1、2014届福建省福州市高三上学期期末质量检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=R，集合 A 1,2,3,4,5 ,B 2，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为 A 0， 1， 2 B 0， 1， C 1， 2 D 1 答案： D 试题分析：因为全集 U=R，集合 A 1,2,3,4,5 ,B 2，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为 .因为 ，所以 .故选 D.本小题考查集合的交集、补集以及集合的运算 .另考查有限集与无限集 . 考点： 1.交集的概念 .2.补集的概念 .3.有限集与无限集 . 如图，偶函数 f(x)的图像形如字母 M,奇函数 g（ x）的图像形如字母 N，
2、若方程 的实根个数分别为 a， b，则 a b A 18 B 21 C 24 D 2 答案： A 试题分析：因为偶函数 f(x)的图像形如字母 M,奇函数 g（ x）的图像形如字母N， .由 ，同上 所以有三个根，另两个根的绝对值大于 1小于2，所以有六个根，故 .由 ，同上共有 9个根，故 . 由，也共有 9个根，故 .所以 .故选 A. 考点： 1.函数的奇偶性 .2.函数图像的应用 . 已知函数 f（ x十 1）是定义在 R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式 恒成立，则不等式 f（ 1-x） 1. 其中所有真命题的序号是 答案： 试题分析：因为将 x=-1代入方程 x2一 5x
3、一 6 0成立，所以充分性成立，所以 不正确 .因为 ABC中 .又因为.所以 ，所以 正确 .因为 所以 显然不正确正确 . 显然正确 .故填 . 考点： 1.充分必要条件 .2.向量的数量积及加减运算 .3.几何概型 .4.命题的否定 . 在平面直角坐标系 xoy中，过坐标原点的一条直线与函数 的图像交于 P、 Q 两点，则线段 PQ长的最小值是 答案： 试题分析：因为过坐标原点的一条直线与函数 的图像交于 P、 Q 两点，则线段 PQ长，由对称性只要研究 部分，设 ，所以,所以 当且仅当 时取等号 .所以 的最小值为 .故填 . 考点： 1.直线与双曲线的关系 .2.两点间的距离 .3.
4、基本不等式的应用 . 在平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积是 、 答案： 试题分析：因为在平面直角坐标系中，不等式， x,y所表示的可行域如图 .因为.所以 .A点到直线 BC 的距离为 .所以.故填 9.本小题的关键是有一定的作图能力 . 考点： 1.线性规划知识 .2.三角形的面积的知识 . 在边长为 2的正方形 ABCD内随机取一点 M，则 AM 1的概率为 答案： 试题分析：因为在边长为 2的正方形 ABCD内随机取一点 M，且 AM 1，所以点 M所在的区域为以 A为圆心半径为 1的四分之一圆内，所以占整个正方形面积 4的概率为 .故填 .本小题关键是考查几何概型类型
5、的问题 . 考点： 1.几何概型的知识 .2.理解几何图形的构建 . 解答题 已知 ，函数 （ 1）求方程 g(x) 0的解集； （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期及其单调增区 答案： (1) ;(2) , 试题分析： (1)因为函数 的式是由一个向量的平方减 1得到 .应用二倍角的逆运算公式即可得到方程的解集 . (2)函数 的式通过向量的数量积、三角函数的二倍角的运算以及三角函数的化一公式得到 .根据正弦函数的最小正周期的公式以及单调区间的公式即可求得结论 .本小题考查三角函数的恒等变形公式，以及化简转化的思想 . 试题： (1) 由 得 即 故方程 0的解集为 (2) 函数 的最小周
6、期 由 得 故函数 的单调增区间为 . （ 开区间也可以） 考点： 1.向量的数量积 .2.三角函数的二倍角公式 .3.化简转化思想 . 在数列 中， （ 1）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （ 2）求 的前 n项和 Sn 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)本小题的证明要结合需要证明的结论的结构形式，再由已知的条件进行构造需要证明的结构形式 . (2)由 (1)可得数列的通项是一个等差数列与等比数列乘积的形式构成，这类题型都是利用错位相减法，求前 n项和 .利用错位相减法时要注意，本小题的等比数列的公比是小于 1大于零的数 .相减的步骤要细心，这是易错点 . 试题： (1)
7、为首项为 公比为 的等比数列 (2) - 得： 考点： 1.构造的思想求数列通项 .2.错位相减法的应用 .3.归纳推理的数学思想 . 对一批共 50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下： 规定重量在 82克及以下的为 “A”型，重量在 85克及以上的为 “B”型，已知该批电器有 A型 2件 （ 1）从该批电器中任选 1件，求其为 “B型的概率； （ 2）从重量在 80,85)的 5件电器中，任选 2件，求其中恰有 1件为 “A”型的概率 答案： (1) ; （ 2） 试题分析： (1) 依题意规定重量在 85克及以上的为 “B”型，又因为小于 85的共有 5件，所以大于或等于 85的
8、共有 50-5=45件 .即 B型的共有 45件 .所以从该批电器中任选 1件，求其为 “B型的概率即可求得 . （ 2）由于从 5 件电器中任取两件总共有 10 种情况，而其中有两件是 A 型电器，所以其中恰有 1件为 “A”型情况通过列举共有 6种情况 .即可求出结论 . 试题： (1)设 “从该批电器中任选 1件，其为 ”B”型 ”为事件 ， 则 所以从该批电器中任选 1件，求其为 ”B”型的概率为 . (2)设 “从重量在 80,85)的 5件电器中，任选 2件电器，求其中恰有 1件为 ”A”型 ”为事件 ,记这 5件电器分别为 a， b， c， d， e，其中 ”A”型为 a， b.
9、从中任选 2件，所有可能的情况为 ab， ac， ad， ae， bc， bd， be， cd， ce， de，共 10种 其中恰有 1件为 ”A”型的情况有 ac， ad， ae， bc， bd， be，共 6种所以. 所以从重量在 80,85)的 5件电器中，任选 2件电器，其中恰有 1件为 ”A”型的概率为 . 考点： 1.概率的问题 .2.通过列举分类的思想 .3.审题能力的培养 . 某工厂的固定成本为 3万元，该工厂每生产 100台某产品的生产成本为 1万元，设生产该产品 x(百台），其总成本为 g(x)万元（总成本固定成本生产成本），并且销售收人 r(x)满足 假定该产品产销平衡，
10、根据上述统计规律求： （ 1）要使工厂有盈利，产品数量 x应控制在什么范围？ （ 2）工厂生产多少台产品时盈利最大？ 答案： (1)大于 300台小于 1050台； (2) 600台 试题分析： (1) 由于销售收入是一个关于产品数量 x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入 r(x)减去总的成本 g(x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论 . (2)通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数 x的值，本小题单位的转化也是易错点 . 试题：依题意得 ，设利润函数为 ，则 ， 所以 （ 1）要使工 厂有盈利，则有 f(x)0，因为
11、f(x) 0 ， 或 ， 即 . 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于 300台小于 1050台的范围内 （ 2）当 时， 故当 x 6时， f(x)有最大值 4.5.而当 x 7时， . 所以当工厂生产 600台产品时，盈利最大 考点： 1.分段函数的应用 .2.函数的最值 .3.实际问题的构建数学模型解决 . 已知函数 .对于任意实数 x恒有 （ 1）求实数 的最大值； （ 2）当 最大时，函数 有三个零点，求实数 k的取值范围。 答案：（ 1） 3;（ 2） 试题分析：（ 1）根据函数 求出导函数，再根据所给的不等式，利用恒成立的条件求出实数 的范围，从而确定 的最大值 . （ 2）由
12、（ 1）可得 的值，从而根据函数 确定函数 的式，由于函数有三个零点，所以通过对函数 求导，了解函数 的图像的走向，以及对函数的极值的正负性作出规定，即可得到所需的结论 . 试题：（ 1） 对于 恒有，即 对于 恒成立 （ 2） 有三个零点 有三个不同的实根 ，则令 解得 情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 8 单调递减 极小极单调递增 已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（ -3,0)，一条渐近线的方程是（ 1）求双曲线 C的方程； （ 2）若以 k（ k0)为斜率的直线 l与双曲线 C相交于两个不同的点 M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
13、 ，求 k的取值范围。 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)因为中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（一 3,0)，一条渐近线的方程是 ，两个条件即可求出双曲线的方程 . (2)依题意可得通过假设直线 的方程，联立双曲线方程消去 y，即可得到一个关于 x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段 MN 的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论 . 试题：（ 1）设双曲线 的方程为 ， 由题设得 解得 ，所以双曲线 的方程为 ； （ 2）设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足方程组 ，将 式代入 式，得 ， 整理得 ，此方程有两个不等实根，于是， 且 ， 整理得 . 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标满足： ， ，从而线段 的垂直平分线的方程为 ，此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为， ， 由题设可得 ，整理得 ， ， 将上式代入 式得 ，整理得 ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 考点： 1.待定系数的应用 .2.直线与圆锥曲线的位置关系 .3.三角形的面积的表示方法 .4.韦达定理 .5.代数的运算能力 .
