1、2014届湖南省长沙市高考二模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 满足 （ i为虚数单位），则 z的值为（ ） A i B -i C 1 D -1 答案： A 试题分析：由已知得， ， 考点：复数的运算 . 已知函数 在区间 (0,1)内任取两个实数 p,q，且 pq，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知得， ，且 ，等价于函数在区间 上任意两点连线的割线斜率大于 1，等价于函数在区间 的切线斜率大于 1恒成立 ，即 恒成立，变形为 ，因为，故 考点： 1、导数的几何意义； 2、二次函数的最大值 . 若两条异面直线所成的角为 ，则
2、称这对异面直线为 “黄金异面直线对 ”，在连接正方体各顶点的所有直线中， “黄金异面直线对 ”共有（ ） A 12对 B 18对 C 24对 D 30对 答案： C 试题分析：与 所成的角为 的异面直线有四对，即： ， ；与 所成的角为 的异面直线有四对，即： ， ；与 所成的角为 的异面直线有四对，即： ， ；与 所成的角为的异面直线有四对，即： ， ；与 所成的角为 的异面直线有两对，即： ；与 所成的角为 的异面直线有两对，即：；与 所成的角为 的异面直线有两对，即： ;与 所成的角为 的异面直线有两对，即： ,综上所述： “黄金异面直线对 ”共有 24对 考点：异面直线 . 如图，正方
3、形 ABCD的边长为 3， E为 DC的中点， AE与 BD相交于 F，则的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，故 ，即 ，所以 考点：向量的数量积 . 设变量 x， y满足约束条件 ，则 z x-3y的最大值为（ ） A B 4 C 3 D 答案： B 试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，要使得 ，只需直线 的纵截距最小，即过点 时， 取到最大值，最大值为 考点：线性规划 . 函数 的部分图象如图所示，设 P是图象的最高点， A,B是图象与 x轴的交点，若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：过点 作 轴，垂足为 ，则在 中，；在
4、中， ，故，又 ，故 ，所以 ， ，解得 ，所以 考点： 1、三角函数的周期性； 2、诱导公式 . 已知集合 ，若 ，使得成立，则实数 b的取值范围是（ ） A BC D答案： B 试题分析：由已知得，直线 过点 ，故当 时， ，则 时， ，使得 成立，选 B 考点：直线和椭圆的位置关系 . 设 A， B为两个互不相同的集合，命题 P： ， 命题 q： 或，则 是 的（ ） A充分且必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分且非必要条件 答案： B 试题分析：由已知得， ，故 ，所以 是的充分非必要条件 考点： 1、交集和并集的概念； 2、充分必要条件 . 二项式 的展开式中常数项
5、为（ ） A -15 B 15 C -20 D 20 答案： B 试题分析：二项展开式的通项为 ，令，得 ，故常数项为 考点：二项式定理 . 设随机变量 X N(2， 32)，若 P(Xc) P(Xc)，则 c等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：由正态曲线的对称性，得 是对称轴，故 考点：正态分布 . 填空题 若三个非零且互不相等的实数 a、 b、 c满足 ，则称 a、 b、 c是调和的；若满 a + c = 2b足，则称 a、 b、 c是等差的 .若集合 P中元素 a、 b、 c既是调和的，又是等差的，则称集合 P为 “好 集 ”.若集合 ，集合 .则 （ 1）
6、 “好集 ” P中的元素最大值为 ； （ 2） “好集 ” P的个数为 . 答案：（ 1） 2012；（ 2） 1006 试题分析：因为若集合 P中元素 a、 b、 c既是调和的，又是等差的，则且 a + c = 2b，则 ，故满足条件的 “好集 ”为形如的形式，则 ，解得 ，且 ，符合条件的的值可取 1006个，故 “好集 ” P的个数为 1006个，且 P中元素的最大值为 2012 考点：推理 . 已知数列 中， ，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出 n的值为 . 答案： 试题分析：程序在执行过程中， 的值依次为 ； ； ； ； ； ； ； ； ，故输出的 考点：程序框图 设点 P是
7、双曲线 与圆 x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中 F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且 ，则双曲线的离心率为_.来 答案： 试题分析：由已知得， 是圆 的直径，故 ，由勾股定理得， ，又 ，所以 ， ，又 ，故 ，所以 考点： 1、双曲线的标准方程和圆的标准方程； 2、勾股定理； 3、双曲线的定义 . 已知直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 . 以直角坐标系 xOy中的原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴，圆 C的极坐标方程为，则圆心 C到直线 l距离为 _. 答案： 试题分析：直线 l普通方程为 ，圆 C的直角坐标方程为，配方得， ，故圆心 C到直线 l距离为 考点：
8、1、直线的参数方程； 2、圆的极坐标方程； 3、点到直线的距离公式 . 不等式 有实数解的充要条件是 _. 答案： 试题分析：记 ，则不等式 有实数解等价于，因为 ，故 考点：绝对值三角不等式 . （选修 4-1：几何证明选讲）如图， PA是圆 O的切线，切点为 A， PO交圆O于 B,C两点， ，则 =_. 答案： 试题分析 :因为 PA是圆 O的切线，由切割线定理得， ，则，故 .连接 ，则 ，在 中，故 ，所以 ，又因为 = ，所以 = 考点： 1、圆的切割线定理； 2、圆的弦切角定理； 3、圆的切线的性质 . 解答题 已知函数 . （ 1）求函数 f (x)的最小正周期； （ 2）在
9、ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a,b,c，且满足 ，求 f(B)的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数 的式化为是形式，再利用 求周期；（ 2）三角形问题中，涉及边角混合的代数式或方程，应考虑边角转化，或转化为角的关系式，或转化为边的关系式处理本题利用余弦定理，将 变形为，从而可求出 ，从而可求得 ，进而确定 f(B)的取值范围 （ 1）由已知得， ，故最小正周期为 （ 2）由 得， ，即 ，所以，得 ，故 ， ，故，故 考点： 1、正弦的二倍角公式； 2、正弦的降幂公式； 3、余弦定理 . 在如图所示的几何体中， 平面 ，
10、 ， 是 的中点， （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求二面角 的大小的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取 中点 ，连接 ，则 ，且 ，由已知得，且 ，故 ，则四边形 是平行四边形，可证明，进而证明 平面 ，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线 的方向向量垂直于平面 的法向量即可；（ 2）先求半平面 和 的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角 的大小的余弦值的正负，从而求解 （ 1）因为 ， ，所以 平面 故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则
11、相关各点的坐标分别是 ， ， ， ， ， 所以 ， 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 又因为 平面 ，所以 平面 6分 （ 2）由（ 1）知， ， ， 设 是平面 的一个法向量，由 得 ，取 ，得 ，则 设 是平面 的一个法向量，由 得 ，取 ，则 ，则 设二面角 的大小为 ，则 ，故二面角 的大小的余弦值为 考点： 1、直线和平面平行的判断； 2、二面角的求法 . 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖
12、品 （ 1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，若X3的概率为 ，求 ； （ 2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）记 “这 2人的累计得分 X3”的事件为 A，依题意，两人累计得分的可能值为 ，故事件 “ ”的对立事件为 “ ”，所以所求事件的概率 ；（ 2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1
13、，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则 X1 ， X2 B ，则累计得分的期望为 E(2X1)， E(3X2)，从而比较大小即可 . （ 1）由已知得，张三中奖的概率为 ，李四中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响 记 “这 2人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A的对立事件为 “X 5”， 因为 ，所以 1- = ，所以 . 6分 （ 2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2) 由已知可得， X1 ， X2 B ， 所以 E(X1) 2
14、 ， E(X2) 2 ， 从而 E(2X1) 2E(X1) ， E(3X2) 3E(X2) 6 . 若 ，即 ，所以 ； 若 ，即 ，所以 ； 若 ，即 ，所以 综上所述：当 时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当 时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当 时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等 . 12分 考点： 1、对立事件； 2、二项分布的期望 . 某地一渔场的水质受到了污染渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质 . 已知每投放质量为 个单位的药剂后，经过 x天该药剂在水中释放的浓度 y（毫克 /升）满足 y
15、=mf(x)，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于 6（毫克 /升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 6（毫克 /升）且不高于 18（毫克 /升）时称为最佳净化 . （ 1）如果投放的药剂质量为 m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天 （ 2）如果投放的药剂质量为 m，为了使在 8天（从投放药剂算起包括第 8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m的取值范围 . 答案：（ 1） 8天；（ 2） 试题分析：（ 1）由已知得，经过 x天该药剂在水中释放的浓度 y=mf(x)是关于自变量 的分段函数，渔场的水质达到有效净化，只需 ，当 m=6时，相当于知道函
16、数值的取值范围，求自变量 的取值范围，即可持续的天数确定；（ 2）由题意知，为了使在 8天（从投放药剂算起包括第 8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，只需在这 8天内的每一天均有恒成立即可，转化为求分段函数求值域问题，使其含于即可 . （ 1）由题设：投放的药剂质量为 ，渔场的水质达到有效净化 或 或 ，即： ， 所以如果投放的药剂质量为 ，自来水达到有效净化一共可持续 8天 . 6分 （ 2）由题设： ， ， ， ，且 ， 且 ，所以 ，投放的药剂质量 m的取值范围为 考点：分段函数 . 已知 A、 B为抛物线 C： y2 = 4x上的两个动点，点 A在第一象限，点 B在第四象限 l1、 l
17、2分别过点 A、 B且与抛物线 C相切， P为 l1、 l2的交点 . （ 1）若直线 AB过抛物线 C的焦点 F，求证：动点 P在一条定直线上，并求此直线方程； （ 2）设 C、 D为直线 l1、 l2与直线 x = 4的交点，求 面积的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）设 ， （ ）， 方程为，与抛物线方程联立，利用直线 与抛物线 y2 = 4x相切，故，求 ，故切线 的方程 。同理可求得切线 方程为，联立得交点 ，再注意到已知条件直线 AB过抛物线 C的焦点 F，故表示直线 AB的方程为 ，将抛物线焦点 代入，得 ，从而发现点 P横坐标为 ，故点 P在定直线上；（
18、 2）列 面积关于某个变量的函数关系式，再求函数最小值即可，由已知得， ， ，故，又高为 ，故三角形 的面积为 ，再求最小值即可 （ 1）设 ， （ ） . 易知 斜率存在，设为 ，则 方程为 . 由 得， 由直线 与抛物线 相切，知 . 于是， ， 方程为 . 同理， 方程为 . 联立 、 方程可得点 坐标为 ， ， 方程为 ， 过抛物线 的焦点 . ， ，点 P在定直线 上 . （ 2）由（ 1）知， 的坐标分别为 ， . . 设 （ ）， ， 由 知， ，当且仅当 时等号成立 . 相关试题 2014届湖南省长沙市高考二模理科数学试卷（带） 设函数 在 上的最大值为 （ ） （ 1）求数列
19、 的通项公式； （ 2）求证：对任何正整数 n (n2)，都有 成立； （ 3）设数列 的前 n项和为 Sn，求证：对任意正整数 n，都有 成立 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先求 得 ，令 ，得 或，因为要考虑根与定义域 的位置关系，故需讨论 n的取值当时， ，此时 ，函数单调递减；当 时， ，将定义域分段，并考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象，进而求最大值，从而求得 ；（ 2）由（ 1）得 ，将所求证不等式等价变形为， ，再利用二项式定理证明；（ 3）由（ 2）得，再将不等式放缩为可求和的数列问题处理 （ 1） ， 当 时，由 知 或 ， 当 时，则 ， 时， ， 在 上单调递减， 所以 当 时， ， 时， ， 时， ， 在 处取得最大值，即 ， 综上所述， . （ 2）当 时，要证 ，只需证明 ,所以，当 时，都有 成立 （ 3）当 时，结论显然成立； 当 时，由（ II）知 所以，对任意正整数 ，都有 成立 13分 考点： 1、利用导数求函数的最值； 2、二项式定理； 3、放缩法
