1、2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期回头考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 = （ ） A B C D 2 ， 0 答案： C 试题分析： ， . 考点：函数的定义域、集合的交集运算 在 中，点 D在线段 BC 的延长线上，且 ，点 O 在线段 CD上（与点 C,D不重合）若 则 x的取值范围（ ） A BC D答案： C 试题分析：如下图所示，由于 ，点 在线段 上，故存在实数，使得 ，又 ， ， ， ，即 . 考点：平面向量的加法与减法 如图， F1， F2是双曲线 C： (a 0， b 0)的左、右焦点，过 F1的直线 与 的左、右两支分别交于 A， B两点若 ABF
2、2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 答案： C 试题分析：设 ，由于 为等边三角形， ，由双曲线的定义得 ，而 ， ，在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ，整理得 ， 即 ， ， ，即该双曲线的离心率为 . 考点：双曲线的定义与离心率、余弦定理 若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围为 （ ） A B C (1,+) D 答案： A 试题分析：问题等价转化为不等式 在区间 上有解，即不等式在区间 上有解，令 ，则有 ，而函数在区间 上单调递减，故函数 在 处取得最小值，即， . 考点：一元二次不等式、参数分离法 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线 ，
3、则下列命题不正确的是 （ ） A若 则 B若 则 C若 ， ，则 D若 , ，则 答案： D 试题分析：如下图所示，在长方体 中， ， 平面，且 平面 ，分别把 、 当做直线 、 ，平面视为平面 可知 选项正确；对于 选项， 平面 ， 平面，且有平面 平面 ，把直线 当做直线 ，平面与平面 分别当做平面 、 ，可知 选项正确；对于 选项，平面 ， ， 平面 ，且平面 平面，分别把 、 当做直线 、 ，平面 与平面 当做平面 、 ，可知 选项正确； 平面 ，平面 平面，但直线 与 异面，分别把直线 、 当做直线 、，把平面 、平面 分别当做平面 、 可知选项 错误 . 考点：直线与平面、平面与平
4、面的位置关系 某程序框图如图所示，该程序运行后输出 的值是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 不成立，执行第一次循环， ， ；不成立，执行第二次循环， ， ； 不成立，执行第三次循环， ， ； 不成立，执行第四次循环， ， ；不成立，执行第五次循环， ， ；成立，跳出循环体，输出 . 考点：算法与程序框图 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：. 考点：二倍角 已知 ，则下列不等式中总成立的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ， ， ，选项 正确；对于选项 ，取 ， ，则 ，故 不成立；对于 选项，要是 成立，则有 ，即 ， ，这与
5、已知条件矛盾，选项错误；对于选项 ，若有 ，则有 ，这与选项 矛盾，错误，故选 . 考点：不等式的性质 已知 的终边在第一象限，则 “ ”是 “ ” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分与不必要条件 答案： D 试题分析：取 ， ，则， ，此时 ，故 “ ” “ ”；另一方面，取 ，则 ， ，此时 ， 即 “ ” “ ”，故 “ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件 . 考点：三角函数、充分必要条件 若函数 f(x) (x R)是奇函数，函数 g(x) (x R)是偶函数，则 （ ） A函数 f(x) g(x)是偶函数 B函数 f(x) g(x)是奇函数 C函数 f
6、(x) g(x)是偶函数 D函数 f(x) g(x)是奇函数 答案： B 试题分析：令 ，由于函数 为奇函数，由于函数 为偶函数，则 ，故函数 为奇函数，故选 ；对于函数 ，取 ， ，则，此时函数 为非奇非偶函数，故 、 选项均错误 . 考点：函数的奇偶性 填空题 若至少存在一个 ，使得关于 的不等式 成立，则实数的取值范围为 答案： 试题分析：问题转化为：至少存在一个 ，使得关于 的不等式成立，令 ， ，函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， （ 1）当函数 的左支与 轴交于点 ，此时有 ，若 ，解得 或 ， 则当 时，在 轴右侧，函数 的图象在函数 的上方，不合乎题意； （ 2）在 轴右侧
7、，当函数 的左支与曲线 的图象相切时，函数 左支图象对应的式为 ，将 代入得 ，即 ， 令 ，即 ，解得 ，则当 时，如下图所示，在 轴右侧，函数 的图象在函数 的上方或相切，则不等式 在 上恒成立，不合乎题意； （ 3）当 时，如下图所示，在 轴右侧，函数 的图象的左支或右支与函数 相交，在 轴右侧，函数 的图象中必有一部分图象在函数 的下方，即存在 ，使得不等式成立，故实数 的取值范围是 . 考点：不等式、函数的图象 定义：区间 长度为 .已知函数 定义域为，值域为 ，则区间 长度的最小值为 . 答案： 试题分析：如下图所示，解方程 得 或 ，令 ，即，得 ，由于函数 在定义域 上的值域为
8、 ，则必有 或 ， （ 1）当 时，则 ，此时区间 长度的最小值为 ； （ 2）当 时，则 ，此时区间 长度的最小值为 ； 综上所述，区间 长度的最小值为 . 考点：对数函数、函数的定义域与值域 已知实数 满足： ， ，则 的最大值是_ 答案： 试题分析：不等式组 所表示的平面区域如下图中的阴影部分的区域表示，联立 ，解得 ，得点 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过区域中的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 已知 则 的值等于 答案： 试题分析：由题意知. 考点：分段函数 已知一个三棱锥的三视图如右下图所示，其中俯视图是顶角为 的等腰三角
9、形，则该三棱锥的体积为 答案： 试题分析：由俯视图知该三棱锥的底面是一个顶角为 的等腰三角形，且该三角形的底边长为 ，高为 ，即该三棱锥的底面积 ，由主视图与左视图知该三棱锥的高为 ，故该三棱锥的体积为. 考点：三视图、锥体的体积 在 的二项展开式中，常数项为 . 答案： 试题分析： 的二项展开式中第 项为，令 ，故 的二项展开式中的常数项为 . 考点：二项式定理 已知 为虚数单位，复数 的虚部是 _. 答案： 试题分析： ，故复数 的虚部是 . 考点：复数的概念、复数的四则运算 解答题 设公差为 （ ）的等差数列 与公比为 （ ）的等比数列有如下关系： ， ， （ ）求 和 的通项公式； （
10、 ）记 ， ， ，求集合 中的各元素之和。 答案：（ I） ， ；（ ） . 试题分析：（ I）根据题中已知条件列出关于等差数列 的公差 与等比数列的公比 的方程组，通过消参法将方程组转化为有关于 的方程，求出便可求出等比数列的公比 ，于次确定数列 和 的通项公式；（ ）通过数列 和 通项公式的特点找出两个数列前 项中的共同数，进而确定集合 与 的公共元素，最终可以求出集合 中各元素之和 . 试题：（ I）由已知 得 或 又 ， （ ）集合 与集合 的相同元素和为： 考点：等差数列与等比数列的通项公式、等比数列求和 在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的 1个红球、 2个黄球现分别从每
11、一个口袋中各任取 2个球，设随机变量 为取得红球的个数 . （ ）求 的分布列； （ ）求 的数学期望 . 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）先确定随机变量 的可能取值，然后利用事件的独立性求出在每个可能值下对应的概率，从而可以确定随机 的概率分布列；（ ）在（ ）的基础上根据随机变量的数学期望的定义求 即可 . 试题：（ ）由题意 的取值为 0， 1， 2 则 ； ； ； 所以 的分布列为 0 1 2 P （ ） 的数学期望： . 考点：事件的独立性、离散型随机变量的概率分布列与数学期望 如图， AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， BAC 30， BM AC 交 AC
12、 于点 M， EA 平面 ABC， FC/EA， AC 4， EA 3， FC 1 （ I）证明： EM BF； （ II）求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）先以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，并以此确定 、 、 四点的坐标，通过验证 来达到证明 的目的；（ ）求出平面 与平面 各自的法向量，利用空间向量法求出平面与平面 所成锐二面角的余弦值 . 试题：（ 1） ， 如图，以 为坐标原点，垂直于 、 、 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系由已知条件得 ， ， ， ， 由 ， 得 ， （ 2）由（ 1）知 ， 设平面 的法向量为
13、 ， 由 ，得 ， 令 得 ， ， ， 来源 :学 +科 +网 由已知 平面 ，所以取面 的法向量为 ， 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ， 则 ， 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 考点：直线与直线的垂直、二面角、空间向量法 如图， F1， F2是离心率为 的椭圆 C： (a b 0)的左、右焦点，直线 ： x - 将线段 F1F2分成两段，其长度之比为 1 : 3设 A， B是 C上的两个动点，线段 AB的中垂线与 C交于 P， Q 两点，线段 AB的中点 M在直线 l上 ( ) 求椭圆 C的方程； ( ) 求 的取值范围 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据题中的已知
14、条件列有关 的方程，求出 ，然后根据离心率求出 ，最后再根据 、 、 三者之间的关系求出 的值，从而确定椭圆的方程；（ ）先设点 的坐标 ，然后根据已知条件将直线 的方程用 进行表示，再联立直线 与椭圆 的方程，结合韦达定理将 表示为含 为代数式，然后再利用不等式的性质求出 的取值范围 . 试题：（ ）设 F2(c， 0)，则 ，所以 c 1 因为离心率 e ，所以 a 所以椭圆 C的方程为 ( ) 当直线 AB垂直于 x轴时，直线 AB方程为 x - ，此时 P( ， 0)、Q( ,0)， 当直线 AB不垂直于 x轴时，设直线 AB的斜率为 k， M(- ， m) (m0)， A(x1，y1
15、)， B(x2， y2) 由 得 (x1 x2) 2(y1 y2) 0， 则 -1 4mk 0，故 k 此时，直线 PQ斜率为 ， PQ的直线方程为 即 联立 消去 y，整理得 所以 ， 于是 (x1-1)(x2-1) y1y2 令 t 1 32m2， 1 t 29，则 又 1 t 29，所以 综上， 的取值范围为 考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理 已知函数 ， . ( )若 ，求函数 在区间 上的最值； ( )若 恒成立，求 的取值范围 . 注： 是自然对数的底数 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）将 代入函数式，并将函数 式中的绝对值去掉，写成分段函数，并将定义域 分
16、为两部分： 与 ，利用导数分别求出函数 在区间 与 上的最大值与最小值，然后进行比较，最终确定函数 在区间 上的最大值与最小值；（ ）利用参数分离法将不等式进行转化，借助 “大于最大值，小于最小值 ”的思想求参数 的取值范围，不过在去绝对值符号的时候要对自变量 的范围进行取舍（主要是自变量 的范围决定的符号） . 试题： ( ) 若 ，则 . 当 时， ， ， 所以函数 在 上单调递增； 当 时， ， . 所以函数 在区间 上单调递减， 所以 在区间 上有最小值 ，又因为 ， ，而 ， 所以 在区间 上有最大值 . ( )函数 的定义域为 由 ，得 （ *） （ ）当 时， ， ， 不等式（ *）恒成立，所以 ； （ ）当 时， 当 时，由 得 ，即 ， 现令 ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 在 上单调递增， 从而 的最小值为 ，因为 恒成立等价于 ， 所以 ； 当 时， 的最小值为 ，而 ，显然不满足题意 . 综上可得，满足条件的 的取值范围是 . 考点：利用导数求函数的最值、分段函数、参数分离法
