1、2014届辽宁省抚顺市六校联合体高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ， ，则 =( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，所以 . 考点：集合间的基本运算 从抛物线 图像上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且，设抛物线焦点为 ，则 的面积为 ( ) A 10 B 8 C 6 D 4 答案： A 试题分析：设准线 与 轴的交点为 ，如图所示： 则 .因为 ，所以点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ，所以点 到 轴的距离为 ，即 .所以 的面积为梯形 的面积减去的面积，即. 考点：抛物线的图形与性质 函数 在 的图像大致为 ( ) 答案： C
2、试题分析：由已知得， ，部分图像如图所示： 所以 在区间 上先为负后为正再为负，所以函数的图像先减后增再减，但是在 处， ，函数在此点周围增长十分缓慢，所以选 C. 考点： 1.利用导数研究函数的单调性； 2.三角函数的图像与性质； 3.函数求导 已知 R上可导函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 ( ) A (-， -2) (1， ) B (-， -2) (1,2) C (-， -1) (-1,0) (2， ) D (-， -1) (-1,1) (3， ) 答案： D 试题分析：由图可知， ，不等式等价于 或 ，解得或 . 考点： 1.函数的单调性与导数的关系； 2.解不等式 设函数 f
3、(x)=Asin( )(A0, 0,- )的图象关于直线 x= 对称 ,且周期为 ,则 f(x)（ ） A图象过点 (0, ) B最大值为 -A C图象关于 (,0)对称 D在 , 上是减函数答案： D 试题分析：函数的周期为 ，所以 ，解得 .所以，则当 时， ，因为是函数的对称轴，所以 ，解得 ，所以.图像过点 ，关于点 对称，最大值是 ，由得， ，函数 在区间 是减函数，所以函数 在区间 上是减函数 . 考点： 1.求函数 的式； 2.三角函数的图像与性质 已知 是正数，且满足 那么 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：不等式组 表示的平面区域 (不包括边界 )如
4、图所示： 可见求 的取值范围，即是求原点到阴影区域的距离的平方的取值范围，最小值是原点到到直线 的距离的平方： ；最大值是原点到点 的距离的平方： . 考点： 1.线性规划； 2.点到直线的距离； 3.数形结合思想 执行如图所示的程序框图 ,则输出的 的值是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：这个程序框图的作用是计算 的值，. 考点：程序框图 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h随时间 t变化的可能图象是 ( ) 答案： B 试题分析：根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥，设圆锥的底面半径为 ，高为 ，水流的速度是 ，则由题意得， ，当 时，解得
5、 ，这是一个对数型函数，所以容器中水面的高度 随时间变化的图像类似于对数函数的图像，选 B. 考点： 1.三视图； 2.对数函数的图像与性质； 3.圆锥的体积 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 的值等于 ( ) A 54 B 45 C 36 D 27 答案： A 试题分析：设等差数列 的首项是 ，公差是 ，由已知得，化简得， ，即 ，所以. 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的性质； 3.等差数列的前 项和公式 “ ”是 “ ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：解 得， 或 ，所以 时，一定有 成立；但
6、是 时， 不一定成立 .所以 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 . 考点：充分条件、必要条件以及充要条件的判断 已知向量 a (1,1)， b (2， x)若 a b与 4b-2a平行，则实数 x的值是 ( ) A -2 B 0 C 1 D 2 答案： D 试题分析：由已知得 ， ，因为 与平行，则有 ，解得 . 考点：向量共线的坐标表示 复数 的值是 ( ) A -1 B 1 C D 答案： A 试题分析： . 考点：复数的代数运算 填空题 已知点 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点，若 为锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是 _. 答案：
7、试题分析：根据题意，作图像如下： 由已知得 ，将它代入双曲线方程可得， ，所以 ，因为是锐角三角形，所以 ，则 ，在 中，所以 ，即 ，由 化简得，不等式两边都除以 得， ，又 ，解得. 考点： 1，双曲线的图像与性质； 2.三角形的边角关系； 3.解不等式 是定义在 R上的以 3为周期的偶函数，且 ，则方程 在区间（ 0， 6）内解的个数的最小值是 . 答案： 试题分析：因为函数 是周期为 的偶函数，所以由 可知， ，所以有 ， ，所以在区间 内，方程 至少有 ， ， ， 四个解 . 考点： 1.函数的周期性； 2.偶函数 已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心
8、 ,OA为半径的球的表面积 _. 答案： 试题分析：由已知得，正四棱锥的底面积为： ，所以正四棱锥的高为： ，则 ，所以以 为半径的球的表面积的为： . 考点： 1.球的表面积； 2.棱锥的体积 某工厂对一批产品进行了抽样检测 .右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 96， 106，样本数据分组为 96， 98）， 98， 100),100， 102)， 102,104),104， 106,已知样本中产品净重小于 100克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98克并且小于 104克的产品的个数是 _. 答案： 试题分析：设样本中净重大于或
9、等于 克且小于 克的产品的个数是 x，则由已知可得， ，解得 . 考点：频率分布直方图 解答题 平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ( )求直线 的极坐标方程； ( ）若直线 与曲线 相交于 两点，求 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先消去参数 求得直线的普通方程，然后将极坐标与直角坐标的关系式 代入直线方程，根据特殊角的三角函数值即可求解； ( )直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程联立方程组，消去一个未知数，求得，根据方程的根与系数的关系以及两点间的距离公式求解 . 试题： ( )
10、消去参数得直线 的直角坐标方程为： . 2分 由 代入得， ， 解得 . (也可以是： 或 .) 5分 ( )由 得， ， 设 ， ，则 . 10分 考点： 1.参数方程与普通方程的互化； 2.两点间的距离公式； 3.极坐标方程的简单应用； 4.特殊角的三角函数值 如图， 是以 为直径的半圆 上的一点，过 的直线交直线 于 ，交过 A点的切线于 ， . ( )求证： 是圆 的切线； ( )如果 ，求 . 答案： ( )见； ( ) . 试题分析： ( ) 连接 ， ，根据直径所对的圆心角是直角可知，结合已知条件 “ ”得， ，所以 是 的中垂线，由中垂线的性质可得到， ， ，把角转化为 ，即可
11、得到 ，则结论可证； ( )先根据两个对应角相等得到 ，由相似三角形对应线段成比例求出线段 的值，进一步求出 的值，由平行线分线段成比例可得到 的值，从而解出 . 试题： ( )连接 ， ， 是直径，则 . 由 得， ， 则 是 的中垂线， 所以 ， ， 所以 ， 则 ，即 是圆 的切线 . 5分 ( )因为 ， 所以 ， ， 则有 ， 所以 ，那么 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 解得 . 10分 考点： 1.三角形相似的判定及其性质； 2.平行线分线段成比例； 3.切线的性质及判定 已知函数 是 R上的奇函数，当 时 取得极值 . (I)求 的单调区间和极大值 (II)证明对任意 不等式
12、 恒成立 . 答案： ( )单增区间 ，单减区间 ，极大值 ；( )见 . 试题分析： ( )根据奇函数的定义可知 ，由此解得 ，由已知条件 “当 时 取得极值 ”可得 以及 ，联立方程组解得 ，写出函数的式为 ，然后对函数 求导，利用函数的单调性与导数的关系判断函数 在实数集 R上的单调性，并由此得到函数 在 处取得极大值； ( )根据函数 在区间 是单调递减的，可知函数 在区间 上的极大值 和极小值 ，从而由对任意的都有不等式 成立，即得结论 . 试题： ( )由奇函数的定义，有 ， 即 ， . 因此 ， ， 由条件 为 的极值，必有 . 故 ，解得 . 4分 因此， ， ， . 当 时，
13、 ，故 在单调区间 上是增函数； 当 时， ，故 在单调区间 上是减函数； 当 时， ，故 在单调区间 上是增函数 . 函数 在 处取得极大值，极大值为 . 8分 ( )由 (I)知， 是减函数， 且 在 上的最大值 在 上的最小值 对任意 恒有 12分 考点： 1.求函数的式； 2.利用导数研究函数的单调性； 3.利用导数研究函数的极值； 4.解不等式； 5.奇函数的性质 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ( ）求椭圆 的方程； ( ）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点 若线段 中点的横坐标为 ，求斜率 的值； 若点 ，求证： 为定值 答案： ( )
14、 ； ( ) ； . 试题分析： ( )根据已知条件可设椭圆方程为： ，则有， ， ，求解即可得到 和 的值，将对应的解代入椭圆方程即可； ( ) 将直线方程 代入椭圆方程求得，求得 、 两点的横坐标之和为，由已知条件 “ 中点的横坐标为 ”，得到 ，从而解得 的值； 根据 的 、 两点的坐标求得 ，结合 、两点坐标满足直线方程 ，将 式化简整理得，再由 中的根与系数的关系：， ，代入化简即可 . 试题： ( )因为 满足 ， ， 解得 ， ， 则椭圆方程为： . 3分 ( ) 将 代入 中得， ， ， 设 ， ，则 ， 因为 中点的横坐标为 ，所以 ， 解得 . 6分 由 知， ， ， 所以
15、 . 12分 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.椭圆的性质； 3.方程的根与系数的关系； 4.中点坐标公式； 5.平面向量的数量积 如图，在直三棱柱 中， ， ，且 是中点 . (I)求证： 平面 ； ( )求证： 平面 . 答案： ( )见； ( )见 . 试题分析： ( )连接 交 于点 ，连接 ，则可证 为 的中位线，则有 ，根据直线与平面平行的判定定理即知， ；( )先由 和 ，根据直线与平面垂直的判定定理可知，由直线与平面垂直的性质定理可知 ；由角的与余切值相等得到 ，根据等量代换则有 ，即，结合直线与平面垂直的判定定理可知， . 试题： ( )连接 交 于点 ，连接 ，如图： 为正
16、方形， 为 中点， 又 为 中点， 为 的中位线， ， 又 ， , . 4分 ( ) ，又 为 中点， ， 又 在直棱柱 中， ， 又 ， ， 又 ， ， 又 ，所以 . 8分 在矩形 中， ， ， ， 即 ， 又 ， . 12分 考点： 1.直线与平面平行的判定定理； 2.直线与平面垂直的判定定理； 3.直线与平面垂直的性质定理 用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组 ,有关数据见下表 :(单位 :人 ) ( )求 , ； ( )若从高二、高三年级抽取的人中选 人 ,求这 2人都来自高二年级的概率 . 答案： ( ) ， ； ( ) . 试题分析： ( )在分层抽样中
17、每层抽取的个体数是按各层个体数在总体的个数中所占的比例抽取的，所以由图可知， ，解出 和 即可； ( )先标记从高二年级中抽取的 人为 ，从高三年级抽取的 人为 ，再列举出 “从这两个年级中抽取的 人中选 人 ”的所有的基本事件有：共 种，然后找出满足 “选中的 人都来自高二 ”的基本事件有： 共种，后者除以前者即是所求概率 . 试题： ( )由题意可知， ， 解得 ， . 4分 ( )记从高二年级中抽取的 人为 ，从高三年级抽取的 人为 ， 则从这两个年级中抽取的 人中选 人的基本事件有： 共 种，8分 设选中的 人都来自高二的事件为 ， 则 包含的基本事件有： 共 3种 . 因此 ， 故选
18、中的 人都是来自高二的概率为 . 12分 考点： 1.分层抽样； 2.基本事件； 3.条件概率 已知函数 ( )若 求 的值域； ( ) ABC中 ,角 A,B,C的对边为 a,b,c,若 求 的值 . 答案： ( ) ； ( ) 或 . 试题分析： ( )先根据和角公式将函数化简为 ，由 可得 ，从而根据正弦函数的图像与性质求得， ，从而求得 ； ( )将代入函数 ，根据特殊角的三角函数值求得，然后根据余弦定理得到 ，化简得 ，解一元二次方程即可 . 试题： ( ) 2分 ， 4分 ， ， . . 6分 ( ) ， ， ， 9分 ，即 ， 解得 或 . 12分 考点： 1.和角公式； 2.三
19、角函数的图像与性质； 3.余弦定理； 4.特殊角的三角函数值 设函数 (I）解不等式 ； (II）求函数 的最小值 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先将函数 写成分段函数的形式，根据分段函数的式作出函数的图像，然后求出直线 与函数图像的交点坐标为 和，利用数形结合的思想可知 的解集； ( )找到函数图像的最低点，求出最低点的纵坐标即可 . 试题： ( )令 ，则有 ， 则作出函数 的图像如下： 它与直线 的交点为 和 . 所以 的解集为： . 6分 ( )由函数 的图像可知， 当 时，函数 取得最小值 . 10分 考点： 1.分段函数的式及其图像； 2.绝对值不等式； 3.数形结合思想
