， ，即， 即 ，解得 . 考点：函数图象的切线方程 若关于 的不等式
4、 在区间 上有解，则实数 的取值范围为 （ ） A B C (1,+) D 答案： A 试题分析：问题等价转化为不等式 在区间 上有解，即不等式在区间 上有解，令 ，则有 ，而函数在区间 上单调递减，故函数 在 处取得最小值，即， . 考点：一元二次不等式、参数分离法 若 为实数 , 表示不超过 的最大整数 ,则函数 在 上为（ ） A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数 答案： D 试题分析： ， ，且 ，故函数 既不是奇函数，也不是偶函数； ， ，故函数 不是增函数； ，即 ，故函数 是周期函数 . 考点：函数的奇偶性、单调性、周期性 已知 ，则下列不等式中总成立的是 （ ） A B C
5、 D 答案： A 试题分析： ， ， ， ， ，选项 正确；对于选项 ，取 ， ，则 ，故 不成立；对于 选项，要是 成立，则有 ，即 ， ，这与已知条件矛盾，选项错误；对于选项 ，若有 ，则有 ，这与选项 矛盾，错误，故选 . 考点：不等式的性质 已知 的终边在第一象限，则 “ ”是 “ ”（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 试题分析：取 ， ，则， ，此时 ，故 “ ” “ ”；另一方面，取 ，则 ， ，此时 ， 即 “ ” “ ”，故 “ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件 . 考点：三角函数、充分必要条件 若函数 f(x) (x
6、R)是奇函数，函数 g(x) (x R)是偶函数，则 ( ) A函数 f(x) g(x)是偶函数 B函数 f(x) g(x)是奇函数 C函数 f(x) g(x)是偶函数 D函数 f(x) g(x)是奇函数 答案： B 试题分析：令 ，由于函数 为奇函数，由于函数 为偶函数，则 ，故函数 为奇函数，故选 ；对于函数 ，取 ， ，则 ，此时函数 为非奇非偶函数，故 、 选项均错误 . 考点：函数的奇偶性 填空题 若至少存在一个 ，使得关于 的不等式 成立，则实数的取值范围为 答案： 试题分析：问题转化为：至少存在一个 ，使得关于 的不等式成立，令 ， ，函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， （
7、1）当函数 的左支与 轴交于点 ，此时有 ，若 ，解得 或 ， 则当 时，在 轴右侧，函数 的图象在函数 的上方，不合乎题意； （ 2）在 轴右侧，当函数 的左支与曲线 的图象相切时，函数 左支图象对应的式为 ，将 代入得 ，即 ， 令 ，即 ，解得 ，则当 时，如下图所示，在 轴右侧， 函数 的图象在函数 的上方或相切，则不等式在 上恒成立，不合乎题意； （ 3）当 时，如下图所示，在 轴右侧，函数 的图象的左支或右支与函数 相交，在 轴右侧，函数 的图象中必有一部分图象在函数 的下方，即存在 ，使得不等式成立，故实数 的取值范围是 . 考点：不等式、函数的图象 定义：区间 长度为 .已知函
8、数 定义域为，值域为 ，则区间 长度的最小值为 . 答案： 试题分析：如下图所示，解方程 得 或 ，令 ，即，得 ，由于函数 在定义域 上的值域为 ，则必有 或 ， （ 1）当 时，则 ，此时区间 长度的最小值为 ； （ 2）当 时，则 ，此时区间 长度的最小值为 ； 综上所述，区间 长度的最小值为 . 考点：对数函数、函数的定义域与值域 已知 则 的值等于 答案： 试题分析：由题意知. 考点：分段函数 已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心 ,OA为半径的球的表面积为 _. 答案： 试题分析：如下图所示，连接 、 交于点 ，连接 ，则 平面，由于四边形 为正方形
9、，且边长为 ， ， ，易知， ， ，所以球的表面积 . 考点：锥体的体积、球的表面积 已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为 的等腰三角形，则该三棱锥的体积为 答案： 试题分析：由俯视图知该三棱锥的底面是一个顶角为 的等腰三角形，且该三角形的底边长为 ，高为 ，即该三棱锥的底面积 ，由主视图与左视图知该三棱锥的高为 ，故该三棱锥的体积为. 考点：三视图、锥体的体积 函数 的定义域为 _. 答案： 试题分析：自变量 满足 ，解得 ，故函数的定义域为 . 考点：函数的定义域 已知 为虚数单位，复数 的虚部是 _. 答案： 试题分析： ，故复数 的虚部是 . 考点：复数的概念、复数的
10、四则运算 解答题 已知 ，设 ：函数 在 上单调递减， ：曲线 与 轴交于不同的两点。若 “ ”为假命题， “ ”为真命题，求 的取值范围。 答案： . 试题分析：先就命题 和命题 均为真命题时求参数 的取值范围，然后根据题中条件确定命题 和命题 的真假性，若有多种情况，应对两个命题的真假性进行分类讨论，并确定各种情况下参数 的取值范围，最后再将各情况下的取值范围取并集即可得到 的取值范围 . 试题：当 时，函数 在 内单调递减， 当 时，函数 在 内不是单调递减。 2分 曲线 与 轴有两个不同的交点等价于 ， 即 或 。 4分 若 正确，且 不正确，则 ，即 ； 6分 若 不正确，且 正确，
11、则 ，即 。 8分 综上， 的取值范围为 。 9分 考点：函数的单调性、二次函数零点个数的判断、复合命题 定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， （ ）求 在 上的式； （ ）当 取何值时，方程 在 上有解？ 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）先设自变量 ，先求出 的表达式，然后根据奇函数的定义 即可求出函数 在 上的式，对于其它点出的函数值，则根据其它条件确定；（ ）把问题进行适当转化，方程在 上有解 （其中 为函数 在 上的值域），只需根据不等式的性质或函数的单调性确定函数 在 上的值域就可以确定实数的取值范围了 . 试题：（ ）当 时， ，由 为 上的奇函数， 得 ， ,又有奇
12、函数得又 满足 5分 （ ）当 即 10分 考点：函数的奇偶性、不等式的性质 如图 , 三棱柱 ABC-A1B1C1中 , 侧棱 A1A 底面 ABC,且各棱长均相等 . D, E, F分别为棱 AB, BC, A1C1的中点 . ( ) 证明 EF/平面 A1CD; ( ) 证明平面 A1CD 平面 A1ABB1; ( ) 求直线 BC 与平面 A1CD所成角的正弦值 . 答案：（ ）详见；（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）连接 ，要证明 平面 ，只需证明 即可；（ ）欲证平面 平面 ，即证平面内一直线与平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得 平面 ，再根据平面与平面垂直的判定定理
13、证明即得；（ ）先过 作 交 于 ，利用（ ）中的结论得出 平面 ，从而 为所求的角，最后在直角 中，求出即为直线 与平面 所成的角的正弦值 . 试题：（ ）如图，在三棱柱 中， 且 ， 连接 ，在 中，因为 、 分别为 、 的中点，所以且 ， 又因为 为 的中点，可得 ，且 ，即四边形 为平行四边形， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （ ）由于底面 是正三角形， 为 的中点，故 ， 又由于侧棱 底面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，因此 平面 ，而 平面 ，所以平面平面 ； （ ）在平面 内，过点 作 交直线 于点 ，连接 ， 由于平面 平面 ，而直线 是平面 与平面 的交线， 故 平
14、面 ，由此得 为直线 与平面 所成的角， 设棱长为 ，可得 ，由 相关试题 2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期回头考试文科数学试卷（带） 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元 )与年产量 x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为 ,已知此生产线的年产量最大为 210吨 . ( ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； ( )若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润 最大利润是多少 答案： ( )年产量为 吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为万元； ( )当年产量为 吨时，可以获得最大利润，
15、最大利润是 万元 . 试题分析： ( )先根据定义将平均成本的表达式求出来，然后利用基本不等式求平均成本的最小值，但需注意基本不等式适用时的三个基本条件； ( )先将总利润的函数式求出来，然后利用函数的单调性与最值的相关方法求总利润的最大值 . 试题： ( )每吨产品的平均成本 当且仅当 取等号即 x=200210 满足。 年产量为 200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为 32万元； 5分 ( )设总利润为 万元， 则 在 上是增函数 时， 有最大值为年产量为 210吨时，可以获得最大利润 1660万元 . 10分 考点：基本不等式、二次函数的最值 已知函数 f(x)= x -ax
16、+(a-1) ， . （ 1）讨论函数 的单调性；（ 2）若 ，设 ， （ ）求证 g（ x）为单调递增函数； （ ）求证对任意 x ， x ， x x ，有 . 答案：（ 1）详见；（ 2）（ ）详见；（ ）详见 . 试题分析：（ 1）先利用导数求出函数 的两个潜在极值点 与 ，由于，可以确定 也在函数的定义域中，然后对 与 的大小关系分三种情况进行讨论，并求出相应条件下函数 的单调区间； （ 2）（ ）求出 的导数，然后利用导数或 法说明 在 上恒成立，从而证明函数 为单调递增函数；（ ）利用（ ）中的结论是单调递增函数，并假设 ，由 经过变形得到 . 试题： (1) 的定义域为 ， 2分 （ i）若 即 ,则 故 在 单调增加。 3分 (ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ;当 及时， 故 在 单调减少，在 单调增加。 5分 (iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加 . 6分 (2) （ ） 则 7分 由于 1a5,故 ，即 g(x)在 (0, +)单调增加， 8分 （ ）有（ ）知当 时有 ，即 ， 故 ，当 时，有 10分 考点：分类讨论、函数的单调性与导数
