1、2014届福建省福州市高三上学期期末质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=R，集合 A 1,2,3,4,5 ,B 3，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为 ( ) A 0， 1， 2 B 0， 1， C 1， 2 D 1 答案： C 试题分析：因为全集 U=R，集合 A 1,2,3,4,5 ,B 3，十 ），则图中阴影部分所表示的集合为 .因为 ，所以 .故选 C.本小题考查集合的交集、补集以及集合的运算 .另考查有限集与无限集 . 考点： 1.交集的概念 .2.补集的概念 .3.有限集与无限集 . 已知函数 f（ x十 1）是定义在 R上的奇函数，若对于任意给定的不等实
2、数，不等式 恒成立，则不等式 f（ 1-x） 1. 其中所有真命题的序号是 答案： 试题分析：因为将 x=-1代入方程 x2一 5x一 6 0成立，所以充分性成立，所以 不正确 .因为 ABC中 .又因为.所以 ，所以 正确 . 显然正确 . 显然正确 .故填 . 考点： 1.充分必要条件 .2.向量的数量积及加减运算 .3.几何概型 .4.命题的否定 . 如图，三角形数阵满足： （ 1)第 n行首尾两数均为 n; （ 2）表中的递推关系类似杨辉三角 4则第 n行（ n2)第 2个数是 答案： 试题分析：因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为 ；第四行的第二个数可表示为 ；第五行的第二
3、个数可表示为. 由此可合情推理，根据图形第 n行的第二个数为.故填 . 考点： 1.合情推理的思想 .2.关键是找到规律 . 在平面直角坐标系 xoy中，过坐标原点的一条直线与函数 的图像交于 P、 Q 两点，则线段 PQ长的最小值是 答案： 试题分析：因为过坐标原点的一条直线与函数 的图像交于 P、 Q 两点，则线段 PQ长，由对称性只要研究 部分，设 ，所以,所以 当且仅当 时取等号 .所以 的最小值为 .故填 . 考点： 1.直线与双曲线的关系 .2.两点间的距离 .3.基本不等式的应用 . 在平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积是 9，则实数 a的值为 答案： 试题分析：
4、因为在平面直角坐标系中，不等式组 ， x,y所表示的可行域如图 .因为 .所以 .A点到直线 BC 的距离为 .所以 .解得 或 （舍去） .所以 .故填 1. 考点： 1.线性规划知识 .2.三角形的面积的知识 . 解答题 已知 ，函数 （ 1）求方程 g(x) 0的解集； （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期及其单调增区 答案： (1) ;(2) , 试题分析： (1)因为函数 的式是由一个向量的平方减 1得到 .应用二倍角的逆运算公式即可得到方程的解集 . (2)函数 的式通过向量的数量积、三角函数的二倍角的运算以及三角函数的化一公式得到 .根据正弦函数的最小正周期的公式以及单调区间的
5、公式即可求得结论 .本小题考查三角函数的恒等变形公式，以及化简转化的思想 . 试题： (1) 由 得 即 故方程 0的解集为 (2) 函数 的最小周期 由 得 故函数 的单调增区间为 . （ 开区间也可以） 考点： 1.向量的数量积 .2.三角函数的二倍角公式 .3.化简转化思想 . 在数列 中， （ 1）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （ 2）求 的前 n项和 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)本小题的证明要结合需要证明的结论的结构形式，再由已知的条件进行构造需要证明的结构形式 . (2)由 (1)可得数列的通项是一个等差数列与等比数列乘积的形式构成，这类题型都是利用错位相
6、减法，求前 n项和 .利用错位相减法时要注意，本小题的等比数列的公比是小于 1大于零的数 .相减的步骤要细心，这是易错点 . 试题： (1) 为首项为 公比为 的等比数列 (2) - 得： 考点： 1.构造的思想求数列通项 .2.错位相减法的应用 .3.归纳推理的数学思想 . 为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下： 租用时间不超过 1小时，免费； 租用时间为 1小时以上且不超过 2小时，收费 1元； 租用时间为 2小时以上且不超过 3小时，收费 2元； 租用时间超过 3小时的时段，按
7、每小时 2元收费（不足 1小时的部分按 1小时计算） 已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过 1小时的概率分别是 0.4和 0.5;租用时间为 1小时以上且不超过 2小时的概率分别是 0.5和 0.3. （ 1）求甲、乙两人所付租车费相同的概率； （ 2）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 E . 答案： (1)0.37; (2) 试题分析： (1) 由于甲、乙付费的情况有三种，所以每种是相互独立的 .又因为甲、乙两人所付租车费相同的概率的含义即把他们各自在三种情况下的概率计算好，然后分别将甲、乙负相同车费
8、的概率分别相乘，然后求和 .即可的结论 . (2)因为甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ，共有五种情况，根据题意写出每种 的概率，列出分布列的表，再根据数学期望的计算公式即得到结论 . 试题： (1)根据题意，分别记 “甲所付租车费 0元、 1元、 2元 ”为事件 ，它们彼此互斥， 且 分别记 “乙所付租车费 0元、 1元、 2元 ”为事件 ，它们彼此互斥， 且 由题知， 与 相互独立， 记甲、乙两人所付租车费相同为事件 ，则 所以 (2) 据题意 的可能取值为： 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 0.2 0.37 0.28 0.13 0.02 的数学期望 答：甲、乙两人所扣积分相
9、同的概率为 0.37， 的数学期望 考点： 1.概率的含义 .2.数学期望的计算方法 .3.分类的思想 .4.运算能力 . 某工厂的固定成本为 3万元，该工厂每生产 100台某产品的生产成本为 1万元，设生产该产品 x(百台），其总成本为 g(x)万元（总成本固定成本生产成本），并且销售收人 r(x)满足 假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： （ 1）要使工厂有盈利，产品数量 x应控制在什么范围？ （ 2）工厂生产多少台产品时盈利最大？ 答案： (1)大于 300台小于 1050台； (2) 600台 试题分析： (1) 由于销售收入是一个关于产品数量 x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利
10、需要将销售收入 r(x)减去总的成本 g(x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论 . (2)通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数 x的值，本小题单位的转化也是易错点 . 试题：依题意得 ，设利润函数为 ，则 ， 所以 （ 1）要使工厂有盈利，则有 f(x)0，因为 f(x) 0 ， 或 ， 即 . 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于 300台小于 1050台的范围内 （ 2）当 时， 故当 x 6时， f(x)有最大值 4.5.而当 x 7时， . 所以当工厂生产 600台产品时，盈利最大 考 点： 1.分段函数的应用 .2.函数
11、的最值 .3.实际问题的构建数学模型解决 . 已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（一 3,0)，一条渐近线的方程是 （ 1）求双曲线 C的方程； （ 2）若以 k（ k0)为斜率的直线 与双曲线 C相交于两个不同的点 M, N,且线段MN 的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 k的取值范围。 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)因为中心在原点的双曲线 C的一个焦点是 F1（一 3,0)，一条渐近线的方程是 ，两个条件即可求出双曲线的方程 . (2)依题意可得通过假设直线 的方程，联立双曲线方程消去 y，即可得到一个关于 x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大
12、于零，即可写出线段 MN 的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论 . 试题：（ 1）设双曲线 的方程为 ， 由题设得 解得 ，所以双曲线 的方程为 ； （ 2）设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足方程组 ，将 式代入 式，得 ， 整理得 ，此方程有两个不等实根，于是， 且 ， 整理得 . 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标满足： ， ，从而线段 的垂直平分线的方程为 ，此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为， ， 由题设可得 ，整理得 ， ， 将上式代入 式得 ，整理得 ，解得 或 ， 所以 的取值范围是
13、 考点： 1.待定系数的应用 .2.直线与圆锥曲线的位置关系 .3.三角形的面积的表示方法 .4.韦达定理 .5.代数的运算能力 . 已知函数 （ 1）当 a 2时，求函数 y f(x)的图象在 x=0处的切线方程； （ 2）判断函数 f(x)的单调性； （ 3）求证： 答案： (1) ； (2) 参考；（ 3）参考 试题分析： (1)已知函数 是一个 含对数与分式，以及复合函数，需要正确地对函数 求导，因为函数在 x=0处的切线方程，所以将 x=0代入导函数，即可求出切线的斜率 .再根据横坐标为 0，计算出纵坐标，根据点斜式即可写出切线方程 . (2)需要判断函数的单调性，要对函数 求导，判
14、断导函数的值的正负，所以要根据参数 的情况分类讨论后作出判定 . （ 3)解法（一）令 为特殊值，通过函数的单调性得到一个不等式成立，再将 x转化为数列中的 n的相关的值，再利用一个不等式，从而得到结论 .解法（二）根据结论构造函数，通过函数的最值证明恒成立，再将 x转化为 n的表达式即可 . 试题：（ 1）当 时， ， ， ，所以所求的切线的斜率为 3.又 ，所以切点为 . 故所求的切线方程为： . （ 2） ， 当 时， ， ； 分 当 时， 由 ，得 ；由 ，得 ； 综上，当 时，函数 在 单调递增； 当 时，函数 在 单调递减，在 上单调递增 （ 3）方法一：由（ 2）可知，当 时， 在 上单调递增 当 时， ，即 令 （ ），则 另一方面， ，即 , （ ） 方法二：构造函数， ， 当时 , ； 函数 在 单调递增 函数 ，即 ， ，即 令 （ ），则有 考点： 1.函数的导数的几何意义 .2.函数的单调性 .3.函数与数列的知识交汇 .4.构造新函数的思想 .5.运算能力 .
