1、2014届福建省福州市高三毕业班质检理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，若 ，则是实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为集合 ，分别是对数函数图像上的点的集合与垂直 x轴的直线上的点的集合，若 ，只需 .故选D. 考点： 1.集合的表示 .2.集合的运算 . 已知函数 （ 、 、 为常数），当 时取极大值，当 时取极小值，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 的导数为 .又由于当 时取极大值，当 时取极小值 .所以 即可得，因为 的范围表示以 圆心的半径的平方的范围 .通过图形可得过点 A最大，过点 B最小，通过计算
2、可得的取值范围为 .故选 D. 考点： 1.函数的导数问题 .2.极值问题 .3.线性规划问题 .4.数形结合的思想 . 若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x),且当 x 0,1时，其图象是四分之一圆 (如图所示 )，则函数 H(x)= |xex|-f(x)在区间 -3,1上的零点个数为 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 答案： B 试题分析：因为定义在 R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x)，所以函数 为偶函数，又因为 f(2-x)=f(x)，所以函数 关于直线 对称 .因为函数 H(x)= |xex|-f(x)在区间 -3,1上的零
3、点即等价求方程 的解的个数 .等价于函数和函数 的图像的交点个数，由图象可得共有 4个交点 .故选 B. 考点： 1.函数的性质 .2.数形结合的思想 .3.函数图像的正确表示及绘制 . 已知 、 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点 与点 关于直线 对称，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 、 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点 与点 关于直线 对称，所以连结 ，则可得到 .并且 ，联立 .可得.所以 .即可得离心率 .故选 B. 考点： 1.圆锥曲线的定义 .2.圆锥曲线的性质 .3.图解的数学思想 .4.应用平面几何知识
4、. 函数 的部分图像如图所示，则 的式可以是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为将 代入 A选项不成立，所以排除 A.由于 B选项的定义域为 ，所以排除 B.由于 D选项有三个零点即 .函数还有几个零点不符合，所以排除 D选项 .通过验算可得 C选项的函数成立 .故选 C. 考点： 1.函数的图像 .2.分类讨论 .3.列举排除的数学思想 .4.归纳化归的数学思想 . 如图，设向量 ,若 ,且 ,则用阴影表示 点所有可能的位置区域正确的是 ( ) 答案： D 试题分析：设向量 .因为向量 ,若,所以 ，所以 ,所以，即 ，即 D选项的形式 .故选 D. 考点： 1.向量的加减法
5、 .2.向量的基本定理 .3.分类探索的思想 . 已知等比数列 的前 项积记为 ，若 ，则 ( ) A 512 B 256 C 81 D 16 答案： A 试题分析：由等比数列 性质及 可得.又等比数列 的前 项积记为 ，即，所以 故选 A. 考点： 1.数列的性质的应用 .2.解方程的思想 .3.新定义的概念的理解 . 命题 “ ，使得 ”的否定是（ ） A ,都有 B不存在 ,使 C 都有 D 使 答案： C 试题分析：因为命题 ,使得 ，则命题的否定为 .故选 C. 考点： 1.命题的否定的知识 .2.特称量词与全称量词的互化 . 执行如图所示的程序框图 ,输出的 值是（ ） A 2 B
6、 CD 答案： B 试题分析：当 时得到 ，当 得到 .当 得到.当 时得到 .当 时 -1.故选 B. 考点： 1.程序框图中的循环结构 .2.递推的思想 .3.运算能力 . “实数 ”是 “复数 （ 为虚数单位）的模为 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不是充分条件又不是必要条件 答案： A 试题分析：若 ”则 “复数 = ，其模为 ，所以充分性成立 .又复数 ，当 即 .所以必要性不成立 .故选 A. 考点： 1.函数的充要条件 .2.复数的概念及性质 . 填空题 已知函数 ，若数列满足 ,且 的前 项和为 ，则_. 答案： 试题分析： .因为， ， ， ，
7、 ，.所以 8042. 考点： 1.分段函数的问题 .2.数列的思想 .3.三角函数的周期性 .4.分类列举的数学思想 . 已知某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则该几何体的表面积为_. 答案： 试题分析：由三视图可知几何体的直观图是一个正方体切去一个角，即沿三个顶点切去一个三棱锥，如图所示 .几何体的侧面积是由三个正方形的面积、三个半正方形的面积、以及一个边长为 的正三角形的面积构成 .所以表面积为. 考点： 1.三视图的知识 .2.空间想象能力 .3.三角形的面积的计算 . 若直线 与圆 C： 相交于 A、 B两点 ,则的值为 _. 答案： 试题分析：由题意可知，圆心 到直线 的距
8、离为.又因为 ，所以 ,又因为,所以 .故 =0. 考点： 1.直线与圆的位置关系 .2.点到直线的位置关系 .3.向量的数量积 .4.解三角形的知识 . 如图所示，在边长为 1的正方形 中任取一点 ，则点 恰好取自阴影部分的概率为 _. 答案： 试题分析：因阴影部分的面积为 .又正方形的面积为 1，点恰好取自阴影部分的概率为 . 考点： 1.定积分的概念 .2.几何概率的含义 . 5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是_（用数字作答） . 答案： 试题分析：依题意可得 .故填 96. 考点： 1.排列组合的问题 .2.有特殊的条件要先考虑 . 解答题 在对某渔业产品的质量调
9、研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10 件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克） .下表是测量数据的茎叶图： 规定：当产品中的此种元素含量 毫克时为优质品 . （ 1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数 /总件数）； （ 2）从乙地抽出的上述 10件产品中，随机抽取 3件，求抽到的 3件产品中优质品数 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） , (2) 试题分析：（ 1）因为通过阅读茎叶图可得到甲、乙两组测量值的数据，又因为当产品中的此种元素含量 毫克时为优质品，通过数出两组优质品的数据的个数，再用优质品的的件数除以总共的样本数即可得到甲、乙的优质品率 .
10、(2)因为从乙地抽出的上述 10件产品中，随机抽取 3件，由于乙产品中优质品有8件，所以优质品的件数共有 三种情况，通过计算每种情况的概率以及数学期望的计算公式即可得到结论 . 试题： (I)甲厂抽取的样本中优等品有 7件 ,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 8件 ,优等品率为 (II) 的取值为 1， 2， 3. 所以 的分布列为 1 2 3 故的数学期望为 考点： 1.茎叶图的知识 .2.列举对比的数学思想 .3.数学期望的计算 .4.概率知识 . 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 的单调递增区间； （ 2）设 的内角 的对应边分别为 ，且 若向量与向量 共线，求 的值 . 答案：
11、（ 1） ； (2) 试题分析：（ 1）因为函数 所以通过二倍角公式及三角函数的化一公式，将函数 化简，再通过正弦函数的单调递增区间公式，将化简得到变量 代入相应的 x的位置即可求出函数 的单调递增区间，从而调整 k的值即可得到结论 . (2)由（ 1）可得函数 的式，再由 即可求得角 C的值 .在根据向量共线即可求得一个等式，再根据正弦定理以及余弦定理，即可求得相应的结论 . 试题： (I) = = 令 ， 解得 即 ,f(x)的递增区间为 (2)由 ,得 而 ,所以 ,所以 得 因为向量 与向量 共线，所以 ， 由 正弦定理得 : 由余弦定理得 : ,即 a2+b2-ab=9 由 解得 考
12、点： 1.二倍角公式 .2.化一公式 .3.三角函数的单调性 .4.解三角形 . 如图，直角梯形 中， ,点 分别是的中点，点 在 上，沿 将梯形 翻折，使平面 平面 . （ 1）当 最小时，求证： ; （ 2）当 时，求二面角 平面角的余弦值 . 答案：（ 1）参考；（ 2） 试题分析：（ 1）因为当 最小时，及连结 AC 与 EF 的交点即为 G点，通过三角形的相似可得到 EG的长度 .需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相关向量，即可判断直线的垂直关系 . （ 2）由题意所给的体积关系可确定点 G的位置，求二面角关键是转化为两平面的法向量的
13、夹角，由于平面 BCG的法向量易得，关键是求出平面 DGB的法向量 .通过待定系数法即可求得，还需判断二面角与法向量夹角的大小关系 .解法二用到的推理论证的数学思想很重要 . 试题： (1)证明： 点 、 分别是 、 的中点 , EF/BC 又 ABC=90 AE EF， 平面 AEFD 平面 EBCF， AE 平面 EBCF， AE EF， AE BE， 又 BE EF， 如图建立空间坐标系 Exyz 翻折前 ,连结 AC 交 EF 于点 G,此时点 G使得 AG+GC 最小 . EG= BC=2,又 EA=EB=2 则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2
14、),E(0,0,0),G(0,2,0), =(2,2,2), =(-2,-2,0) =(2,2,2)(-2,-2,0)=0， (2)解法一：设 EG=k, 平面 , 点 D到平面 EFCB的距离为即为点 A到平面 EFCB的距离 . (3- k)+42=7-k = 又 = , , = , 即 EG=1 设平面 DBG的法向量为 , G(0,1,0), (-2,2,2), 则 ,即 取 x 1,则 y 2,z -1, 面 BCG的一个法向量为 则 cos= 由于所求二面角 D-BF-C的平面角为锐角 , 所以此二面角平面角的余弦值为 (2)解法二 :由解法一得 EG=1,过点 D作 DH EF,
15、垂足 H,过点 H作 BG延长线的垂线垂足 O，连接 OD. 平面 AEFD 平面 EBCF, DH 平面 EBCF， OD OB,所以 就是所求的二面角 的平面角 .由于 HG=1,在 OHG中 , 又 DH=2，在 DOH中 所以此二面角平面角的余弦值为 考点： 1.图形的翻折问题 .2.线面垂直的判定 .3.二面角的求法 .4.空间坐标系中的运算 .5.空间想象能力 . 已知动圆 过定点（ 1,0），且与直线 相切 . （ 1）求动圆圆心 的轨迹方程； （ 2）设 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 , 当 时，求证直线 恒过一定点 ； 若 为定值 ，直线 是
16、否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） 参考， 试题分析：（ 1）根据题意可假设抛物线方程为 ，由抛物线的定义可求得 的值，从而可求得抛物线的方程 . （ 2）根据题意假设直线 AB的方程，联立抛物线的方程，消去 y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理得到 A,B两点坐标的等式 . 由直线的垂直可得到 A,B坐标的一个等式，从而可化简直线 AB的方程即可得到结论 . 当为一个一般的定值时，需要分类讨论，解决问题的方法类似于 小题，同样是通过 A,B的斜率关系得到一个等式，从而得到结论 . 试题： (1)设动圆圆心 M(x,y), 依题
17、意点 M的轨迹是以 (1,0)为焦点 ,直线 x=-1为准线的抛物线其方程为 . (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得 x1x2(否则 )且 x1x20,则所以直线 AB的斜率存在 ,设直线 AB的方程为 y=kx+b, 则将 y=kx+b与 y2=4x联立消去 x,得 ky2-4y+4b=0 由韦达定理得 - 当 = 时 , 所以 ,所以 y1y2=16,又由 知 :y1y2= 所以 b=4k;因此直线 AB的方程可表示为 y=kx+4k,所以直线 AB恒过定点 (-4,0). 当 为定值 时 .若 = ,由 知 , 直线 AB恒过定点 M(-4,0)当 时 ,由 ,得 =
18、 将 式代入上式整理化简可得 : ,所以 ,此时 ,直线 AB的方程可表示为 y=kx+ ,所以直线 AB恒过定点 所以当 时 ,直线 AB恒过定点 (-4,0)., 当 时直线 AB恒过定点 考点： 1.抛物线的定义 .2.直线与抛物线的位置关系 .3.过定点的问题 . 已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值 6的一个特征向量为 ，属于特征值 1的一个特征向量 . （ 1）求矩阵 的逆矩阵； （ 2）计算 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）因为已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值 6的一个特征向量为 ，属于特征值 1的一个特征向量 .通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵 A中的相应参数的值，再
19、通过逆矩阵的含义可求出矩阵 A的逆矩阵 .同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论 . （ 2）因为向量 可由向量 及向量 表示，所以 即可转化为矩阵 A的特征向量来表示 .即可求得结论 .同样也可以先求出 A3，再运算即可 . 试题： (1)法一 :依题意 , . . 所以 法二 : 的两个根为 6和 1, 故 d=4,c=2. 所以 - (2)法一 : =2 - A3 =263 -13 = 法二 : A3 = 考点： 1.矩阵的性质 .2.矩阵的运算 . 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 :（ 为参数），两曲
20、线相交于 两点 . （ 1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （ 2）若 求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）因为要将曲线 的极坐标方程为 化为直角坐标方程，需要根据三个变化关系式， .所以在极坐标方程的两边同乘一个 ，在根据变化关系的三个等式即可 . （ 2）通过判断点 就在直线上，所以只要联立直线的参数方程与抛物线的普通方程，得到关于 t的等式，利用韦达定理以，及参数方程所表示的弦长公式即可求出结论 . 试题： (1)(曲线 C的直角坐标方程为 ， 直线 l的普通方程 . (2)直线 的参数方程为 (t为参数 ), 代入 y2=4x, 得到 ,设 M,N
21、 对应的参数分别为 t1,t2 则 所以 |PM|+|PN|=|t1+t2|= 考点：极坐标返程 .2.参数方程 .3.圆锥曲线中弦长公式 . 设函数 , （ 1）求 的最小值 ； （ 2）当 时 ,求 的最小值 . 答案：（ 1） 1；（ 2） 试题分析： （ 1）因为 ,所以通过绝对值的基本不等式，即可得到最小值 .另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论 . （ 2）由（ 1）求出的 的值，所以得到 .再根据柯西不等式即可求得 的最小值 .同时强调等号成立的条件 . 试题： (1)法 1: f(x)=|x-4|+|x-3|(x-4)-(x-3)|=1, 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. 法 2: . x4时 ,f(x)1;x1,3x4时 ,f(x)=1,故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. (2)由柯西不等式 (a2+b2+c2)(12+22+32)(a+2b+3c)2=1故 a2+b2+c2 当且仅当 时取等号 考点： 1.绝对值不等式 .2.柯西不等式 .3.最值的问题 .
