1、2014届湖北省教学合作高三 10月联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：. 考点： 1.指数不等式的解法； 2.一元二次不等式的解法； 3.集合的运算 . 设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为，若在 上， 恒成立，则称函数 在 上为 “凸函数 ”.已知当 时， 在 上是 “凸函数 ”，则在 上（ ） A既没有最大值，也没有最小值 B既有最大值，也有最小值 C有最大值，没有最小值 D没有最大值，有最小值 答案： A 试题分析： ，因为 在 上是 “凸函数 ”， 所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，故， 所以 在
2、上既没有最大值，也没有最小值 . 考点： 1.恒成立问题； 2.导数 . 是定义在 上的连续的偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ） A B C D答案： C 试题分析：构造函数 、 均为偶函数，为偶函数，又 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性； 3.构造函数思想 . 设 ，函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是（ ） A B C 3 D答案： B 试题分析：函数 的图象向右平移 个单位后为 ， 所以 . 考点：三角函数图像的平移 . 在面积为 9的正方形 内部随机取一点 ，则能使 的面积大于 3的概
3、率是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设 边 上的高为 ，由 ，故所求概率为 . 考点：几何概型 . 某车间加工零件的数量 与加工时间 的统计数据如下表： 现已求得上表数据的回归方程 中的 的值为 0.9，则据此回归模型可以预测，加工 90个零件所需要的加工时间约为（ ） A 93分钟 B 94分钟 C 95分钟 D 96分钟 答案： A 试题分析：由表格， ， 在回归直线上，代入得 ，所以回归直线为 ， 时， . 考点：回归方程 . 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2， ， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29
4、，则抽到的 32人中，编号落入区间 的人数为（ ） A 10 B 14 C 15 D 16 答案： D 试题分析：由系统抽样的定义， 960人中抽取 32人，共需要均分成 32组，每组人，区间 1,480恰好含 组，故抽到的 32人中，编号落入区间1,480的人数为 16人 . 考点：系统抽样 . 某校女子篮球队 7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：由题意有： . 考点： 1.茎叶图的读法； 2.平均数 . 若 ，则下列结论正确的是
5、（ ） A B C D 答案： C 试题分析：当 时， ， ， . 考点：利用函数图像比较大小 . 下列说法中，正确的是（ ） A命题 “若 ”，则 “ ”的逆命题是真命题； B命题 “ ”的否定是 “ ”； C “ ”是 的充分不必要条件； D命题 “ ”为真命题，则命题 和命题 均为真命题 . 答案： C 试题分析：对于 A,当 时， 故 “若 则 “ ”的逆命题是假命题；对于 B, 命题 “ R ”的否定应该是 “ ， ”；对于 D,命题 “ ”为真命题，则命题 和命题 至少有一个为真命题 . 考点： 1.四种命题及其关系； 2.充分与必要条件； 3.全程量词与存在量词 . 填空题 对于
6、具有相同定义域 的函数 和 ，若存在 ，使得，则 和 在 上是 “亲密函数 ”.给出定义域均为的四组函数如下： 其中，函数 和 在 上是 “亲密函数 ”的是 . 答案： 试题分析：要使 和 在 上是 “密切函数 ”，只需 .对于 ， 令 ，所以 在 上单调递增，故其值域为 ， 不是 “密切函数 ”；对于 ，采用和 同样的方法求得 在 上的值域为 ，故 是 “密切函数 ”；对于 ，采用和 同样的方法求得在 上的值域为 ，故 不是 “密切函数 ”；对于 ，令 ，令，求得其值域为 ，故 是 “密切函数 ”，选 . 考点： 1.利用导数判断函数的单调性； 2.函数值域的求法 . 函数 是定义域为 的奇
7、函数，且 时， ，则函数有 个零点 . 答案： 试题分析：因为函数 是定义域为 R的奇函数，所以，当 时， ，令 得，在同一坐标系中分别作出 的图像，发现有一个交点，故在 时， 有一个零点，由奇函数的对称性知，在 时，有一个零点，又在 也是零点，一共有三个零点 . 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数零点问题 . 将一颗质地均匀的骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 和 ，则函数在 上为增函数的概率是 . 答案： 试题分析：因为函数 在 上为增函数，所以在 上恒成立，故 ，故符合条件的基本事件有（ 1,1），（ 1,2），（ 2,1），（ 2,2），（ 2,3），（ 2,4），（ 3,1），（ 3
8、,2），（ 3， 3），（ 3,4），（ 3,5），（ 3， 6） （ 6,6）共 30个，而所有的基本事件有 36个，故所求概率为 . 考点： 1.随机事件的概率； 2.利用导数求最值 . 如图，在 中，已知 ， 是 边上的一点， ， ，则 . 答案： 试题分析：在 中 ,由余弦定理得： ，故在 中 ,由正弦定理得：. 考点： 1.正弦定理； 2.余弦定理； 3.三角函数值 . 若 ，且 ， ， ，则与 的大小关系是 .（从 四个符号中选择一个你认为最准确的填写） 答案： 试题分析：, ， 中等号不成立，填 . 考点：基本不等式 . 直线 与曲线 相切，则 的值为 . 答案： -3 试题分析
9、：由 得 ，得切点为 ，代入切线得 . 考点：利用导数求切线方程 . 已知 ，则 . 答案： 或 试题分析： ，当 为第二象限角时， 当 为第三象限角时， .所以. 考点：三角函数值 . 解答题 已知函数 （ 1）解不等式 ； （ 2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题 ,考查学生的分类讨论思想和转化能力 .第一问，利用零点分段法进行分类求解；第二问，利用函数的单调性求出最大值证明恒成立问题 . 试题：（ 1） 或 3分 解得 或 不等式解集为 6分 （ 2） ，即 ， 7分 设 ，则 9分
10、 在 上单调递减， ； 在 上单调递增， 在 上 ， 11分 故 时不等式 在 上恒成立 12分 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.分段函 数求最值； 3.恒成立问题 . 已知函数 d的最大值为2， 是集合 中的任意两个元素，且 的最小值为. （ 1）求函数 的式及其对称轴； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力 .第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出 ，再求最值，通过解方程求出 ，确定了式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间
11、的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式 . 试题：（ 1） ， 由题意知： 的周期为 ，由 ，知 2分 由 最大值为 2，故 ，又 ， 4分 5分 令 ，解得 的对称轴为 7分 （ 2）由 知 ，即 ， 8分 10分 12分 考点： 1.倍角公式； 2.两角和与差的三角函数； 3.函数的周期； 4.函数的对称轴 . 某企业员工 500人参加 “学雷锋 ”志愿活动，按年龄分组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示 . （ 1）上表是年龄的频率分布表，求正整数 的值； （ 2）现在要从年龄较小的第 1,2,3组中用分层抽样的方法抽取 6人，年龄在第
12、1， 2， 3组的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的前提下，从这 6人中随机抽取 2人参加社区宣传交流活动，求恰有 1人年龄在第 3组的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2）第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人；（ 3） . 试题分析：本题考查频率分布直方图的读法、分层抽样以及随机事件的概率等基础知识，考查学生的分析能力和计算能力 .第一问，根据频率分布直方图求频率；第二问，考查分层抽样，利用样本容量比总容量的比例计算； 3.利用第 2问的结论，列出所有可能情况，在其中挑出符合题意的情况，求比值 . 试题： (1)由频率分布 直方图可知， ， 2分 . 4分 (2) 因为第 1
13、， 2， 3组共有 50+50+200=300人，利用分层抽样在 300名学生中抽取 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 1组的人数为 ， 5分 第 2组的人数为 ， 6分 第 3组的人数为 ， 7分 所以第 1， 2， 3组分别抽取 1人， 1人， 4人 8分 (3)设第 1组的 1位同学为 ，第 2组的 1位同学为 ，第 3组的 4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有： 共 种可能 10分 其中恰有 1人年龄在第 3组有 8种可能， 12分 所以恰有 1人年龄在第 3组的概率为 13分 考点： 1.频率分布直方图； 2.分层抽样； 3.随机事件的概率 . 某商场销售某种商品的经验表明，该商
14、品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元 /千克）满足关系式 ，其中， 为常数，已知销售价格为 4元 /千克时，每日可销售出该商品 5千克；销售价格为 4.5元 /千克时，每日可销售出该商品 2.35千克 . （ 1）求 的式； （ 2）若该商品的成本为 2元 /千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 最大 . 答案：（ 1） ；（ 2） 时 . 试题分析：本题考查函数的式和函数的最值，考查学生利用求导研究函数最值的解题能力和构造函数思想的应用 .第一问，利用已知的 2个特殊点确定式；第二问，根据题意构造函数，利用导数判断函数的单调性求函数的最值 . 试题：（
15、 1）由题意， ，联立（ 1）（ 2）解得 ，故 4分 （ 2）商场每日销售该商品所获得的利润为 6分 9分 列表得 的变化情况： 3 + 0 - 极大值 16 11分 由上表可得， 是函数 在区间 内的极大值点，也是最大值点 . 12分 所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值等于 16.当销售价格为3元 /千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 14分 考点： 1.利用特殊点求函数式； 2.利用导数求函数最值 . 已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底数 . （ 1）求 的单调区间； （ 2）若 ，且 在区间 上的最大值为 ，求 的值； （ 3）当 时，试证明： . 答案：（
16、1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（ 2） ；（ 3）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力 .第一问，讨论 的正负来求单调性，利用导数大于 0或小于 0，通过解不等式来求函数的单调性；第二问，讨论 方程的根与已知区间的关系，先判断函数的单调性，再求最值，列出方程解出 的值；第三问，证明 “ ”两边的两个函数的最值，来证明大小关系 . 试题：（ 1） 1分 当 时， 恒成立，故 的单调增区间为 3分 当 时，令 解得 ，令 解得 ，故 的单调增区间为 ， 的单调减区间 为 5分 （ 2）由（ I）知， 当 ，即 时， 在 上单调递增， 舍； 7分 当 ，即 时， 在 上递增，在 上递减， ，令 ，得 9分 （ ）即要证明 ， 10分 由（ ）知当 时， ， ， 11分 又令 ， ， 12分 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 13分 故 14分 即证明 . 考点： 1.利用导数判断函数的单调性； 2.利用导数求函数最值 .
