1、2014届福建省厦门市高三 5月适应性考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ， ，所以选 C. 考点：复数的运算 . 已知圆 和圆 ，动圆 M与圆 ,圆都相切，动圆的圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 ，（ ），则 的最小值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 动圆与两定圆都内切时： ，所以 动圆与两定圆分别内切，外切时： ，所以 处理 1： ，再用均值求 的最小值 ； 处理 2： 考点：两圆的位置关系 . 如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列结
2、论错误的是 A B平面 平面 C 的最大值为 D 的最小值为 答案： C 试题分析： 面 ， A正确； 面 ， B正确；当 时， 为钝角， C错；将面 与面 沿 展成平面图形，线段 即为 的最小值，解三角形易得 = ， D正确 .故选 C. 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直 . 在 中， 是 边上的高，给出下列结论： ； ； ； 其中结论正确的个数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ； 取 BC 中点 M， ，而 ， ； ， ，所以； 所以正确的个数为 3个 . 考点：向量的运算 . 数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，则 等于（ ） 20070324 A 31
3、B 62 C 124 D 126 答案： B 试题分析： ， ， 以 2为首项以2为公比的等比数列， . 考点：等比数列的前 n项和公式 . 甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是（ ） A 16 B 12 C 8 D 6 答案： A 试题分析：甲的左边有 2人或 3人的情况有 种，还有甲的右边有 3人或 2人的情况有 8种， 所以共有 16种 . 考点：排列组合问题 . 设 是周期为 4的奇函数，当 时， ，则 等于 （ ） A 1 B C 3 D 答案： B 试题分析： . 考点：函数的周期性、奇偶性 . 已知服从正态分布 的随机变量在区间 ，和 内取值的概率分别为
4、 68.3%， 95.4%和99.7%某校高一年级 1000名学生 的某次考试成绩服从正态分布 ，则此次成绩在（ 60， 120）范围内的学生大约有（ ） A 997人 B 972人 C 954人 D 683人 答案： C 试题分析： ， . 考点：正态分布 . 已知 ， ，执行右边程序框图，则输出的结果共有（ ） A 3种 B 4种 C 5种 D 6种 答案： B 试题分析：当 时， ，当 时， ，当时， ， 当 时， ，当 时， ，当 时， 综上可知： 共 4种情况 . 考点：程序框图 . “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答
5、案： A 试题分析： 不等式的性质 ，所以选 A. 考点：不等式的性质 . 填空题 A、 B两地相距 1千米， B、 C两地相距 3千米，甲从 A地出发，经过 B前往 C地，乙同时从 B地出发，前往 C地甲、乙的速度关于时间的关系式分别为 和 （单位：千米 /小时）甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述： 出发后 1小时，甲还没追上乙 出发后 1小时，甲乙相距最远 甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达 C地 甲追上乙后，先到达 C地 其中正确的是 （请填上所有描述正确的序号） 答案： 试题分析：经过 小时，甲乙走过的路程分别为 ， ， 令 ， ，所以甲先到达； 令 ，设 考点：积分的运算 . 设
6、不等式组 表示区域为 ，且圆 在 内的弧长为，则实数 的值等于 答案： 试题分析： ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ，又 ， . 考点：弧长公式、倍角公式 . 已知函数 则满足 的实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析： 或 ， 或 ， . 考点：不等式的解法 . 甲、乙两个小组各 10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示现从这 20名学生中随机抽取一人，将 “抽出的学生为甲小组学生 ”记为事件 A； “抽出的学生英语口语测试成绩不低于 85分 ”记为事件 B则 P（ A|B）的值是 答案： 试题分析：抽出的学生英语口语测试成绩不低于 85分的有 9种，其中抽出的学生为甲小组学生 ”
7、的事件有 5种，所以概率为 . 考点：条件概率 . 把函数 的图象向右平移 3个单位后，得到函数 的图象，则函数 的式为 答案： 试题分析： 函数 的图象向右平移 3个单位， . 考点：三角函数图象的平移 . 解答题 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为（ 为参数， ） （ 1）写出直线 的直角坐标方程； （ 2）求直线 与曲线 的交点的直角坐标 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想第一
8、问，利用极坐标与直角坐标的互化公式 ，转化方程；第二问，先将曲线 C的参数方程转化为普通方程，得到圆，再令直线与圆的方程联立求交点 . 试题：（ 1） ， 1分 即所 求直线 的直角坐标方程为 3分 （ 2）曲线 的直角坐标方程为： ， 4分 ，解得 或 （舍去） 6分 所以，直线 与曲线 的交点的直角坐标为 7分 考点：直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化 . 已知在矩阵 M对应的变换作用下，点 A(1,0)变为 A(1,0)，点 B(1,1)变为B(2,1) （ 1）求矩阵 M； （ 2）求 ， ，并猜测 （只写结果，不必证明） 答案：（ 1） ；（ 2
9、） ， ，. 试题分析：本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想第一问，根据矩阵的变换，列出方程，解出 a， b， c， d；第二问，根据矩阵的乘法公式计算 ， ，观察总结规律得到 . 试题：（ 1）设 ，则 ， ， 1分 ， 解得 2分 3分 （ 2） ， 4分 ， 6分 猜测 7分 考点：矩阵与变换、矩阵的乘法 . 已知函数 ， . （ 1）函数 的零点从小到大排列，记为数列 ，求 的前项和 ； （ 2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）设点 是函数 与 图象的交点，若直线 同时与函数 ，的图象相切于 点，且 函数 ，
10、 的图象位于直线 的两侧，则称直线 为函数 ， 的分切线 . 探究：是否存在实数 ，使得函数 与 存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）当 时，函数 与存在分切线，为直线 . 试题分析：本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法第一问，先解三角方程，零点值构 成等差数列，利用等差数列的通项公式，求和公式求 ；第二问，先将恒成立转化为 ，利用导数判断函数的单调性，求出最大值，得到 a的取值范围；第三问，将函数 和 存在分切线转化为
11、 “ ”或 “ ”在 上恒成立，结合（ 1）（ 2）判断是否符合题意，再进行证明 . 试题：（ 1） ， ， 1分 ， 2分 4分 （ 2） 在 上恒成立， 在 上恒成立 5分 设 ， ， 6分 在 单调递增， 单调递减， 单调递增， 单调递增， 的极大值为 ， 的最大值为 ， 8分 （ 3）若函数 与 存在分切线，则有 “ ”或 “ ”在上恒成立， 当 时， ， ，使得 ， 在 不恒成立 只能是 在 上恒成立 9分 由（ 2）可知 ， 函数 与 必须存在交点， 10分 当 时，函数 与 的交点为 , ， 存在直线 在点 处同时与 、 相关试题 2014届福建省厦门市高三 5月适应性考试理科数
12、学试卷（带） 自驾游从 A地到 B地有甲乙两条线路，甲线路是 A-C-D-B，乙线路是 A-E-F-G-H-B，其中 CD段， EF 段， GH段都是易堵车路段假设这三条路段堵车与否相互独立这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示 CD段 EF 段 GH段 堵车概率 平均堵车时间 (单位：小时 ) 2 1 经调查发现，堵车概率 在 上变化， 在 上变化 在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费 500元，走乙线路需汽油费 545元而每堵车 1小时，需多花汽油费 20元路政局为了估计 段平均堵车时间，调查了 100名走甲线路的司机，得到下表数据 堵车时间（单位：小时） 频数 0,1 8 (1, 2
13、6 (2, 3 38 (3, 4 24 (4, 5 24 （ 1）求 段平均堵车时间 的值； （ 2）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率 答案：（ 1） 3；（ 2） . 试题分析：本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法 .第一问，用总的堵车时间除以总人数 100人，即得到平均堵车时间；第二问，利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求
14、概率；法二，分别求EF 路段和 GH路段的期望再相加求乙路线多花汽油费的期望 . 试题：（ 1） 2分 3 4分 （ 2）设走甲线路所花汽油费为 元， 则 5分 法一：设走乙线路多花的汽油费为 元， 段与 段堵车与否相互独立， ， ， 7分 8分 走乙线路所花的汽油费的数学期望为 9分 依题意，选择走甲线路应满足 ， 10分 即 ，又 ， （选择走甲线路） 13分 法二：在 EF 路段多花汽油费的数学期望是 元， 6分 在 GH路段多花汽油费的数学期望是 元， 7分 因为 EF、 GH路段堵车与否相互独立， 所以走乙路线多花汽油费的数学期望是 元 8分 以下解法同法一 考点：利用频率分布表求平
15、均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型 . 已知圆 经过椭圆 的右焦点 和上顶点 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）过原点 的射线 与椭圆 在第一象限的交点为 ，与圆 的交点为 ，为 的中点，求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想第一问，数形结合，令 y=0， x=0即可分别求出 c和 b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、 Q 点坐标，令直线与椭圆联立得到
16、 Q 点横坐标，利用向量的数量积，将 P、Q 点坐标代入，得到关于 k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成 ，再利用配方法求最值 . 试题：（ 1）在 中， 令 得 ，即 ，令 ，得 ，即 ， 2分 由 ， 椭圆 ： . 4分 （ 2）法一：依题意射线 的斜率存在，设 ，设-5分 得： ， . 6分 得： ， ， 7分 . 9分 设 ， ， 令 ，得 又 ， 在 单调递增，在 单调递减 . 11分 当 时， ，即 的最大值为 . 13分 法二：依题意射线 的斜率存在，设 ，设 5分 得： ， . 6分 = 9分 . 设 ，则 . 当且仅当 即 . 法三：设点 ， ， 6分 =
17、 . 7分 又 ， 设 与 相关试题 2014届福建省厦门市高三 5月适应性考试理科数学试卷（带） 如图 1，直角梯形 中， ， ，点 为线段 上异于 的点，且 ，沿 将面 折起，使平面 平面 ，如图 2. （ 1）求证： 平面 ； （ 2）当三棱锥 体积最大时，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析：本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想第一问，法一，由 ，利用线面平行的判定得 面 ，再利用面面平行的判定得面 面 ，最后利用
18、面面平行的性质得 面 ；法二，建立空间直角坐标系，要证明线面平行，只需证 AB与面 DFC的法向量垂直即可；第二问，建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式计算体积，当体积最大值时， AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面 AEFD的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值 . 试题：（ 1）证明： ， 面 ， 面 ， 面 ， 2分 同理 面 ， 3分 又 ， 面 面 ， 4分 又 面 ， 面 . 5分 （ 2）法一： 面 面 ，又 ，面 面 ， 面 . 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立 空间直角坐标系 ， 7分 设 ，则 ， ， 当 时，三棱锥 体积最大 . 9分
19、， ， 10分 设平面 的法向量 ， ， ， 令 ，得平面 相关试题 2014届福建省厦门市高三 5月适应性考试理科数学试卷（带） 已知函数 . （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）若 是 的三个内角，且 ， ，又 ，求边的长 答案：（ 1） ；（ 2） 或 . 试题分析：本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想第一问，利用两角差的正弦公式、倍角公式化简表达式，使之化简为的形式，再结合 图象求函数的单调递增区间；第二问，利用第一问化简的表达式，由 ，先求出 A角的值，由于 A角得到 2个值，所以分情况讨论，利用正
20、弦定理求 BC 的长 . 试题：（ 1） 1分 3分 4分 令 5分 解得 函数 的递增区间是 . 6分 （ 2）由 得 , , , 或 . 8分 (1)当 时 ,由正弦定理得 , ； 10分 (2) 当 时 ,由正弦定理得 , . 12分 综上， 或 13分 考点：三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形 . 已知 ，且 ， 的最小值为 （ 1）求 的值； （ 2）解关于 的不等式 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想第一问，利用柯西不等式求最小值，注意等号成立的条件；第二问，利用第一问 的结论，用零点分段法去掉绝对值，解不等式 . 试题：（ 1）根据柯西不等式，有： ， 1分 ，当且仅当 时等号成立 2分 即 3分 （ 2） 可化为 或 或 ， 5分 解得， 或 或 ， 6分 所以，综上所述，原不等式的解集为 7分 考点：利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法 .
