1、2014届湖北黄州区一中高三 11月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，若 ，则符合条件的实数的值组成的集合为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：当 时， ， ；当 时， ，要 ，则 或 ，即 或 ，选 C. 考点：集合元素的特征，交集的定义 . 已知函数 的图像为 上的一条连续不断的曲线，当 时，则关于 的函数 的零点的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 0或 2 答案： A 试题分析： ，令 ， ，即当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， ， 当 ，恒成立，故的零点个数是 0个 .选 A. 考点：导数，函数的零点 . 已知 O是平面上的一定点， A，
2、 B， C是平面上不共线的三点，动点 P满足， ，则动点 P的轨迹一定通过的（ ） A重心 B垂心 C外心 D内心 答案： A 试题分析：由正弦定理， ， 故动点 P的轨迹一定通过 的重心 .选 A. 考点：正弦定理，向量的加法、减法法则 . 数列 满足 并且 ，则数列 的第 100项为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， 数列 是常数数列， 设 ， ， ， ， ，选 D. 考点：等差数列的性质，裂项相消法 . 已知函数 ，若 且 在区间上有最小值，无最大值，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， 的图象关于 对称， 在区间上有最小值，无最大值， ，令 的
3、，选 C. 考点：三角函数图象的对称性 . 已知函数 ，则方程 的解集是（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：依题意， 或 ，即 或 ， 故方程 的解集是 或 ，选 C. 考点：分段函数，方程的解集 . 直线 l经过 两点，那么直线 l的倾斜角的取值范围（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意， ，有正切函数图象知，直线的倾斜角的取值范围是 ，选 D. 考点：直线的倾斜角、斜率 . 若 A、 B是锐角 ABC的两个内角，则点 P（ cosB-sinA， sinB-cosA）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： 是锐角三角形
4、，则 ， ， ， ， ， ， 点 在第二象限，选 B. 考点：锐角三角形的性质，三角函数诱导公式 . 若实数 满足不等式组 ，则 的最小值为（ ） A 3 B C 1 D 2 答案： C 试题分析：不等式组表示的平面区域如图中的 ，要求 的最小值，即平移直线 ，使得经过点 时最小，易求得 ， 所求最小值为，选 C. 考点：线性规划，绝对值的意义 . 等比数列 中， ，则 “ ”是 “ ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：设 ，若 ，则 ， ， ， ； 若 ， ， ，即 或 ， 故等比数列 中， ，则 “ ”是 “ ”
5、的充分而不必要条件，选A. 考点：充分条件、必要条件，等比数列的性质 . 填空题 已知 中， ， ，点 是线段 （含端点）上的一点，且 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：如图建立直角坐标系，则 ， ，设 ，则， 由 得 ， ， 由 得 ， 由 ， 两式相乘得 ， ， ， ， 考点：向量的数量积，向量的模 ,基本不等式 . 已知函数 的对称中心为 ，记函数的导函数为 ， 的导函数为 ，则有 若函数，则可求得_. 答案： 试题分析： ， ， ， 则对称中心为 ， ， 设 ， 则 ， ，即 . 考点：导数的计算，函数的对称中心 . 已知不等式 对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 _. 答
6、案： 试题分析：分离变量 (其中 ）， 上式在 ， 恒成立，说明 不能小于右边的最大值 , ，故 考点：二次函数的值域，分离变量法，恒成立 . 若不等式 对满足 的一切实数 恒成立，则 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：由柯西不等式有 ， ，即 ，解得 或 . 考点：柯西不等式，绝对值不等式 . 函数 不存在极值点，则 的取值范围是_. 答案： 试题分析：依题意， ，要函数 无极值点，则， 解得 . 考点：函数的极值 . 解答题 已知函数 的定义域为 ， （ 1）求 ； （ 2）若 ，且 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）求函数的定义域问题，涉及对
7、数其真数应大于 0，分母应不为0，二次根式的被开方数式应大于或等于 0，注意考虑问题应全面，不逆漏 .本题函数由意义需要 ，接不等是组记得元函数的定义域；（ 2）对集合，解方程 需要对 进行分类讨论 .在由 求出 的取值范围 . 试题：（ 1）由 ，解得 或 ， . （ 2） ， 当 时， ， 当 时， ， ， 或 或解 或 ， 考点：函数的定义域，交集的概念，一元二次不等式的解法 . 已知 ，且 ， 设 ， 的图象相邻两对称轴之间的距离等于 （ 1）求函数 的式； （ 2）在 ABC中， 分别为角 的对边， ， ，求 ABC面积的最大值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）运用
8、向量的数量积，二倍角、辅助角公式把函数 变成的形式，利用 的图象相邻两对称轴之间的距离等于 ，再求出 ，从而得到 ；（ 2）用 代替函数中的 ，求出 ，再利用三角形的面积公式，均值不等式求出面积的最大值，注意 、 何时能取得最大值 . 试题：（ 1） = 依题意： ， （ 2） ， ， 又 ， ， 当且仅当 等号成立，所以 面积最大值为 . 考点：向量的数量积，二倍角、辅助角公式，三角形面积，基本不等式 . 函数 （ 为常数）的图象过原点，且对任意总有 成立； （ 1）若 的最大值等于 1，求 的式； （ 2）试比较 与 的大小关系 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）要求
9、的式，需要求 、 、 ，则需要根据题目条件找到三个关于 、 、 的方程组成方程组，本题中容易找到的是 ，难找的是 ； 已有的条件是 ， ，即 ， ， 为最大值， 计算 ，在判断 的符号 . 试题： (1)由 解得 ，所以 . （ 2）因为 、 ， 为最大值，所以 ， 而 、 ，所以 ， 所以 ，即 . （没注意到 而进行分类讨论的扣 2分！） 考点：函数的最值，待定系数法求式，差比较法 . 已知圆 问在圆 C上是否存在两点 A,B关于直线对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由 . 答案：存在满足条件的直线 试题分析：本题考查直线与圆的位置关系，
10、对称性问题，属探索性题型 .由 A,B关于直线 对称，求出直线 的斜率，假设直线 的方程联立方程组，在根据 AB为直径的圆经过原点到到 ，即 ，解方程可求的解结论 . 试题：存在满足 2条条件的直线 . 圆 ， ，设 ， ， 直线 过 ，而点 在圆的内部，故直线与圆恒相交， 又直线 垂直平分 ， 直线 经过圆心 ， ，即 ， ，设直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得 ， ， ， ， 即 ，由 ，则 即 ，解得 或 . 直线 的方程为 或 . 故存在 2条满足条件的直线 . 考点：直线与圆的位置关系 .对称性问题 . 数列 前 项和 ，数列 满足 （ ）， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2
11、）求证：当 时，数列 为等比数列； （ 3）在（ 2）的条件下，设数列 的前 项和为 ，若数列 中只有 最小，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）由 求解，注意 ，若满足则不用分段函数，若不满足则 需要用分段函数表示；（ 2）要证明数列 是等比数列，需要证明 是常数，由条件只需要证明 即可；（ 3）数列 中只有 最小，可确定 且 ，再证明数列 是递增数列，从而可以确定 的取值范围， . 试题：（ 1） ， ， 当 时 ，也满足， . （ 2） ， ， 所以 ，且 ， 所以 是以 为首项、 为公比的等比数列； （ 3） ； 因为数列 中只有 最小，
12、所以 ，解得 ； 此时， ，于是， 为递增数列， 所以 时 、 时 ，符合题意，综上 . 考点： 与 的关系，等比数列的性质，最值问题 . 已知函数 ， （ ） （ 1）若函数 存在极值点，求实数 b的取值范围； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）当 且 时，令 ， ( )， ( )为曲线 y= 上的两动点， O为坐标原点，能否使得 是以 O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在 y轴上？请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）当 时， ，函数 的单调递增区间为 ； 当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为. （ 3）对任意给定的正实数 ，曲线上总存在 两点，满足条件 . 试题分析
13、：（ 1）求 ，要函数 由极值，也就是有实数解，由于是关于 的二次函数，则由 便求得 的取值范围；（ 2）求 ，需要对实数 进行分类讨论， 或 ，在这两种情况下分别求出函数 的单调区间，注意分类讨论问题，应弄清对哪个字母分类讨论，分类应不重不漏；（ 3）是探索性问题，要说明存在 是以 O为直角顶点的直角三角形， 且斜边中点在 y轴上，需要证明 ， 该方程有解，要对 进行分类讨论分别说明 . 试题：（ 1） ，若 存在极值点， 则 有两个不相等实数根 . 所以 ，解得 . （ 2） ， 当 时， ，函数 的单调递增区间为 ； 当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为. 当 且 时， 假设使得 是以 O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在 y轴上 . 则 且 . 不妨设 .故 ，则 . ， 该方程有解， 当 时， ，代入方程 得 ， 即 ，而此方程无实数解； 当 时， 则 ； 当 时， ，代入方程 得 ，即 ， 设 ，则 在 上恒成立 . 在 上单调递增，从而 ，则值域为 . 当 时，方程 有解，即方程 有解 . 综上所述，对任意给定的正实数 ，曲线上总存在 两点，使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在 y轴上 . 考点：导数的计算，函数的极值，构造法 .
