1、2014届黑龙江大庆实验中学高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则集合 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：集合 ，又集合，故，选 C. 考点：集合的运算 . 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 称 为“局部奇函数 ”，若 为定义域 上的 “局部奇函数 ”，则实数的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当 为定义域 上的 “局部奇函数 ”时，可化为 ，令 则， ，从而 在 有解，即可保证为 “局部奇函数 ”，令 ，则 当 时，在 有解，即 ，解得 ； 当 时， 在 有解等价于解得 ；综上可知 ，选B. 考点：奇函数的性质、一元
2、二次方程解的分布 . 点 是 内一点且满足 ，则 的面积比为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 是 内一点且满足 ，根据向量的几何运算作出图形如下，其中 , , ，虚线为垂线，且 , , .所以 , ,又 为平行四边形所以 所以 ，选 A. 考点：平面向量几何运算、三角形面积计算 . 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：在等差数列中 也构成等差数列，所以即 ， ，又 ，所以，选 C. 考点：等差数列前 项和的性质、等差中项 . 在 中， 则 边上的高等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由余弦定理得 ，设 边上的高等于
3、，则由三角形面积公式得 ，选 C. 考点：余弦定理、三角形面积公式 . 等比数列 的各项均为正数，且 ，则（ ） A 12 B 10 C D 答案： B 试题分析：在等比数列中 ，又 ，所以 ，故，选 B. 考点：等比数列的性质、对数式的计算 . 若函数 的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的 ，再将整个图象向右平移 个单位，沿 轴向下平移 个单位，得到函数的图象，则函数 是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：将 的图象向上平移 1个单位得 ，再将整个图象向左平移 个单位，得 ，然后将横坐标扩大到原来的 2倍得， ，选 A. 考点：三角函数图象平移变换 . 设奇函数 满足
4、 ，当 时， = ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ,选D. 考点：奇函数的性质 . 已知各项为正数的等差数列 的前 项和为 ，那么 的最大值为（ ） A 25 B 50 C 75 D 100 答案： A 试题分析：由题意知 ，因为数列各项都为正，利用基本不等式有 ，当且仅当 时，等号成立，故选 A. 考点：等差数列的性质、基本不等式 . 已知 且 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为，又 ，故， ，所以 ，又 ，所以，所以 ，而，所以 ，选 C. 考点：两角和与差的正切公式、正切函数在各象限符号的判断 . .若 则 （ ） A B CD 答案： D
5、 试题分析：,选 D. 考点：分段函数求值 . “非空集合 的元素都是集合 的元素 ”是假命题，则以下四个命题： 的元素都不是 P的元素； 中有不属于 元素； 中有 的元素； 的元素不都是 的元素，其中真命题的个数有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B 试题分析：原命题为假则它的否定为真，故（ 4）为真命题， “ 的元素不都是的元素 ”又说明 “ 中有不属于 元素 ”故（ 2）正确，选 B. 考点：命题的否定 . 填空题 数列 满足 分别表示 的整数部分与分数部分），则 . 答案： 试题分析： ， ， ， ， 所以 . 考点：等差数列通项公式、新定义题 . 函数 在区间
6、上有两个零点，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：令 ，要使函数 在区间 上有两个零点需满足 ，即 ，所以 的取值范围是. 考点：函数零点存在定理、导数在判断函数单调性中的应用 . 在 中， 点 是边 的三等分点，则. 答案： 试题分析：根据题意作出图形如下，由余弦定理得，由图知所以 . 考点：平面向量的几何运算、平面向量数量积 . 曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为 . 答案： 试题分析：画出图形可知，所求面积 ,而, ，故. 考点：定积分求面积 . 解答题 设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 对一切的实数 恒成立，如果命题 “ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围 . 答案： 试题分
7、析：对于命题 ，函数 的定义域为 ，说明对于任意的 ， 恒成立，利用一元二次不等式知识求解；对于命题 q，求出 的最大值，让 大于 的最大值；命题 “ 且 ”为假命题，说明、 至少一假，讨论求解 . 试题：命题 ：对于任意的 ， 恒成立，则需满足， 4分 因为 “ ”为假命题，所以 至少一假 （ 1）若 真 假，则 是空集。 5分 （ 2）若 假 真，则 7分 （ 3）若 假 假，则 9分 所以 10分 考点：命题及其关系、一元二次不等式恒成立问题、函数最值求法 . 已知函数 （ 1）求 的最小正周期和单调区间； （ 2）若 求 的取值范围； 答案：（ 1）最小正周期 ，单调增区间： ，单调减
8、区间： ; （ 2） . 试题分析： (1)将原函数化为一角一函数形式，然后利用三角函数的性质求解；（ 2）在（ 1）的基础上利用三角函数性质解答 . 试题：（ 1） 所以，最小正周期 ， 令 得，单调增区间： 令 得，单调减区间： 6分 （ 2）当 时， ， 所以 所以 12分 考点：两角和与差的正弦公式、二倍角公式、三角函数图象和性质 . 数列 满足： 记数列 的前 项和为 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)由已知得 ,可见数列 为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可；（ 2）利用错位相减法解答即可 . 试题：（ 1）由已知得
9、 ，所以数列 为等比数列， 又 ，由等比数列通项公式得， ， 即 6分 （ 2）由题意知 - 整理得 12分 考点：等比数列通项公式、错位相减法求数列的和、等比数列前 项和公式 . 已知 中， 的对边分别为 ，若 （ 1）求角 （ 2）求 周长的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）周长的取值范围是 . 试题分析：（ 1）将已知条件利用正弦定理化为角之间的关系，然后利用三角形的性质求解；（ 2）因为 由（ 1）知 ，利用正弦定理可得周长 ，将 代入化简得，因为 ，利用正弦函数图象求出周长范围 . 试题：（ 1） ，利用正弦定理 ， 将 代入得 ， 即 ， 6分 （ 2）由 得， ， 将 代入
10、化简得 ，因为 所以周长的取值范围是 12分 考点：正弦定理、三角形的性质、三角函数最值 . 已知函数 . （ 1）试求函数 的单调区间和极值 ; （ 2）若 直线 与曲线 相交于 不同两点，若 试证明 . 答案：（ 1）见；（ 2）见 . 试题分析：（ 1）求出函数导数令其等于零，得极值点，令导数大于零得增区间，令导数小于零得减区间；（ 2）由（ 1）知 ，利用 两点得而 ，构造 ，只需证明 即可 . 试题：（ 1） ，减区间是 ，增区间是 4分 （ 2） ，令 ， 构造函数 同除 ，令 ，则 ，所以 ，所以 ， 12分 考点：导数的计算、利用导数求函数极值和单调区间、直线斜率计算、函数的构
11、造 . 已知函数 ， 且的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行 . （ 1）求 的值； （ 2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围； （ 3）对于函数 与 公共定义域内的任意实数 ，我们把的值称为两函数在 处的偏差，求证：函数 与在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 答案：（ 1） ；（ 2） 的取值范围是 ；（ 3）见 . 试题分析：（ 1）先求出 的图象在它们与坐标轴交点，然后利用在此点处导数相等求解；（ 2）将题意转化为 在时有解，即 ，利用导数求出 在 的最小值即可求得 的取值范围；（ 3）两种方法；法一，公共定义域为 ，令在 利用导数求出 的最小值，再利用基本不等式可得结果 .法二，当 时，先证再证 ，两式相加即得 . 试题：（ 1） 的图像与 轴的交点为 ， 的图像与 轴的交点为 ，又 ， ，3分 （ 2）存在 使不等式 成立，即 在 时有解， 则 ，因为 ，又由均值不等式得在 上单调递增，所以 故所求 的取值范围是 8分 （方法一 ）（ 3）公共定义域为 ，令 则 在 单调递增，又 故 在 内存在唯一零点 ， 所以 所以 故结论成立 12分 （方法二推荐）当 时，先证 再证 ，两式相加即得证明方法构造函数 所以 在 单调增， 所以 ，同理可以证明 ，相加即得 . 考点：导数的几何意义、利用导数求函数最值、利用导数求函数单调区间、基本不等式 .
