1、2014届福建省福州三中高考考前模拟文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： . 考点：复数的运算 . 已知函数 ，如果在区间 上存在个不同的数 使得比值 成立，则 的取值构成的集合是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 =k，即过原点的直线 与相交的交点个数为 1或 2或 3. 考点：函数图象 . 如图是某几何体的三视图，其中正视图、左视图均为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰三角腰形，则该几何体的体积是（ ） A B C D 4 答案： A 试题分析：由条件知几何体是三棱柱切掉一个三棱锥形成几何体，由已知柱体的高为 2， 所以 . 考
2、点：三视图 . 已知曲线 : 和 : 的焦点分别为 、 ，点 是和 的一个交点，则 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D都有可能 答案： B 试题分析： ，即 ，而 ， ， ， ， 的形状是直角三角形 . 考点：椭圆与双曲线的标准方程及其性质 . 函数 的图像大致是（ ） 答案： A 试题分析： ，所以函数 为偶函数，所以排除 C、 D， 令 时， ，所以排除 B，所以答案：为 A. 考点：函数图象 . 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的 b值为 16， 则循环体的判断框内 处应填 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案： B 试题分析： ； ； ；
3、；输出 ，所以框内填 . 考点：程序框图 . 设 P是 ABC所在平面内的一点， ，则（ ） A B C D答案： B 试题分析： ， P为 AC 的中点， . 考点：向量的运算 . 若命题 ，命题 ，那么（ ） A命题 “ 或 ”为假 B命题 “ 且 ”为真 C命题 “ 或 ”为假 D命题 “ 且 ”为假 答案： C 试题分析： 的图象如图所示， P命题为真命题， ， q命题为假命题， 命题 “ 或 ”为假 . 考点：命题的真假判断、复合命题的真假 . 为了调查某班级的作业完成的情况，将该班级的 52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、 31 号、 44
4、 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（ ） A 13 B 17 C 18 D 21 答案： C 试题分析： ，所以每相邻两个数之间隔为 13，所以选 C. 考点：系统抽样 . 已知角 的终边与单位圆 交于 ,则 等于（ ） A B C D 1 答案： A 试题分析： ，则 . 考点：程序框图 . 若 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ， 由于 a， b的正负不确定，所以 A， B， C都错，所以 D正确 . 考点：作差法比较大小 . 已知集合 ,集合 ,则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， ，
5、或， ， . 考点：集合的运算 . 填空题 设 表示不超过实数 的最大整数，则在坐标平面 上，满足的点 所形成的图形的面积为 _. 答案： 试题分析：设 都是整数，则满足 的点 形成的图形是单位正方形（ ， ），其面积为 1，而在椭圆 上整点有， 共 4个，因此满足题设条件的点 形成的图形是 4个单位正方形，其面积为 4 考点：函数图象，图形面积 . 设点 是区域 内的随机点，函数 在区间上是增函数的概率为 _. 答案： 试题分析： 函数 在区间 上是增函数， ，即， 区域图象如图所示， . 考点：几何概型 . 若不等式 恰有一解，则 的最大值为 _. 答案： 试题分析： 不等式 恰有一解，
6、，即 ， 又 ，当且仅当 时取等号，即 ， ab的最大值为 2. 考点：二次函数的图象、基本不等式 . 若等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _. 答案： 试题分析： ， ， ， . 考点：等差数列的通项公式、前 n项和公式 . 解答题 为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的 A， B两班中各抽 5名学生进行视力检测检测的数据如下： A班 5名学生的视力检测结果： 4.3， 5.1， 4.6， 4.1， 4.9. B班 5名学生的视力检测结果： 5.1， 4.9， 4.0， 4.0， 4.5. （ 1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？； （ 2）由
7、数据判断哪个班的 5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （ 3）根据数据推断 A班全班 40名学生中有几名学生的视力大于 4.6？ 答案：（ 1） A班学生的视力较好；（ 2） B班 5名学生视力的方差较大；（ 3） A班有 16名学生视力大于 4.6. 试题分析：本题考查平均数、方差、随机事件的概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力 .第一问，用所有视力 的和除以 5得到平均数，再比较大小，哪个班的平均数大哪个班的视力好；第二问，方差越小越稳定，利用 计算两个班的视力的方差比较大小；第三问，先得出 5名学生视力大于 4.6的频率，再估计全班 40名学生的视力大于 4.
8、6的人数 . 试题：（ 1） A班 5名学生的视力平均数为 ， B班 5名学生的视力平均数为 . 从数据结果来看 A班学生的视力较好 （ 2） B班 5名学生视力的方差较大 （ 3）在 A班抽取的 5名学生中，视力大于 4.6的有 2名， 所以这 5名学生视力大于 4.6的频率为 所以全班 40名学生中视力大于 4.6的大约有 名， 则根据数据可推断 A班有 16名学生视力大于 4.6 考点：平均数、方差、随机事件的概率 . 如图，在平行四边形 中， ， ，将 沿折起到 的位置 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）当 取何值时，三棱锥 的体积取最大值？并求此时三棱锥的侧面积 . 答案：（ 1
9、）证明过程详见；（ 2） 时，三棱锥 体积取最大值，此时侧面积 . 试题分析：本题主要考查余弦定理、勾股定理、线面垂直、三角形面积公式、三棱锥的侧面积和体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力 .第一问，在 中，利用余弦定理得到 BD的长，从而判断出 ，利用平行线，得 ， ，利用线面垂直的判定得 平面 ； 第二问，结合第一问的证明知，当 时，三棱锥的体积最大，此时平面 ，所以 和 为直角三角形，由线面垂直的判定可证出 平面 ，所以 ，所以 为直角三角形，所以三棱锥的侧面积为 3个直角三角形之和 . 试题：（ I）在 中， ， 又 ， 、 平面 平面 （ 2）设 E点到平面 ABCD
10、距离为 ，则 . 由（ I）知 当 时， ， 、 平面 平面 当 时， ，三棱锥 的体积取最大值 . 此时 平面 ， 、 在 中， 在 Rt ADE中， ， ， ， 、 平面 平面 综上， 时，三棱锥 体积取最大值，此时侧面积 . 某同学用 “五点法 ”画函数 在某一 个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： （ 1）请求出上表中的 ，并直接写出函数 的式； （ 2）将 的图象沿 轴向右平移 个单位得到函数 ，若函数 在（其中 ）上的值域为 ，且此时其图象的最高点和最低点分别为 ，求 与 夹角 的大小 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查五点作图法、三角函数图象的平
11、移、三角函数值域、向量的夹角公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想 .第一问，结合 且 ，得出 和，再解方程求出 的值，再结合三角函数图象写出 式；第二问，先将 图象向右平移得到 式，结合正弦图象，利用值域确定最高点、最低点的坐标，从而得到 和 向量坐标，利用夹角公式求出 ，再确定角 . 试题：（ 1） ， ， （ 2）将 的图像沿 轴向右平移 个单位得到函数 由于 在 上的值域为 ， 则 ，故最高点为 ，最低点为 . 则 , ，则 故 . 考点：五点作图法、三角函数图象的平移、三角函数值域、向量的夹角公式 . 如图，设椭圆 的左右焦点为 ，上顶点为
12、 ，点关于 对称，且 （ 1）求椭圆 的离心率； （ 2）已知 是过 三点的圆上的点，若 的面积为 ，求点 到直线 距离的最大值。 答案：（ 1） ；（ 2） 4. 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、勾股定理、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，先通过对称性得到 B点坐标，利用两点间距离公式 得的 3个边长，利用勾股定理列出关系式，化简出离心率 e的值；第二问，利用第一问知 是边长为 a的正三角形，利用三角形面积，得到 a的值，从而得到 b和 c的值，由于 ，所以圆是以 为圆心， 为半径，则可直接写出圆的方程，因为点
13、 p到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，所以利用点到直线的距离公式计算即可 . 试题：（ 1） 由 及勾股定理可知 ，即 因为 ，所以 ，解得 （ 2）由（ 1）可知 是边长为 的正三角形，所以 解得 由 可知直角三角形 的外接圆以 为圆心，半径 即点 在圆 上， 因为圆心 到直线 的距离为 故该圆与直线 相切，所以点 到直线 的最大距离为 考点：椭圆的标准方程、勾股定理、点到直线的距离、直线与圆的位置关系 . 数列 的前 项和为 ，且 ，数列 为等差数列，且 ， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ， ；（ 2） .
14、试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和前 n项和公式、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，因为 ，利用 2个式子作差，得到为等比数列，利用等比数列的通项公式直接写出 代入已知中，得到 为等差数列；第二问，利用等比数列的前 n项和公式先计算出 ，先将恒成立问题转化为 ，利用 的正负判断数列 的单调性，求出数列的最大值，从而得到 k的取值范围 . 试题：（ 1）因为 所以 时， 得 又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 （ 2） 所以 对 恒成立，即 对 恒成立 令 ， 当 时， ；当 时， ，所以 所以 考点：等差数列的
15、通项公式、等比数列的通项公式和前 n项和公式、恒成立问题 . 已知函数 为自然对数的底数） （ 1）求曲线 在 处的切线方程； （ 2）若 是 的一个极值点，且点 ， 满足条件：. （ ）求 的值； （ ）若点 是三个不同的点， 判断 三点是否可以构成直角三 角形？请说明理由。 答案：（ 1） ；（ 2） ；点 ， ， 可构成直角三角形 . 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，对 求导，将切点的横坐标 1代入到 中得到 切线
16、的斜率，代入到中得到切点的纵坐标，从而利用点斜式得到切线方程；第二问，先求函数的定义域，令 ，得到方程的根，将定义域断开，判断函数的单调性，从而求出函数极值；第三问，先排除几个特例情况，在一般情况中，要证明三角形为直角三角形，只需判断 2边垂直，用向量垂直的充要条件证明即可 . 试题：（ 1） ， ，又 ，所以曲线 在处的切线方程为 ，即 （ 2）（ ）对于 ，定义域为 当 时， ， ， ； 当 时， ；当 时， ， ， 所以 存在唯一的极值点 ， ，则点 为 （ ）若 ，则 ，与条件 不符， 从而得 同理可得 若 ，则 ，与条件 不符，从而得 由上可得点 ， ， 两两不重合 从而 ，点 ， ， 可构成直角三角形 考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件 .
