1、2015届吉林省吉林市高三第一次摸底考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 计算： =（ ） A B C D 答案： C 试题分析： = 考点：复数的计算 对函数 f （ x），若 ， f （ a） , f （ b） , f （ c）为一三角形的三边长，则称 f （ x）为 “三角型函数 ”，已知函数 是 “三角型函数 ”，则实数 m 的取值范围是（ ） A 1, 4 B 0,2 C 2, 4 D 1, 2 答案： A 试题分析：由题意可得， f（ a） +f（ b） f（ c）对任意的 a、 b、 c R恒成立， 函数 ， 当 m2时，函数 f（ x）在R上是减函数，函数的值域为 ；故 f
2、（ a） +f（ b） 2， f（ c） ， m4 当 m 2时，函数 f（ x）在 R上是增函数，函数的值域为（ ，1）；故 f（ a） +f（ b） m， f（ c） 1， m1， 由 可得 1m4，故选： A 考点：函数的值 中， ,D是边 BC 上的一点（包括端点），则 的取值范围是（ ） A 1 ,2 B 0 ,1 C 0， 2 D -5， 2 答案： D 试题分析： D是边 BC上的一点（包括端点）， 可设 BAC=120， AB=2， AC=1， 01， （ -7+2） -5， 2 的取值范围是 故选： D 考点：平面向量数量积的运算 已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距离为
3、 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ -2,- 1） ,则双曲线的焦距为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ -2，-1），即点（ -2， -1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y2=2px的准线方程为 x=-，则 p=4，则抛物线的焦点为（ 2， 0）；则双曲线的左顶点为（ -2， 0），即a=2；点（ -2， -1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 ，由双曲线的性质，可得 b=1；则 c= ，则焦距为 2c= ；故选 A 考点： 1双曲线的简单性质； 2直线与圆锥曲线的关系 在 的二项展开式中，常
4、数项为（ ） A 1024 B 1324 C 1792 D -1080 答案： C 试题分析：设第 r项是常数项，所以 ，所以，所以常熟项为 ，故选 C 考点：二项式定理 在 中，内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c ，若，则 B=（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 答案： A 试题分析： ， a= c， ， cosB=， B=30，故选 A 考点：余弦定理的应用 已知等差数列 的公差为 2，若前 17 项和为 ，则 的值为（ ） A -10 B 8 C 4 D 12 答案： B 试题分析：解： 等差数列 an的前 17项和为 S17=34 ， a1+a17=4，
5、 a1+a17=2a9 a9=2，等差数列 的前 17项和为 S17=34， a12=a9+（ 12-9） 2， a12=8，故答案：选 B 考点： 1等差数列的前 n项和； 2等差数列的通项公式 将函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1个单位，得到函数 g（ x）的图象，则 g（ x）的式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数，再向下平移 1个单位，得到函数的图象，则 g（ x）的式为 故选B 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，视图可以是，则该几何体的俯视图可
6、以是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知当俯视图是 C时，即每个视图是变边长为 1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是 1，注意到题目体积是 ，知其是立方体的一半，可知选 A 考点：简单空间图形的三视图 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 试题分析：第一次运行 S= ， k=2；第二次运行 S= ， k=3；第三次运行S= ， k=4；第四次运行 S= ， k=5故选 C 考点：程序框图 已知条件 p: ，条件 q: ,且 q是 p的充分而不必要条件，则 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分
7、析： 条件 p： ，条件 q： x 2，且 q是 p的充分而不必要条件， q p， p q，即 a2且 解不等式组可得： a1故选： B 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 已知 ，则 A可以是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， A （ B C），故集合 A= ，故选 D 考点：集合的交集、子集运算 填空题 若数列 满足 ，则该数列的前 2014 项的乘积 答案： -6 试题分析：由递推关系式，得 是以 4为循环的一个数列由计算，得 ， 故答案：为： -6 考点：数列递推式 若动直线 x =a 与函数 和 的图像分别交于M ， N 两点 , 则 的最大值为 答案： 试题分
8、析： ，所以则 时， 的最大值为： 故答案：为： 考点： 1二倍角的余弦； 2二倍角的正弦； 3三角函数的最值 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题： 若 ，则l m ； 若 ，则 l m； 若 l m,则 ； 若 l m，则 其中正确命题序号是 答案： 试题分析：直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，当 有 l m，故 正确；当 有 l m或 l与 m异面或相交，故 不正确；当 l m有 ，故 正确；当 l m有 或 ，故 不正确；综上可知 正确，故答案：为： 考点：平面的基本性质及推论 已知 x， y满足不等式组 ，则目标函数 的最大值为_ 答案： 试题分析：由约束条件 作
9、可行域如图， 由 z=2x+y，得 y=-2x+z，由图可知，当直线 y=-2x+z过可行域内的点 B（ 2， 2）时，直线在 y轴上的截距最大，即 z最大 z=22+2=6故答案 ：为： 6 考点：简单线性规划 解答题 已知 中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边， （ 1）求 cos A的值； （ 2）若 的面积为 ，求 b ， c 的长 答案：（ 1） ;（ 2） 或 试题分析：（ 1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由 sinB不为 0求出 cosA的值即可；（ 2）由 cosA的值求出 sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知
10、面积与 sinA的值代入求出 bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把 a， cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把 bc的值代入求出 b+c=5，联立求出 b与 c的值即可 试题：解：（ 1）由正弦定理得： （ 2）由题意得： ，即： 由余弦定理得： 联立上述两式 ,解得： 或 考点：正弦定理 （本小题满分 12分） 已知数列 是公差大于零的等差数列，数列 为等比数列，且（ 1）求数列 和 的通项公式 （ 2）设 ，求数列 前 n项和 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）设数列 的公差为 d（ d 0），数列 的公比为 q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通
11、项公式得答案：；（ 2）把数列 和 的通项公式代入 ，然后直接利用错位相减法求数列 前 n项和 试题：解：（ 1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 由已知得： ，解得： 因为 ，所以 ， 即 （ 2） （ 2） -（ 1）得： 考点： 1数列的求和； 2等差数列的性质 一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40名学生的成绩分组：第 1组 75,80），第 2组 80,85），第 3组 85,90），第 4组 90,95），第 5组 95,100），得到频率分布直方图如图所示： （ 1）分别求成绩在 第 4， 5组的人数； （ 2）若该经理决定在笔试成绩较高的第
12、3， 4， 5组中用分层抽样抽取 6名进入面试， 已知甲和乙的成绩均在第 3组，求甲和乙同时进入面试的概率； 若经理决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受考官 D的面试，设第 4组中有 X名学生被考官 D面试，求 X的分布列和数学期望 答案：（ 1） 8人， 4人 ;（ 2） ， 试题分析：（ 1）根据频率分布直方图求出第 4， 5组的学生人数；（ 2） 求出第 3组学生人数，再求第 3、 4、 5组各抽取的人数，即可求出第 3组甲、乙同时进入面试的概率； 求出 X的可能取值，计算 X的 分布列与数学期望 试题：解（ 1）第 4组学生人数为 ，第 5组人数为所以第 4， 5组的学生人数分别
13、为 8人， 4人 （ 2） 因为第 3组学生人数为 ，所以第 3， 4， 5中抽取的人数分别是 3人， 2人， 1人，则甲，乙同时进入面试的概率为 由 知， X的可能取值为 0， 1， 2 所以 X分布列为 X 0 1 2 P 考点： 1频率分布直方图； 2离散型随机变量及其分布列； 3离散型随机变量的期望与方差 一个多面体的直观图及三视图如图所示 ,其中 M , N 分别是 AF、 BC 的中点， （ 1）求证： MN / 平面 CDEF ； （ 2）求二面角 A-CF-B 的余弦值； 答案：（ 1）详见 ;（ 2） 试题分析：（ 1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE
14、-BCF，且 AB=BC=BF=4， DE=CF= ， CBF=90，由此能证明 MN 平面CDEF（ 2）（法一）作 BQ CF于 Q，连结 AQ，由已知得 AB 面 BCF，AB CF， BQ CF， AQB为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角 A-CF-B的余弦值 （ 2）（法二）：以 EA， AB， AD所在直线为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A-CF-B的余弦值 试题：解（ 1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且 AB=BC=BF=4,DE=CF= , ,连结 BE, M在 BE上，连结 CE EM=BM
15、,CN=BN, 所以 ,所以 平面 （ 2）方法一：作 BQ CF于 Q，连结 AQ， 面 BFC 面 ABFE，面 ABFE面 BFC=BF， AB 面 ABFE， AB BF， AB 面 BCF， CF 面 BCF， AB CF， BQ CF， ABBQ=B， CF 面 ABQ， AQ 面 ABQ， AQ CF， AQB为所求的二面角的平面角，（ 8分） 在 Rt ABQ中， tan AQB= ， cos AQB ， 二面角 A-CF-B的余弦值为 （ 2）方法二：以 EA,AB,AD所在直线为 x轴 ,y轴 ,z轴建立空间直角坐标系， 所以 面 CBF法向量为 设面 ACF法向量为 ，
16、取 ，所以 设二面角 为 ， 考点： 1用空间向量求平面间的夹角； 2直线与平面平行的判定 已知椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点（ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）问是否存在直线 y=-x+m，使 直线与椭圆交于 A, B 两点，满足 ,若存在求 m 值，若不存在说明理由 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）利用椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点 ，建立方程，求出 a， b，即可求椭圆 E的方程；（ 2）直线y=-x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合 OA OB ，即可求 m值 试题：解（ 1）由题意： 且 ，又 解得： ，即：椭圆 E的方程为 （ 2）设 （ *） 所以
17、由 得 又方程（ *）要有两个不等实根， m的值符合上面条件，所以 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 已知函数 （ 1）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在 x=1处的切线方程； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得，求 a的取值范围 答案：（ 1） ; （ 2）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （ 3） 试题分析：（ 1）把 a的值代入 f（ x）中，求出 f（ x）的导函数，把 x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线 y=f（ x）在 x=1处的切线方程；（ 2）求出 f（ x）的导函数，分 a大于等于 0和 a小于 0两
18、种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（ 3）对任意 ，均存在，使得 ，等价于 ，分别求出相应的最大值，即可求得实数 a的取值范围 试题：解：（ 1）由已知 ， ，所以斜率 ， 又切点 ，所以切线方程为 ），即 故曲线 在 处切线的切线方程为 。 （ 2） 当 时，由于 ，故 ， ，所以 的单调递增区间为 当 时，由 ，得 在区间 上， ，在区间 上， ， 所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （ 3）由已知，转化为 ，所以由（ 2）知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意 （或者举出反例：存在 ，故不符合题意） 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 的极大值即为最大值， ， 所以 ， 解得 考点： 1利用导数研究曲线上某点切线方程； 2利用导数研究函数的单调性；3利用导数求闭区间上函数的最值
