1、2014届辽宁省抚顺市六校联合体高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， 则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 . 考点：集合间的基本运算 已知函数 的定义域为 ， 且对于任意的 都有，若在区间 上函数 恰有四个不同零点，则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以有 ，函数 的周期是 ，在区间 上的图像如下： 函数 在区间 上恰有四个不同的零点，即函数 与直线 的图像在区间 上有四个不同的交点，直线横过点 ，图中红线表示 取不同值时的直线，当直线过点 时， ，由图可知当时，函数 与直线 的图像在区间 上
2、有四个不同的交点 . 考点： 1.函数的图像与性质； 2.数形结合思想 已知 的对称中心为 ，记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，则有 .若函数 = ，则可求得 + + + =( ) A 4025 B C 8050 D 8050 答案： C 试题分析：因为 时， ，所以函数 的对称中心是，则有 ，又 ，所以 ，所以 . 考点：函数的对称性 设 的展开式的常数项为 ，则直线 与曲线 围成图形的面积为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由已知得， ，直线 与曲线 的交点坐标为： ，图形如下： 所以它们围成的图形的面积是： . 考点： 1.二项式定理； 2.定积分 函数 的最小正周期是
3、 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象 ( ) A关于点 对称 B关于直线 对称 C关于点 对称 D关于直线 对称 答案： D 试题分析：由函数的最小正周期是 可知， ，所以有 ，向右平移 个单位后有 是奇函数，所以，因为 ，所以 .所以 ，关于点对称，关于直线 对称 . 考点： 1.求三角函数的式； 2.三角函数的图像与性质 给出下列四个结论： 若命题 ，则 ； “ ”是 “ ”的充分而不必要条件； 命题 “若 ，则方程 有实数根 ”的逆否命题为： “若方程没有实数根，则 0”； 若 ，则 的最小值为 其中正确结论的个数为 ( ) A B. C. D. 答案： C
4、试题分析： 正确：命题 是存在命题，它的否定 是全称命题； 错误：由 不能推出 ，而 能推出 ，所以 “ ”是 “ ”的必要不充分条件； 正确：原命题为 “若 则 ”，则其逆否命题是 “若 则 ”； 正确： . 考点： 1.全称命题与存在命题； 2.充分条件、必要条件和充要条件的判定； 3.基本不等式； 4.命题及其关系 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为 ( ) A B C 1 D 答案： D 试题分析：原几何体为直三棱锥，如图所示： 其中 ， ， ， 到 的距离是 ，所以. 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积公式 已知等差数列 前 项和为 ，且
5、+ =13， =35，则 =( ) A 8 B 9 C 10 D 11 答案： A 试题分析：由已知条件可得， ，解得 ，所以. 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的前 项和公式 ABC所在平面上一点满足 ,则 PAB的面积与 ABC的面积比为 ( ) A 2:3 B 1:3 C 1:4 D 1:6 答案： B 试题分析：由已知得， ，解得 ，所以，作图如下： 设点 到线段 的距离是 ，所以. 考点：向量的线性运算 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ,则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：此程序框图的作用是输出 的值，由已知得 ，即 ，解得 . 考点：程序框
6、图 已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由已知得，双曲线的焦点为 ，所以 ，则有 ，解得. 考点： 1.双曲线的标准方程； 2.双曲线的性质； 3.抛物线的性质 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由已知得 ， ，所以 . 考点：复数的代数运算 填空题 设 半径为 2的球面上四点，且满足 = , = , = ,则 的最大值是 _. 答案： 试题分析：由 ， ， 可知， ， ，所以 ， 当 “ ”成立时，有 ，此时可以将四面体 补成正方体，
7、正方体的体对角线即是球的直径 ，则有，所以，即的最大值是 . 考点： 1.基本不等式及其应用； 2.平面向量垂直的充要条件 若实数 满足 ,则关于 的方程 有实数根的概率是_. 答案： 试题分析：由已知得， ，解得 ，图形如下： 其中 对应的是圆形区域，直线 将圆形区域分为上、下两部分，当 ，在下半部分取值时， 能保证方程有实根，所以所求的概率为：. 考点： 1.连续型随机变量及其应用； 2.数形结合思想； 3.方程根的个数与判别式的关系； 4.几何概型 为等比数列，若 和 是方程 的两个根，则 _. 答案： 试题分析：由已知得， ，所以 ， 是负数，那么这个等比数列的奇数项都是负数，所以 .
8、 考点：等比数列的性质 函数 ，则 _. 答案： 试题分析： . 考点：分段函数的式 解答题 平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ( )求直线 的极坐标方程； ( )若直线 与曲线 相交于 两点，求 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先消去参数 求得直线的普通方程，然后将极坐标与直角坐标的关系式 代入直线方程，根据特殊角的三角函数值即可求解； ( )直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程联立方程组，消去一个未知数，求得 ，根据方程的根与系数的关系以及两点间的距离公式求解 . 试题： ( )消
9、去参数得直线 的直角坐标方程为： . 2分 由 代入得， ， 解得 . (也可以是： 或 .) 5分 ( )由 得， ， 设 ， ，则 . 10分 考点： 1.参数方程与普通方程的互化； 2.两点间的距离公式； 3.极坐标方程的简单应用； 4.特殊角的三角函数值 如图， C是以 AB为直径的半圆 O上的一点，过 C的直线交直线 AB于 E，交过 A点的切线于 D， BC OD. ( )求证： DE是圆 O的切线； ( )如果 AD=AB=2，求 EB. 答案： ( )见； ( ) . 试题分析： ( )连接， ，根据直径所对的圆心角是直角可知， ，结合已知条件 “ ”得， ，所以 是的中垂线，
10、由中垂线的性质可得到， ，把角 转化为 ，即可得到 ，则结论可证； ( )先根据两个对应角相等得到，由相似三角形对应线段成比例求出线段 的值，进一步求出的值，由平行线分线段成比例可得到 的值，从而解出 . 试题： ( )连接， ， 是直径，则 . 由 得， ， 则 是的中垂线， 所以 ， ， 所以 ， 则 ，即 是圆 的切线 . 5分 ( )因为 ， 所以 ， ， 则有 ， 所以 ，那么 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 解得 . 10分 考点： 1.三角形相似的判定及其性质； 2.平行线分线段成比例； 3.切线的性质及判定 已知椭圆 C: 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的 短半轴长为半径的
11、圆与直线 相切 (1)求椭圆 的方程； (2)若过点 (2， 0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足（ 为坐标原点），当 时，求实数 取值范围 答案： (1) ； (2) . 试题分析： (1)先根据圆心到直线的距离等于半径，求出圆的半径即椭圆短半轴的长，然后由离心率求出 和 的关系，进而得到 的值，写出椭圆方程即可； (2)先设出直线方程，再由直线方程与椭圆方程联立方程组，求得 ， 两点的横坐标满足的方程 ，它的判别式大于零得到 ，然后由已知条件 ，结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得，从而解得 ，根据已知有 以及点 在椭圆上，先求出点 的坐标，然后代入椭圆方程可知
12、，结合求解的，即可得到 的解集 . 试题 ： (1)由题意知，短半轴长为： ， ， ， 即 ， ， 故椭圆 的方程为： . 2分 (2)由题意知，直线 的斜率存在，设直线 ： ， 设 ， ， ， 由 得， . ，解得 . 4分 . ， ， 解得 ， . 点 在椭圆上， ， . .7分 ， ， ， ， ， 10分 ， ， ， 或 ， 实数 取值范围为 . 12分 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.点到直线的距离公式； 3.方程的根与系数的关系； 4.解不等式； 5.平面向量的坐标运算 已知函数 （ ） (1)求 的单调区间； 如果 是曲线 上的任意一点，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数 的
13、最小值； 讨论关于 的方程 的实根情况 答案： (1)单调增区间是 ，单调减区间是 ； (2) ； (3)见 . 试题分析： (1)先由对数函数的定义求出函数 的定义域，然后求出函数 的导数 ，结合函数的单调性与导数的关系求解； (2)先写出切点 处的切线的斜率 ，然后根据已知条件得到 ，则有 ，结合二次函数 在区间 上的图像与性质，可得 的最小值； (3)根据已知条件构造函数 ，将方程 的实根的情况转化为函数 的零点问题 .由函数单调性与导数的关系可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，即最大值是 ，分三种情况进行讨论：当，函数 的图象与 轴恰有两个交点；当 时，函数 的图象与轴恰有
14、一个交点；当 时，函数 的图象与 轴无交点 .由方程的根与函数零点的关系得解 . 试题： (1) ，定义域为 ， 则 ， ， 由 得， ；由 得， . 函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 . 2分 (2)由题意，以 为切点的切线的斜率 满足： ， 所以 对 恒成立 又当 时， ， 所以 的最小值为 . 7分 (3)由题意，方程 化简得： . 令 ，则 当 时， ；当 时， . 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 所以 在 处取得极大值即最大值，最大值为 所以当 ，即 时， 的图象与 轴恰有两个交点， 方程 有两个实根； 当 时， 的图象与 轴恰有一个交点， 方程 有一个实根； 当
15、时， 相关试题 2014届辽宁省抚顺市六校联合体高三上学期期中考试理科数学试卷（带） 如图， 是等边三角形， ， ，将 沿 折叠到 的位置，使得 (1)求证： ； (2)若 ， 分别是 , 的中点，求二面角 的余弦值 答案： (1)见； (2) . 试题分析： (1)根据已知条件可得 以及 ，有直线与平面垂直的判定定理可得 ，再根据直线与平面垂直的性质定理可得 ； (2)有边的关系，设 ，则 ，再由线段 ， ， 互相垂直，以三边所在直线为轴建立空间直角坐标系 ，然后求出平面 的法向量为 以及平面 的一个法向量是 ，将所求二面角的余弦值问题转化为求这两个法向量的夹角的余弦值问题 . 试题： (1
16、)证明： ， ， 又 ，且 , ， ， . (2) 是等边三角形， ， ， 不妨设 ，则 ， 又 ， 分别为 、 的中点， 由此以 为原点， ， ， 所在直线为轴建立空间直角坐标系 . 则有 ， ， ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， . 又平面 的一个法向量是 ， ， 二面角 的余弦值为 . .12分 考点： 1.直线与平面垂直的判定定理； 2.直线与平面垂直的性质定理； 3.二面角； 4.平面的法向量； 5.空间向量的数量积及夹角 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者把符合条件的 1000名志愿者按年龄分组：第 1组 20,25)
17、、第 2组 25,30)、第 3组 30,35)、第 4组 35,40)、第 5组 40,45，得到的频率分布直方图如图所示： (1)若从第 3、 4、 5组中用分层抽样的方法抽取 12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第 3、 4、 5组各抽取多少名志愿者？ (2)在 (1)的条件下，该市决定在这 12名志愿者中随机抽取 3名志愿者介绍宣传经验，求第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率； (3)在 (2)的条件下，若 表示抽出的 3名志愿者中第 3组的人数，求 的分布列和数学期望 答案： (1) 人、 人、 人； (2) ； (3)分布列见， . 试题分析： (1)先求出第 、 、 组的志愿者人
18、数以及三组的志愿者人数的总和，然后利用关系式 “(抽取的人数 三组的总人数 )每组的人数 ”求解； (2)先求出随机事件“从 名志愿者中抽取 名 ”的总数 ，然后求出随机事件 “第 组至少有一位志愿者被抽中 ”情况数 ，所求的概率即为 ； (3)先找出 的所有可能的取值，然后由公式 ，求出 每种取值对应的随机事件发生的概率，根据 的取值与其对应的概率写出分布列，由公式 求随机事件的数学期望 . 试题： (1)由题意可知，第 组的人数为 ， 第 组的人数为 ， 第 组的人数为 ， 第 、 、 组共有 名志愿者 . 所以利用分层抽样在 名志愿者中抽取 名志愿者，每组抽取的人数为： 第 组： ； 第
19、 组： ； 第 组： . 所以第 、 、 组分别抽取 人、 人、 人 . 4分 (2)从 名志愿者中抽取 名共有 种可能， 第 组至少有一位志愿者被抽中有 种可能， 所以第 组至少有一位志愿者被抽中的概率为 . 7分 (3) 的可能取值为 ， ， ， ， ， 所以 的分布列为： 的期望为： . 12分 考点： 1.分层抽样； 2.离散型随机变量及其应用； 3.古典概型； 4.条件概率； 5.随机事件的分布列和数学期望 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c， q=（ ， 1）， p=（ ， ）且 (1)求 的值； (2)求三角函数式 的取值范围 答案： (1) ； (2
20、) . 试题分析： (1)由向量平行的坐标表示可知， ，利用正弦定理将此式转化为 ，再结合 以及 可解得，根据特殊角的三角函数值可知， ，从而解得 ； (2)先由二倍角公式、同角三角函数的基本关系、差角公式将函数式 化简得到函数式 ，由 ，先求出 ，从而由三角函数的图像与性质得到 ，即是所求 . 试题： (1) ， ， 根据正弦定理得， ， 又 ， ， ， ， 又 ， ， . 6分 (2)由已知得， ， ， ， ， ， 三角函数式 的取值范围是： . 12分 考点： 1.向量平行的坐标表示； 2.特殊角的三角函数值； 3.正弦定理； 4.三角函数的图像与性质； 5.二倍角公式 设函数 (I)解不等式 ； (II)求函数 的最小值 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先将函数 写成分段函数的形式，根据分段函数的式作出函数的图像，然后求出直线 与函数图像的交点坐标为 和 ，利用数形结合的思想可知 的解集； ( )找到函数图像的最低点，求出最低点 的纵坐标即可 . 试题： ( )令 ，则有 ， 则作出函数 的图像如下： 它与直线 的交点为 和 . 所以 的解集为： . 6分 ( )由函数 的图像可知， 当 时，函数 取得最小值 . 10分 考点： 1.分段函数的式及其图像； 2.绝对值不等式； 3.数形结合思想
