1、2014届陕西省长安一中等五校高三第三次模拟文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ( ) A 或 B C D 或 答案： C 试题分析：因为复数 是纯虚数，所以 且，因此 注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件 . 考点：纯虚数 定义域为 的函数 满足 ，当 时，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为当 时，函数 恒成立，所以.又当 时，；当 时，；所以 ，即 ， 解得 考点：不等式恒成立，分段函数式 双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为
2、( ) A B C D 答案： A 试题分析：在直角三角形中，设 则 ，因此离心率为 考点：双曲线定义 已知 外接圆 的半径为 ，且 ，从圆 内随机取一个点 ，若点 取自 内的概率恰为 ，则 的形状为 ( ) A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 答案： B 试题分析：由题意得 所以 .在三角形 AOB中，由于 ,所以 由余弦定理得,即 ，所以 ，的形状为等边三角形 . 考点：几何概型概率，余弦定理 下列命题正确的个数是 ( ) 命题 “ ”的否定是 “ ”； 函数 的最小正周期为 ”是 “ ”的必要不充分条件； 在 上恒成立 在 上恒成立； “平面向量 与 的夹角是钝角
3、 ”的充分必要条件是 “ ”. A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：因为命题 “ ”的否定为 “ ”，因此 正确；因为所以 ，即 ，因此 正确；因为 在 上恒成立在 上恒成立 ， ，因此 不正确；因为钝角不包含 而由 得向量夹角包含 因此 “平面向量 与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是 “ 且 与 不反向 ”，故 不正确 . 考点：命题的否定，不等式恒成立，向量数量积 若下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环，；第四次循环， ，结束循环，输出 ，因此 考点：循
4、环结构流程图 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： 20,40)， 40,60)， 60,80)， 80,100若低于 60分的人数是 15，则该班的学生人数是 ( ) A 45 B 50 C 55 D 60 答案： B 试题分析：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于 60分的人数频率为 ，所以该班的学生人数是 考点：频率分布直方图 圆 上的点到直线 的距离最大值是 ( ) A 2 B 1+ C D 1+ 答案： B 试题分析：因为圆 ，而所求距离最大值为圆心到直线距离加半径，即 考点：直线与圆位置关系 等差数列 中，如果 ， ，则数列 前 9
5、项的和为 ( ) A 297 B 144 C 99 D 66 答案： C 试题分析：因为 ，所以 同理由 得数列 前 9项的和为 考点：等差数列性质 已知集合 , ,则 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 所以 因为 所以因此 考点：集合的运算 填空题 在极坐标系中，若圆 的极坐标方程为 ，若以极点为原点，以极轴为 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系 ，则在直角坐标系中，圆心 的直角坐标是 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，因此圆心坐标为 . 考点：极坐标化直角坐标 如图， 切圆 于点 ，割线 经过圆心 ， ， 绕点逆时针旋转 到 ，则 的长为 . 答案： 试题分析：
6、由切割线定理得 又 所以, 考点：切割线定理 己知 ，若 恒成立，利用柯西不等式可求得实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由柯西不等式得 ，所以，即 . 考点：柯西不等式 观察下列等式： ； ； 则当 且 时， .（最后结果用表示） 答案： 试题分析：等式规律为： 项数为所以 考点：数列归纳 函数 的最大值为 ，最小正周期为 ，则有序数对 为 . 答案： 试题分析：因为所以有序数对 为 . 考点：三角函数最值与周期 若目标函数 在约束条件 下仅在点 处取得最小值，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：约束条件 表示一个三角形 及其内部 .因此直线 的斜率在 内，即 考点：线性规划
7、右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 答案： 试题分析：所求几何体为一个底面半径为 1，高为 1的圆柱与半径为 1的四分之一的球的组合体，所以体积为 考点：三视图 解答题 已知函数 . （ 1）求函数 的单调增区间； （ 2）在 中， 分别是角 的对边，且，求 的面积 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）研究三角函数性质，现将三角函数化为基本三角函数，即型 . 先利用倍角公式及两角和与差正弦化简为 =，再利用配角公式化为 ，最后结合基本三角函数图像求出函数 的单调递增区间为 .（ 2）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化，先根据 ，求出角 A,再根据一角三边关系，
8、利用余弦定理求 ，最后代入面积公式 试题：（ 1） = = = . 3分 函数 的单调递增区间是 . 5分 （ 2） ， . 又 ， . . 7分 在 中， ， ,即 . . 10分 12分 考点：三角函数化简，余弦定理 为了解某市的交通状况，现对其 6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表： 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 （ 1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级； （ 2）用简单随机抽样方法从这 条道路中抽取 条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的
9、绝对值不超过 的概率 . 答案：（ 1） 7.5,合格（ 2） 试题分析：（ 1）根据平均数计算公式得 ，对照标准为合格 .（ 2）求古典概型概率关键在于正确表示事件所包含基本事件数 .作为文科用枚举法进行列举：从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件 . 事件 “样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ” 包括 ， ， ， ， ， 共 个基本事件，因此该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 . 试题：（ 1） 6条道路的平均得分为 . 3分 该市的总体交通状况等级为合格 . 5分 （ 2）设 表示事件
10、 “样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. 7分 从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件 9分 事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 个基本事件， 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 . 12分 考点：古典概型概率 设数列 的前 项和为 ，且 ，其中 是不为零的常数 （ 1）证明：数列 是等比数列； （ 2）当 时，数列 满足 ， ，求数列 的通项公式 答案：（ 1）详见，（ 2） 试题分析：（ 1）先由 求 ，需分段求解，即 时， ， ，当 时， ， ，因此 是首项为 ，公比为 的等比
11、数列（ 2）由（ 1）可得 ，因此由得： ，即 ，将这个式子叠加得 ，化简得 试题：（ 1）证明：因为 ,则 ， 所以当 时， ，整理得 4分 由 ，令 ，得 ，解得 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列 6分 （ 2）当 时，由（ 1）知，则 ， 由 ，得 ， 8分 当 时，可得 ， 10分 当 时，上式也成立 数列 的通项公式为 12分 考点：等比数列的证明，叠加法求通项 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ，为等腰直角三角形， ，且 分别是的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）设 ，求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）详见，（ 2）详见
12、，（ 3） 试题分析：（ 1）证明线面平行，关键在于找出线线平行 .显然 DE与三角形ABC 三条边都不平行，因此需作辅助线 .因为 D,E 都是中点，所以取 中点 ，连接 ，可证得四边形 是平行四边形 .因而有 ，再根据线面平行判定定理就可证得 .（ 2）要证明 平面 ，需证明 及，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设 ，则 . ， .后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面 面 ，得 面 ，再得 .（ 3）求三棱锥 的体积关键在于求高 .由（ 2）得 平面 ，所以三棱锥 的高为 的一半，因此三棱锥 的体积为 . 试题：（ 1）取 中点 ，连接 ， ， . 四边形 是平行四边形 .
13、 ，又 ， 平面 . 4分 （ 2） 是等腰直角三角形 斜边 的中点， . 又 三棱柱 是直三棱柱， 面 面 . 面 ， . 设 ，则 . . . 又 ， 平面 . 8分 （ 3） 点 是线段 的中点， 点 到平面 的距离是点 到平面距离的 . 而 ， 三棱锥 的高为 ；在 中，所以三棱锥 的底面面积为 ，故三棱锥 相关试题 2014届陕西省长安一中等五校高三第三次模拟文科数学试卷（带） 已知椭圆 的短半轴长为 ，动点 在直线（ 为半焦距）上 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程； （ 3）设 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线与以 为直径的圆交于点
14、， 求证：线段 的长为定值，并求出这个定值 答案：（ 1） ，（ 2） ， (3) 试题分析：（ 1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法 .由题意得 及，因此可解得 ， .（ 2）圆的弦长问题，通常化为直角三角形，即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形 . 圆心为 ,圆心到直线 的距离 ，因此 ， ，所求圆的方程为 (3)涉及定值问题，一般通过计算，以算代证 .本题有两种算法，一是利用射影定理，只需求出点 在 上射影 的坐标，即由两直线方程 得 ，因此.二是利用向量坐标表示，即设 ，根据两个垂直，消去参数 t,确定 . 试题：（ 1）由点 在直线 上，得 ， 故 ， 从而 2分 所
15、以椭圆方程为 4分 （ 2）以 为直径的圆的方程为 即 其圆心为 ,半径 6分 因为以 为直径的圆被直线 截得的弦长为 ， 所以圆心到直线 的距离 所以 ，解得 所求圆的方程为 9分 （ 3）方法一：由平几知： ， 直线 ，直线 ， 由 得 所以线段 的长为定值 13分 方法二：设 ， 则 又 所以， 为定值 13分 考点：椭圆方程，圆的弦长，定值问题 已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，函数 在 上有三个零点，且 是其中一个零点 （ 1）求 的值； （ 2）求 的取值范围； （ 3）设 ，且 的解集为 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ，（ 2） ，（ 3） 试题分析：（ 1）函数
16、在 处单调性发生变化，所以 ，由得 .（ 2）因为 ，所以 ，因此因为函数 在 上有三个零点，所以必有两个不等的根 ， 又 在 上是增函数，所以大根不小于 1，即 ， ，故 的取值范围为（ 3）已知不等式解集求参数取值范围，有两个解题思路，一是解不等式，根据解集包含关系对应参数取值范围 .二是转化，将不等式在区间有解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围 .本题由于已知 是其中一个零点，所以两个方法都简便 .否则应利用变量分离求最值法 . 试题：（ 1） f（ x） =-x3+ax2+bx+c， 1分 f（ x）在 上是减函数，在 上是增函数， 当 时， 取到极小值，即 3分 （ 2）由（ 1）知， ， 是函数 的一个零 点，即 ， 5分 的两个根分别为 ， 又 在 上是增函数，且函数 在 上有三个零点， ，即 7分 故 的取值范围为 9分 （ 3）解法 1：由（ 2）知 ，且 是函数 的一个零点， ， ， ， 点 是函数 和函数 的图像的一个交点 10分 结合函数 和函数 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数 和函数 的图像只有一个交点 时， 的解集为 即方程组 只有一组解： 11分 由 ，得 即 即 相关试题 2014届陕西省长安一中等五校高三第三次模拟文科数学试卷（带）
