1、2014届重庆市重庆一中高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知命题 ： ，则 是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：特称命题： “ ”的否定为 “ ”.故选 . 考点：简单逻辑，特称命题的否定 . 函数 ，其中 ，若动直线 与函数 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 ，则的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析：法一、由 得： ，所以 ，作出其图象如图所示： 不妨设 ，则易证 ，且 . 所以 . 令 ， ， 则 ， 由 得： ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，即， 当 时取等号 .选 法二、由 得： ，. 所
2、以 .当且仅当时取等号 . 考点： 1、分段函数； 2、新定义（创新意识）； 3、最值问题； 4、导数的应用 . 设数列 满足 ,且对任意 ,函数满足 ，若 ，则数列 的前 项和 为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： . 因为 ，所以： ， 所以 是一个等差数列 . ，又 ， ， 所以 . 考点： 1、等差数列等比数列的通项及前 项和； 2、导数 . 实数 x、 y满足 若目标函数 取得最大值 4，则实数 的值为 ( ) A B 2 C 1 D 答案： B 试题分析：作出不等式 组表示的区域如图所示，由图可知，直线系过点 时， 取最大 值，所以 . 考点：线性规划 . 要得到函数
3、 的图象，可以把函数 的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 答案： A 试题分析： ，向左平移 个单位即可 . 考点：三角函数图象的变换 . 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由三视图可知，该几何体由一个正三棱柱和一个球体构成 .根据图中尺寸可得，其体积： . 考点： 1、三视图； 2、几何体的体积 . 已知 ，则 =（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以 . 考点：同角三角函数基本关系式 . 购物大姐常说 “便宜没好货 ”，她这句话的意思是： “不便
4、宜 ”是 “好货 ”的（ ） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 答案： B 试题分析：在购物大姐眼中，便宜，则不是好货，这是一个真命题，它的逆否命题是：好货，则不便宜，也该是一个真命题 .所以 “不便宜 ”是 “好货 ”的必要条件 . 购物大姐没说 “不是好货就便宜 ”，所以不能说 “不便宜，则是好货 ”是一个真命题 .故选 . 考点：充分条件与必要条件 . 在 上随机取一个数 x，则 的概率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 得： ，由几何概型得： . 考点： 1、一元二次不等式的解法； 2、几何概型 . 集合 （其中 是虚数单位）中元素的个数是
5、（ ） A 1 B 2 C 4 D无穷多个 答案： C 试题分析： .因为 ，所以 ，以后的值便重复出现，所以共有 4个元素 . 考点：复数的基本概念及运算 . 填空题 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线与双曲线的右支交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 _. 答案： 试题分析：由题意得： , + + 得： ，由此可得：， . ，. 因为 ，所以 , 即 . 考点： 1、双曲线的应用； 2、解方程组 . 已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则的解集为 _. 答案： 试题分析：设 ，则 ，所以 在上单调递增 .又因为 ，所以 时，； 时， .所以 的解为 . 考
6、点： 1、导数的应用； 2、解不等式 . 执行右边的程序框图，若 ，则输出的 n= . 答案： 试题分析：由框图得每次循环的结果为： ，所以 . 考点：程序框图 . 若向量 相互垂直，则点（ 2， 3）到点（ x， y）的距离的最小值为 . 答案： 试题分析：由已知得： ，所以点（ 2， 3）到点（ x， y）的距离的最小值即为点到直线 的距离： . 考点： 1、向量的数量积及向量的垂直关系； 2、点到直线的距离 . 一组样本数据的茎叶图如右： ，则这组数据的平均数等于 . 答案： 试题分析： . 考点：样本数据的基本数字特征（平均数） . 解答题 已知等差数列 中， . ( )求数列 的通项
7、公式 ; ( )当 取最大值时求 的值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由 可得公差 ，再由 便可得通项公式 . ( ) 等差数列的前 项和为关于 的二次式，所以求出前 项和 结合二次函数图象便可得其最大值及相应的 的值 . 试题：（ ）由 6分 ( )因为 . 对称轴为 时 取最大值 15. 13分 考点： 1、等差数列的通项及前 项和； 2、函数的最值 . 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者 .现从符合条件的志愿者中随机抽取 100名按年龄分组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示 . ( )若从第
8、3， 4， 5组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3， 4， 5组各抽取多少名志愿者？ ( )在（ 1）的条件下，该市决定在第 3,4组的志愿者中随机抽取 2名志愿者介绍宣传经验，求第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率 . 答案：（ ）第 3,4,5组中分别 抽取 3人 ,2人 ,1人；（ ） . 试题分析：（ ）根据频率分布直方图，可得第 3组 ,第 4组，第 5组的人数 . 分层抽样就是按比例抽样，根据比例即可得各组抽取的人数 . ( )将第 3组 ,第 4组的志愿者编号，然后一一列举出所有可能结果，再数出第 4组至少有一名志愿者的所有可能结果，由古典概型公式便可
9、得所求概率 . 试题：（ ）第 3组的人数为 0.3100=30,第 4组的人数为 0.2100=20,第 5组的人数为 0.1100=10. 因为第 3,4,5组共有 60名志愿者 ,所以利用分层抽样的方法在 60名志愿者中抽取6名志 愿者 ,每组抽取的人数分别为 :第 3组 : 6=3; 第 4组 : 6=2; 第 5组 :6=1. 所以应从第 3,4,5组中分别抽取 3人 ,2人 ,1人 . 6分 ( )记第 3组的 3名志愿者为 A1,A2,A3,第 4组的 2名志愿者为 B1,B2,.则从 5名志愿者中抽取 2名志愿者有 : (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B
10、2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共有 10种 . 9分 其中第 4组的 2名志愿者 B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有 : (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1, B2),共有 7种 11分 所以第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 . 13分 考点： 1、频率分布直方图； 2、古典概型 . 设 ABC的三边 a， b， c所对的角分别为 A， B， C， （ ）求 A的值； （ ）求函数 的单调递增区间 . 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）将所有正
11、弦换成相应的边然后用余弦定理求解 . （ ）将 降次化一，化为的形式，即可求得其单调递增区间 . 试题：（ ）. 6分 （ ） 由 所以函数 的单增区间为 : 13分 考点： 1、余弦定理； 2、三角恒等变换及三角函数的单调区间 . 如图 ,在底面为平行四边形的四棱柱 中 , 底面 , , ( )求证 :平面 平面 ； ( )若 ,求四棱锥 的体积 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ）由 , , ，易得 ，从而平面 ， 由此可得平面 平面 ( )思路一、由（ ）知， 平面 ，所以 ，即 是一个直角三角形，这样可得四边形 的面积 . 又平面 平面 ，所以过 D作 的垂线，该垂线即垂直于
12、平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积 . 思路二、将四棱锥 分割为以下两部分：三棱锥 和 ，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个 . 而三棱锥 即为三棱锥 ，这个三棱锥的体积就很易求了 . 试题：（ ）证明：在 中 ,由余弦定理得：， 所以 ,所以 ,即 ， 3分 又四边形 为平行四边形 ,所以 ，又 底面 , 底面,所以 ， 又 ,所以 平面 , 5分 又 平面 ,所以平面 平面 6分 ( )法一：连结 ， ， 平面 ，所以 ， 8分 所以四边形 的面积 ， 10分 取 的中点 ，连结 ，则 ，且 ， 又平面 平面 ,平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以四棱锥 的体积： 12分
13、法二 : 四棱锥 如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积 15000平方米，运动场是由一个矩形 和分别以 、 为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为 150元，其它部分造价每平方米 80元， （ ）设半圆的半径 （米），写出塑胶跑道面积 与 的函数关系式； （ ）由于受运动场两侧看台限制， 的范围为 ，问当 为何值时，运动场造价最低（第 2问 取 3近似计算） . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）塑胶跑道由两个半圆和两个矩形构成，利用圆和矩形的面积公式便可得其面积 . （ ）单位造价乘以面积便得总造价，这样可得总造价与半径的关系式： ，这个式子可用
14、重要不等式求其最小值及相应的半径 . 试题：（ ） 5分 （ ）总造价： 8分 令 ，则 在区间 上单调递减 故当 时，总造价最低 . 12分 考点： 1、函数的应用； 2、重要不等式 . 已知圆 直线 与圆 相切，且交椭圆于 两点， 是椭圆的半焦距， ， （ ）求 的值； （ ） O为坐标原点，若 求椭圆 的方程； ( ) 在（ ）的条件下，设椭圆 的左右顶点分别为 A， B，动点，直线 AS， BS与直线 分别交于 M,N两点，求线段MN的长度的最小值 . 答案：（ ） ；（ ）椭圆 的方程为 ； ( ). 试题分析：（ ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径 .设圆的圆心为半径分别为
15、 ，直线的方程为 .若直线与圆相切，则圆心到直线的距离 ，将已知条件代入这个公式，即可得 的值 . ( )将 代入得： 得关于 的二次方程 .设则 是这个方程的两个根 .因为，所以 ，再结合韦达定理，可得一个含 的等式，与 联立解方程组即可求得的值 . ( )思路一、在（ ）的条件下，椭圆的方程为： ，动点，则将其代入椭圆方程，便得： .设 ，则 .两式相乘再利用 式可消去 得 ，再用重要不等式便可得线段 MN的长度的最小值 . 思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段 MN的长度 . 那么选哪 一个量作为变量呢？显然直线 AS的斜率存在，设为 且 ，然后用 表示出点 的坐标，从而表示出线段 MN的长度 .再用重要不等式便可得线段 MN的长度的最小值 . 试题：（ ）直线 与圆 相切 ,所以 4分 ( ) 将 代入得： 得 : 设 则 因为 由已知 代人 所以椭圆 的方程为 8分 ( )法一、在（ ）的条件下，椭圆的方程为： ，将动点的坐标代入椭圆方程，便得： 设 ， ，则 .两式相乘得 由 得： ，代入 得： ，显然 异号 . 所以线段 MN的长度 ，当 时取等号 . 法二、显然直线 AS的斜率存在，设为 且 则 依题意 ，由 得： 设 则 即 ，又 B（ 2， 0）所以 BS：由 所以 时： &n
