1、2014届福建省长乐二中等五校高三上学期期中联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，集合 ，则 =（ ） A 0， 1 B 1 C 1 D -1， 0， 1， 2 答案： A 试题分析：因为， ， ，所以， =，选 A. 考点：集合的运算 式子 满足 ，则称 为轮换对称式给出如下三个式子： ； ； 是三角形的内角）其中，为轮换对称式的个数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据 ，可得 ， ， ，故是轮换对称式 根据函数 ，则 ，故不是轮换对称式 由, 可得， ，故是轮换对称式， 故选 C 考点：新定义，三角函数的诱导公式、两角和差的三角公式 . 在数列 中， ， ，则
2、 =( ) A 2+(n-1)lnn B 2+lnn C 2+nlnn D 1+n+lnn 答案： B 试题分析：因为，数列 中， ， ， 所以， 上述各式两边分别相加，得 ，故 =，选 B. 考点：数列的通项， “累加法 ”，对数运算 . 在 ABC中，若 ，则 ABC是 ( ) A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 答案： D 试题分析：因为，三角形 ABC中， ， 即 故 ，选 D. 考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模 . 、 为平面向量，已知 ，则 、 夹角的余弦值等于（ ） . A B C D 答案： C 试题分析：设 ，因为， ， 所以， ， 故 ，选
3、 C. 考点：平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、模、夹角 . 在 中 , , ， 为 的中点 ,则 =（ ） A 3 BC -3 D答案： D 试题分析：因为，在 中 , , ， 为 的中点 , 所以，由平面向量的平行四边形法则， ， 所以， =，选 D. 考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模 . 在 ABC中，角 A， B， C的对边为 ,若 ，则角A= （ ） A 30 B 30或 105 C 60 D 60或 120 答案： D 试题分析：因为，三角形中， ， 所以，由正弦定理得， ， 故角 A为 或 ，选 D. 考点：正弦定理 函数 的零点所在的区间为（ ） A（ 1,2
4、） B（ 2,3） C（ 3,4） D（ 4,5） 答案： B 试题分析：由函数零点存在定理，函数的零点在某区间，应满足区间端点函数值异号， 据此加以检验知， ， 所以，函数 的零点一定位于区间 ，故选 B. 考点：函数零点存在定理，自然对数 . 等差数列 中，若 ，则 等于（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：因为，等差数列 中， ， 所以，由等差数列的性质，得， ，故选 C. 考点：等差数列的性质 “ 的三个角 A， B， C成等差数列 ”是 “ 为等边三角形 ”的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析
5、：当 的三个角 A， B， C成等差数列时，可得到 ，但 不一定为等边三角形，如含 的直角三角形；反之， 为等边三角形，三角形三内角均为 ，必有三个角 A， B， C成等差数列，即 “的三个角 A， B， C成等差数列 ”是 “ 为等边三角形 ”的必要不充分条件，选 A. 考点：充要条件，等差数列 . 已知复数 （ 为虚数单位）则复数 在复平面对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： ，所以，复数 在复平面对应的点位于第二象限，选 B. 考点：复数的代数运算，复数的概念 . 填空题 如图所示， 是定义在区间 上的奇函数，令 ，并有关于函数 的
6、四个论断： 若 ，对于 内的任意实数 ， 恒成立； 函数 是奇函数的充要条件是 ； 任意 ， 的导函数 有两个零点； 若 ，则方程 必有 3个实数根； 其中，所有正确结论的序号是 _ 答案： 试题分析： 对于 内的任意实数 ， 恒成立，由函数的图象可以看出，函数在 内单调增函数，故命题正确； 若 ，则函数 是奇函数，此命题正确， 时， 是一个奇函数； 时，结论不成立 故不正确； 若 ，则方程 必有 3个实数根，本题中没有具体限定 b的范围，故无法判断 有几个根； 综上 正确，故答案：为 考点：函数的单调性、奇偶性，函数与方程， 已知数列 的递推公式 ，则 ；数列中第 8个 5是该数列的第 项
7、答案： ,640. 试题分析：由递推公式知， ，所以， ； 又 ，所以 1重复出现， 1,2,4,8是等比数列，以 1为首项， 2为公比，即： 要使 5出现，项数是以 5为首项， 2为公比的数列，即： 第 8次则是 时出现，项数为 ，即：第 640项出现第 8个 5. 考点：数列的递推公式，数列的周期性 . 抛物线 在点 的切线方程是 _ 答案： 试题分析： 点 在抛物线 上，抛物线 在点 的切线斜率为 ，所以，由直线方程的点斜式整理得， ，即为所求 . 考点：导数的几何意义，直线方程的点斜式 . 如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为 答案： -2 试题分析：因为，复数 为纯虚数， 所以， ，
8、解得， . 考点：复数的概念 解答题 已知向量 （ 1）求 ，并求 在 上的投影 （ 2）若 ，求 的值，并确定此时它们是同向还是反向？ 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据已知条件，首先求得 ，进一步确定 ，利用投影的计算公式得解 . （ 2）解答此类问题，可由两种思路，一是利用坐标运算，根据共线向量的条件，得到 的方程；二是利用共线向量定理，引入参数，建立方程组 . 试题： （ 1） 1分 2分 ， 4分 在 上的投影为 6分 （ 2）法一： 8分 10分 12分 法二： 8分 10分 12分 考点：平面数列的坐标运算，共线向量定理 . 在 中， ， （ ）求 的值； （
9、 ）若 ，求 的面积 答案：（ ） . （ ） . 试题分析：（ ）利用三角函数诱导公式及两角和差的三角函数 . （ ）根据正弦定理先求 的长，利用三角形面积公式求解 . 本题不难，思路比较明确，要注意认真计算 . 试题：（ ）在 中，因为 ， 所以 . （ 3分） 所以 . （ 6分） （ ）根据正弦定理得： ， 所以 . （ 9分） . 12（分） 考点：三角函数诱导公式、两角和差的三角函数、正弦定理的应用 . 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . (I)求数列 的通项公式； (II)设等比数列 ，若 ，求数列 的前 项和 ( )设 ，求数列 的前 项和 答案：（ ） ；（ ） ； ( )
10、. 试题分析：（ ）两种思路，一是根据等差数列的通项公式、求和公式，建立的方程组； 二是利用等差数列的性质，由 ，得 ， 结合 ，确定 . （ ）由（ I得 ， ，得到公比 ， ，应用等比数列的求和公式计算 . ( )由（ ）知， . 从而得到 ，应用 “裂项相消法 ”求和 . 该题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，以及数列求和的方法，较为典型 . 试题：（ ）法一： 解得 （ 2分） （ 4分） 法二：由 ，得 ，所以 （ 2分） 又因为 ，所以公差 （ 3分） 从而 （ 4分） （ ）由上可得 ， ，所以公比 ， 从而， （ 6分） 所以 （ 8分） ( )由（ ）知， . 10分 （
11、 12分） 考点：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式， “裂项相消法 ”求和 . 设 (2cos ,1), (cos , sin2 ), ， R. 若 0且 , ,求 的值； 若函数 ( )与 的最小正周期相同，且的图象过点 ( ， 2)，求函数 的值域及单调递增区间 . 答案：（ 1） ；（ 2） 的值域为 ，单调递增区间为. 试题分析：（ 1）首先利用平面向量的坐标运算及和差倍半的三角函数公式， 将 化简为 ， 根据 =0及 , 求解 . （ 2）首先确定得到 ，根据 ，得到的值域为 ， 单调递增区间为 . 试题：（ 1） = = 3分 由 得 =0 , 6分 （ 2）由（ 1）知 8
12、分 的值域为 ，单调递增区间为 . 12分 考点：平面向量的坐标运算，三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质 . 岛 A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时 10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛 A正南方向 B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东 75方向且相距 10海里的 C处，随即以每小时 10 海里的速度前往拦截 （ I）问：海监船接到通知时，距离岛 A多少海里？ （ II）假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间 答案：（ I）海监船接到通知时，距离到 A 海里 . （ II）海监船航行方位角 （或东偏南 ），
13、航行的时间为 1小时 . 试题分析：（ I）首先根据三角形内角和定理，确定有关角的大小，应用正弦定理求 . 难 度不大，注重了基础知识的考查 . （ II）设海监船航行的时间为 小时，则 ， 应用余弦定理建立 的方程，注意舍去负值 . 根据 ， 得到方位角 . 试题：（ I）依题意， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， ， 答：海监船接到通知时，距离到 A 海里 . （ II）设海监船航行的时间为 小时，则 ， 又因为， , 所以， ， 解得， 或 （舍去）， 所以， ， 所以， ， 答：海监船航行方位角 （或东偏南 ），航行的时间为 1小时 . 考点：正弦定理、余弦定理的应用 已知函数 ，
14、是大于零的常数 （ ）当 时 ,求 的极值； （ ）若函数 在区间 上为单调递增，求实数 的取值范围； ( )证明：曲线 上存在一点 ，使得曲线 上总有两点 ，且成立 . 答案：（ I）极大值 ，极小值 . （ ）当函数 在区间 上为单调递增时， 或 （ ）曲线 上存在一点 ，使得曲线 上总有两点，且 成立 试题分析：（ I）求极值一般遵循 “求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值 ”. （ ）函数 在区间 上为单调递增，因此，其导函数为正数恒成立，据此建立 的不等式求解 . 应注意结合 的不同取值情况加以讨论 . （ ）通过确定函数的极大值、极小值点 , , 并确定 的中点 . 设
15、是图象任意一点 ,由 ，可得 ， 根据 ，可知点 在曲线 上，作出结论 . 本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点 , 的中点即为所求 . 试题：（ I） ， ， 当 时， ， 令 得 . 在 分别单调递增、单调递减、单调递增， 于是，当 时，函数有极大值 ， 时，有极小值 . -4分 （ ） ，若函数 在区间 上为单调递增， 则 在 上恒成立， 当 ，即 时，由 得 ； 当 ，即 时， ，无解； 当 ，即 时，由 得 综上，当函数 在区间 上为单调递增时， 或 10分 （ ） ， ， 令 ，得 ， 在区间 ， ， 上分别单调递增，单调递减，单调递增， 于是当 时，有极大值 ； 当 时，有极小值 记 , , 的中点 , 设 是图象任意一点 ,由 ，得 ， 因为 ， 由此可知点
