1、2014届辽宁省五校协作体届高三摸底考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 （ ） A B C D R 答案： C 试题分析：依题意， ，选 C. 考点：交集的定义 . 函数 为自然对数的底数）的值域是实数集 R，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 0， 1 答案： B 试题分析：要函数 为自然对数的底数）的值域是实数集 R， 则 能取遍 内所有的数， 因为 当 时， ，恒有函数的值 域是实数集 R，故排除 C、 D. 当 时，令 ，则 ，当 ， ，函数 为增函数； 当 ， ，函数 为减函数； 所以 的极小值（最小值）为 . 故有 成立，当 时， ， 时， ，所以排除 A,
2、C， 故选 B. 考点：对数型函数的值域， 导数法求函数的单调性、最值 . 已知 O是锐角 ABC的外接圆圆心， A=60， ，则m的值为（ ） A B C 1 D 答案： A 试题分析：依题意，由 得 ， ， ， ， .故选 A. 考点：向量的加减运算、数量积，二倍角的余弦公式 . F1， F2是双曲线 的左、右焦点，过左焦点 F1的直线 与双曲线 C的左、右两支分别交于 A， B两点，若 ，则双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 答案： A 试题分析： ，令 ， ， ， ， 由双曲线的定义 ， ， ， ， ， ，即 ， 由勾股定理知， ，求得 （负值舍去），故 . 考点：双曲线的定义
3、，几何性质 . 下图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：依题意，框图是直到型循环，要计算的是 ，故判 断框内应填入的条件是 ，选 C. 考点：程序框图，直到型循环结构 . 一个所有棱长均为 1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 设四棱锥 是满足条件的，连结 、 交于 ，球心 在 上， 令球的半径为 ，则 ， 由正四棱锥所有棱长为 1，易求得四棱锥的高 ， 在 中， ，即 ，解得 ， 故球的体积为 . 选 D. 考点：正四棱锥的性质，球的体积 . 将
4、函数 的图象向左平移 个长度单位，得到函数 g（ x）的图象，则g（ x）的单调递增区间是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，将其图像向左平移 个长度单位，得到函数 的图象，由于函数 的增区间是， 函数 的增区间满足 ，即 ，故的增区间是 ，选 A. 考点：正弦函数、余弦函数图象的性质，函数图象的平移 . 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为（ ） A 36 B 72 C 84 D 108 答案： C 试题分析：甲、乙
5、、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生， 当有二所医院分 2人另一所医院分 1人时，总数有 种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有 种； 有二所医院分 1人另一所医院分 3人 .有种 .故满足条件的分法共有种 . 考点：排列组合的运用 . 下列函数在（ 0， + ）上是增函数的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：函数 在 上是增函数；函数 在 上单调递减；函数 在 和 上单调递增；函数 在 单调递增，在 上单调递减 . 故选 C. 考点：函数单调性的判断方法 . 已知命题 那么 是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，
6、所以命题 的否定是，故选 B 考点：全称命题与特称命题的定义 . 抛物线 y2= 2x的准线方程是（ ） A y= B y=- C x= D x=- 答案： D 试题分析： ， ， 准线方程为 ，选 D. 考点：抛物线的性质 . 在复平面内，复数 为虚数单位）对应的点分别为 A， B，若点 C为线段 AB的中点，则点 C对应的复数为（ ） A B 1 C i D i 答案： A 试题分析： ， ，则 ， 线段 的中点 ，故点 C对应的复数为 ，选 A. 考点：复数的运算，复数的几何意义 ,线段的中点坐标公式 . 填空题 若实数 x， y满足不等式组 则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：不等
7、式组 表示的平面区域如图中阴影部分， ， ， 又 可看作区域内的点 与点 所在直线的斜率的范围 . ， ， ， . 考点：线型规划，直线的斜率 . 已知 . 答案： 试题分析： ， ， ， ， ， ， ， ， . 考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系 . 一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是 cm3 答案： 试题分析：由三视图知，正三棱柱底边三角形的边长为 ，则 ，即 . 三棱柱的体积为 （ ） . 考点：三视图，正三棱柱的性质，柱体的体积 . 对任意实数 x，有 ，则 的值为 . 答案： 试题分析： ,又， . 考点：二项式定理 . 解答题 在直角坐
8、标系 xOy中，圆 C的参数方程 为参数）以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求圆 C的极坐标方程； （ ）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C的交点为 O,P，与直线 的交点为 Q，求线段 PQ的长 答案：（ ） ；（ ） 2. 试题分析：（ ）利用 代换可得；（ ）依题意分别求出 、的极坐标，利用 ，则 求解 . 试题： ( )圆 的普通方程是 ，又 ; 所以圆 的极坐标方程是 . (5分 ) ( )设 为点 的极坐标，则有 ， 解得 . 设 为点 的极坐标，则有 解得 由于 ，所以 ，所以线段 的长为 2. (10分 ) 考点：圆的参数方程，直线的极坐标方程 . 如
9、图， 、 、 是圆 上三点， 是 的角平分线，交圆 于 ，过 作圆 的切线交 的 延长线于 . （ ）求证： ； （ ）求证： . 答案：（ ）详见；（ ）详见 . 试题分析：（ ）利用弦切角等于同弧所对的圆周角，角平分线线的性质求解；（ ）证明 ，的对应边成比例，再证 ，代换即得 . 试题：（ ） 是圆 的切线， ， 又 ， 为弦 所对的圆周角， ， 而 是 的角平分线， ， . （ 5分） （ ） ， ， ， ， 又 ， ， ， 故有 . （ 10分） 考点：圆的切线的性质，相似三角形 . 已知函数 在点 处的切线方程是 x+ y-l=0，其中 e为自然对数的底数，函数 g（ x） =1n
10、x- cx+ 1+ c（ c0），对一切 x （ 0,+ ）均有 恒成立 （ ）求 a， b， c的值； （ ）求证： . 答案：（ ） , , ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）利用导数的几何意义求 、 ，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求 ；（ ）构造新函数 ，利用导数法求 的最小值，利用 结合（ ）中的结论 进行证明 . 试题：（ ） , , , , . (2分 ) ,由于 , 所以当 时 , 是增函数 , 当 时 , 是减函数 , , 由 恒成立， ，即 恒成立， （ 4分） 令 ，则 ， 在 上是增函数， 上是减函数， ，即 ，当且仅当 时等号成立 . ， 由 可知，
11、，所以 . (6分 ) （ ）证法一 :所求证不等式即为 . 设 , , 当 时 , 是减函数 , 当 时 , 是减函数 , ,即 . (8分 ) 由（ ）中结论 可知 , , , 当 时 , , 从而 (10分 ) . (或者 也可 ) 即 , 原不等式成立 . (12分 ) 考点：导数法判断函数的单调性，恒成立，不等式的证明 . 在平面直角坐标系中，已知定点 A（ -2， 0）、 B（ 2， 0），异于 A、 B两点的动点 P满足 ，其中 k1、 k2分别表示直线 AP、 BP的斜率 （ ）求动点 P的轨迹 E的方程； （ ）若 N是直线 x=2上异于点 B的任意一点，直线 AN与（ I）
12、中轨迹 E交予点 Q，设直线 QB与以 NB为直径的圆的一个交点为 M（异于点 B），点 C（ 1， 0），求证： |CM| |CN| 为定值 . 答案：（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）根据斜率公式，有斜率乘积等于 整理即得，注意 ；（ ）设直线 的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点 的坐标，根据直线 与以 为直径的圆的另一个交点为 ，得 ，从而得到直线的方程，确定恒过的定点 .证明 三点共线 ,又 是以 为直径的圆的切线 ,由切割线定理可知 , ,即为定值 . 试题： ( )设 ,由 得 ,其中 , 整理得 点的轨迹方程为 . (4分 ) （ ）设点 ，则直线 的方程
13、为 ， 解方程组 ，消去得 ， 设 ，则 ， ， 从而 ，又 ， 直线 与以 为直径的圆的另一个交点为 ， ， 方程为 ,即 ,过定点 , (9分 ) 定值证法一 :即 三点共线 ,又 是以 为直径的圆的切线 ,由切割线定理可知 , ,为定值 . (12分 ) 定值证法二 :直线 : ,直线 : , 联立得 , , ,为定值 . (12分 ) 考点：椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点、定值问题 . 某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运 动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位： cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方
14、图跳高成绩在 185cm以上（包括 185cm）定义为 “优秀 ”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在 190cm以上（包括 190cm）的只有两个人，且均在甲队 （ ）求甲、乙两队运动员的总人数 a及乙队中成绩在 160,170）（单位： cm）内的运动员人数 b； （ ）在甲、乙两队所 有成绩在 180cm以上的运动员中随机选取 2人，已知至少有 1人成绩为 “优秀 ”， 求两人成绩均 “优秀 ”的概率； （ ）在甲、乙两队中所有的成绩为 “优秀 ”的运动员中随机选取 2人参加省中学生运动会正式比赛， 求所选取运动员中来自甲队的人数 X的分布列及期望 答案：
15、（ ） 40人；（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由成绩在 以上的运动员频数除以频率求得；（ ）利用求解； （ ）随机变量 所有可能取值为 . 超几何分布问题，列出分布列，再求期望 . 试题：（ ）由频率分布直方图可知，成绩在 以上的运动员频率为 ，所以全体与运动员总人数为 人， 乙队中成绩在 内的运动员人数 （人） . （ 2分 ) （ ）由频率分布直方图可知，乙队成绩在 以上的没有丢失，全体队员成绩在 以上的共有 10人，其中成绩优秀的有 6人 . 设至少有 1人成绩 “优秀 ”为事件 ，两人成绩 “优秀 ”为事件 ， 则 . （ 6分） ( )成绩 “优秀 ”的运动员共 6人 ,甲队
16、 4人 ,乙队 2人 . 随机变量 所有可能取值为 . , , ，（ 9分 ) 的分布列为： 数学期望 . (12分 ) 考点：茎叶图、频率分布直方图，条件概率，随机变量的分布列 . 如图，在直三棱柱 中， ， ，异面直线 与所成 的角为 . （ ）求证： ； （ ）设 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）由直三棱柱的性质证 ，再证明 平面 ；（ ）用向量法求解 . 试题：（ ） 三棱柱 是直三棱柱 , 平面 , . 又 , 平面 ， 平面 ， 平面 ， . （ 5分） （ ）如图， 以 点为原点， 、 、 分别为 、 、 轴正方向， 线段
17、长为单位长， 建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， ， 由于直线 与 所成的角为 . ，解得 ， , , 设平面 的法向量 , ,可取 . , . (10分 ) 于是 , 所以 与平面 所成角的正弦值为 . (12分 ) 考点：三棱柱的性质，空间中的垂直问题，向量法求角 . 设数列 an是等差数列，数列 bn的前 n项和 Sn满足 且 （ ）求数列 an和 bn的通项公式： （ ）设 Tn为数列 Sn的前 n项和，求 Tn 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）利用 求 ，再结合条件求 ；（ ）利用等比数列的求和公式求解 . 试题：（ ）由 ， ， ，即 ， 又 ，故 . ， ，公差 ， . （ 6分） （ ） ，所以数列 其前 项和 ， . （ 12分） 考点：等差数列、等比数列的性质，等比数列的求和公式 . 设正有理数 x是 的一个近似值，令 . （ ）若 ； （ ）比较 y与 x哪一个更接近于 ，请说明理由 答案：（ ）详见； （ ）详见 . 试题分析 ;（ ） 利用差比较法证明；（ ）利用差比较法证明 . 试题： ( ) , , . (5分 ) （ ）， ， ， ，而 ， ，即 ， 所以比 更接近于 . 考点：绝对值不等式 .
