1、2014届湖北省七市（州）高三年级联合考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=R，集合 ， B= ，则 A B=（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知得， ， ，故 考点： 1、对数不等式； 2、指数不等式； 3、集合的运算 . 已知双曲线 的两个焦点为 、 ，其中一条渐近线方程为 ， 为双曲线上一点，且满足 （其中 为坐标原点），若 、 、 成等比数列，则双曲线 的方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知得， ，在 中， ，在中， ，又 ，故， ，又 ，故，故 ，又 ，故 ，双曲线方程为 考点： 1、余弦定理； 2、双曲线的定义和标准方程； 3
2、、等比中项 . 如果对定义在 上的函数 ，对任意 ，都有则称函数 为 “ 函数 ”.给出下列函数 : ； ； ； . 其中函数是 “ 函数 ”的个数为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由已知得， ，即，故 在定义域内单调递增 . ,其值不恒为正，故 不满足； ，故 满足； ， 满足；由分段函数的图象， 不满足 . 考点： 1、函数单调性的定义； 2、利用导数判断函数的单调性； 3、分段函数 . 设两条直线的方程分别为 ，已知 是方程的两个实根，且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意，两条直线之间的距离为，故 考点： 1
3、、平行线的距离； 2、根与系数的关系； 3、函数的最值 . 已知 为坐标原点， 两点的坐标均满足不等式组 设 与的夹角为 ，则 的最大值为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：画出可行域，如图所示，当点 A,B分别与点 重合时，向量 与 的夹角最大，且是锐角， ，则，又 ，故当 时， 取到最大值为 考点： 1、二元一次不等式表示的平面区域； 2、向量的夹角； 3、同角三角函数基本关系式 . 已知函数 与 的图像在 上不间断，由下表知方程 有实数解的区间是（ ） -1 0 1 2 3 -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.530 3.451 4.890 5
4、.241 6.892 A. B. C. D. 答案： B 试题分析：记 ，由表格知， ， ，故方程 有实数解的区间是 考点：函数的零点 . 阅读如图所示的程序框图，则输出结果 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：程序在执行过程中， 的值一次为： ； ； ；，输出= = 考点： 1、程序框图； 2、正弦二倍角公式和诱导公式 . 某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆），则该几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： 试题分析：还原几何体，由三视图知，该几何体是由底面半径为 2，高为 5的半个圆柱和长、宽、高分别为 4,4,5的长方体组成的组合体，其
5、表面积为 考点： 1三视图； 2、几何体的表面积 . 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图 (两坐标轴单位长度相同 )，用回归直线 近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ） A线性相关关系较强， b的值为 1 25 B线性相关关系较强， b的值为 O 83 C线性相关关系较强， b的值为 -0 87 D线性相关关系太弱，无研究价值 答案： B 试题分析：散点图里变量的对应点分布在一条直线附件，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于 1，故选 B. 考点：回归直线 . 下列说法错误的是（
6、 ） A命题 “若 x2-5x+6=0，则 x=2”的逆否命题是 “若 x2，则 x2-5x+60” B已知命题 p和 q，若 p q为假命题，则命题 p与 q中必一真一假 C若 x， y R，则 “x=y”是 的充要条件 D若命题 p： ， 则 答案： B 试题分析：由逆否命题的定义， A正确； 等价于 ，则，故 C正确；由特称命题的否定是 全称命题，故 D正确；若 p q为假命题，则命题 p与 q都假，故 B错误 考点： 1、命题的否定； 2、复合命题的真假判断； 3、四种命题的关系 . 填空题 在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点、 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标为 ，
7、曲线 的参数方程为（ 为参数），则点 到曲线 上的点的距离的最小值为 答案： 试题分析：由已知得，点 的直角坐标为 ，曲线 的普通方程为，表示以 为圆心， 为半径的圆，故点 到曲线 上的点的距离的最小值为 考点： 1、直角坐标和极坐标的互化； 2、参数方程和普通方程的互化； 3、点和圆的位置关系 . 如图，已知 是 的切线， 是切点，直线 交 于 两点，是 的中点，连接 并延长交 于点 ，若 ，则 答案： 试题分析：因为 是 的切线，所以 ，在 中，则 ， ，连接 ，则 是等边三角形，过点 A 作 ，垂足为 M，则 ，在 中， ，又，故 ，则 考点： 1、切线的性质； 2、相交弦定理 . 将长
8、度为 的线段分成 段，每段长度均为正整数，并要求这 段中的任意三段都不能构成三角形例如，当 时，只可以分为长度分别为 1,1,2的三段，此时 的最大值为 3；当 时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为 1,1,2,3的四段，此时 的最大值为 4则： （ 1）当 时， 的最大值为 _；（ 2）当 时， 的最大值为_ 答案：（ 1） 5；（ 2） 9. 试题分析：当 时， 的最大值为 3；当 时，可以分为 1， 1,2,3 的四段，此时 的最大值为 4；接着 时，可以分为 1,1,2, 3， ,5的四段， 的最大值为 5；依次数列变为 1,1,2,3,5,8,13,21,34此时线段长
9、度为 88， 的最大值为 9，当 依次数列变为 1,1,2,3,5,8,13,21,34， 46， 的最大值为 9. 考点：归纳推理 . 物体 以速度 （ 的单位： ， 的单位： ）在一直线上运动，在此直线上 与物体 出发的同时，物体 在物体 的正前方 处以 （ 的单位： ，的单位： ）的速度与 同向运动，则两物体相遇时物体 运动的距离为_ 答案： 试题分析：设两物体相遇时物体 运动的时间为 ，由定积分的几何意义得， ，解得 ，故 A运动的距离为 考点：定积分的物理意义 . 设 ，则 _ _ 答案： 试题分析：由已知得， ，展开式的通项公式为 ，令 ，故 考点：二项式定理 . 若 为虚数单位，
10、图中网格纸的小正方形的边长是 ，复平面内点 表示复数 ，则复数 的共轭复数是 _ 答案： 试题分析：由已知得 ，则 ，故 = ，其共轭复数为 . 考点： 1、复数的几何意义； 2、复数的运算； 3、共轭复数 . 解答题 已知向量 ，设函数 （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足， ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用数量积的坐标表示，先计算 ，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数式化为 ，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数 的单调递增区间；（ 2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，
11、往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理将 利用正弦定理转换为 ，同时结合已知和余弦定理得， ，从而求 ，进而求 的值 试题：（ 1）令 6分 所以所求增区间为 7分 （ 2）由 ， ， 8分 ，即 10分 又 ， 11分 12分 考点： 1、正弦定理； 2、余弦定理； 3、三角函数的图象和性质 . 已知数列 是等差数列， 是等比数列，其中 ， ，且为 、 的等差中项， 为 、 的等差中项 （ 1）求数列 与 的通项公式； （ 2）记 ，求数列 的前 项和 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）确定等差数列和等比数列各需两个独立条件，由已知得，且 ，故联立求
12、，则数列 与 的通项公式可求；（ 2）求数列的前 n项和，首先应考虑通项公式，根据通项公式的不同特点选择相应的求和方式本题先分别求等差数列和等比数列的前 n项和，代入 中，求得 ，则，分别利用错位相减法和等差数列前n项和公式计算即可 . 试题：（ 1）设公比及公差分别为 由 得 或 ， 3分 又由 ，故 4分 从而 6分 （ 2） 8分 9分 令 由 得 11分 12分 考点： 1、等差数列和等比数列的通项公式； 2、数列求和 . 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形， ，且 ， ， 为 的中点 （ 1）设 与平面 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证：； （ 2）在线段 上是否存
13、在一点 （与 两点不重合），使得 平面若存在，求 的长；若不存在，请说明理由 答案：（ 1）详见；（ 2）存在， 的长为 . 试题分析：（ 1）直线和平面所成的角以及二面角的计算，可以考虑两种方法，其一利用传统立体几何的方法，由已知得， ，又 ，故面 ，则 ，由 平面 ， ，故 ，则，然后分别在直角三角形中，求 ，或者可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角，利用两个半平面的法向量来求二面角的大小；（ 2）建立空间直角坐标系，设点，并求出半平面 的法向量，利用 和法向量垂直，列等式，即可求解 . 试题：解法一： (1)证明： 又 1分 又 平面 ， , 面
14、2分 3分 , 5分 6分 (2)取 的中点 ，连 交 于 ,由 与 相似得， , 7分 在 上取点 ,使 ,则 , 8分 在 上取点 使 ,由于 平行且等于 , 故有 平行且等于 ， 9分 四边形 为平行四边形，所以 , 10分 而 , 故有 平面 相关试题 2014届湖北省七市（州）高三年级联合考试理科数学试卷（带） 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示 （ 1）根据图中的数据信息，写出众数 ； （ 2）小明的父亲上班离家的时间 在上午 之间，而送报人每天在时刻前后 半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等） 求小明的父亲在上班
15、离家前能收到报纸（称为事件 ）的概率； 求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数 的数学期望 答案：（ 1） ；（ 2） ； . 试题分析：（ 1）在频率分布直方图中，众数是最高矩形的中点横坐标，即；（ 2） 基本事 件总数有无限多个，故可以考虑几何概型 可以看成平面中的点，试验的全部结果构成平面区域，而事件 A发生的前提是 ，利用面积的比表示事件 A发生的概率 ； 小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数相当于 次独立重复试验中，小明父亲收到报纸这个试验发生的次数，故随机变量 服从二项分布 ，则 . 试题：（ 1） 2分 设报纸送达时间为 ，小明父亲上班走的时间为 ，则小明
16、父亲上班前能取到报纸 等价于 ，如图可知，所求概率为 8分 服从二项分布，故 （天） 12分 考点： 1、众数； 2、几何概型； 3、二项分布 . 已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 ，过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆于 、 两点，连结 、 分别交直线 于 、 两点试问直线 、 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）由直线和圆相切，求 ，再由离心率 ，得 ，从而求 ，进而求椭圆 的方程；（ 2）要说明直线 、 的斜率之积是否为定值，关键是确
17、定 、 两点的坐标 .首先设直线 的方程，并与椭圆联立，设 ，利用三点共线确定 、 两点的坐标的坐标，再计算直线 、 的斜率之积，这时会涉及到 ，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可 试题：（ 1） ，故 4分 （ 2）设 ，若直线 与纵轴垂直， 则 中有一点与 重合，与题意不符， 故可设直线 . 5分 将其与椭圆方程联立，消去 得： 6分 7分 由 三点共线可知， ， ， 8分 同理可得 9分 10分 而 11分 所以 故直线 、 的斜率为定值 . 13分 考点： 1、椭圆的标准方程和简单几何性质； 2、直线和椭 圆的位置关系 . 已知 ， （ 1）设 ，求函数 的图像在 处的切线方程
18、； （ 2）求证： 对任意的 恒成立； （ 3）若 ，且 ，求证： 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先求导函数 ，由导数的几何意义知，切线斜率为，利用直线的点斜式方程可求；（ 2）构造函数，只需证明函数 的最小值大于等于 0即可，先求导得， ，因导数等于 0的根不易求出，再求导得， ，可判断 ，故 递增，且，故 在 单调递减，在 单调递增 得证；（ 3）结合已知条件或已经得到的结论，得证明或判断的条件，是构造法求解问题的关键，由（ 2）知 ，依次将代数式放大，围绕目标从而证明不等式 . 试题：（ 1） ， ，则 ， 图像在 处的切线方程为 即3分 （ 2）令 ， 4分 则 与 同号 在 单调递增 6分 又 ， 当 时， ；当 时， 在 单调递减，在 单调递增 即 对任意的 恒成立 8分 （ 3）由（ 2）知 9分 则 11分 由柯西不等式得 13分 同理 三个不等式相加即得证。 &
