1、2015届广东省惠州一中等六校高三 8月联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 0,2,故选 B. 考点 : 集合交集运算 定义在 R上的奇函数 和定义在 上的偶函数 分别满足， ，若存在实数 ，使得成立，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：当 时， 0 1， 是奇函数， 的值域为 -1,1， 要使存在实数 ，使得 成立 ,则 -1 = 1，解得或 ，故选 B. 考点 : 函数的奇偶性；指数函数的图像性质；对数函数的图像性质、幂函数图像与性质；数形结合思想 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
2、（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 = ，由题知， ，解得 A=1,B=0,49，故选 C. 考点 : 等差数列前 n项和公式 已知 ， ，且 与 垂直，则 与 的夹角是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 与 垂直知， = =0，解得 =-18， 与 的夹角余弦值为 = =- ，所以 与 的夹角为 ，故选 D. 考点 : 平面向量垂直；平面向量的数量积 已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 ： ，平移直线 ，由图知，当直线 ： 过点 A时， z取最小值，解得 A（ ， ），故
3、=-14，故选 A. 考点 : 简单线性规划 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图知该几何体是底面为两直角边分别为 ， 1 的直角三角形，高为 直三棱柱，其体积为 = ，故选 D. 考点 : 简单几何体三视图；棱柱的体积 “平面向量 平行 ”是 “平面向量 满足 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为当 反向时， ；若平面向量满足 ，因为 = ，所以 =1，所以 =0，所以 通项，即 平行，所以 “平面向量 平行 ”是 “平面向量 满足”的必要
4、非充分条件，故选 B. 考点 : 平面向量的数量积；平面向量共线；充要条件 圆 上的点到直线 的距离最大为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题知圆心为（ 1,1），半径为 ，圆心到直线 的距离为 = ，所以圆上点到该直线的距离的最大值为 = ，故选 C. 考点 : 点到直线距离公式；圆的标准方程；转化思想 函数 （ 且 ）的定义域是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：要使式子有意义，则 ，解得 ，故选 A. 考点 : 对数函数定义域；指数函数图像与性质 已知复数 的实部是 ，虚部是 ，则 （其中 为虚数单位）在复平面对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限
5、D第四象限 答案： C 试题分析：由题知 z=-1+2i， = = ，在复平面对应的点坐标为（ -2， -1），在第三象限，故选 C. 考点 : 复数的运算；复数的几何表示 填空题 如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上异于 的点， ， 垂足为 .若 ， ，则半圆 的面积为 答案： 试题分析：设半圆 O 的半径为 r,则 AB=2r,因为 是半圆 上异于 的点， ， = =（ 2r-2） 2r， ，解得 r=3，所以半圆 的面积为 . 考点 : 射影定理；圆周角定理；圆的面积公式 在极坐标系中，直线 = 与圆 相切于极轴上方， 则 答案： 试题分析：直线 = 化为直角坐标方程为 ，圆 化为直角坐
6、标方程为 ，即 ，圆心为（ 2,0），半径为 2，由题知， =2. 考点 : 极坐标方程与直角坐标方程互化；直线与圆的位置关系 若不等式 对任意的 恒成立， 则 的最大值是 答案： 试题分析： ， ， = =5+5+ =5+4=9，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 9，所以 9，所以 的最大值为 9. 考点 : 基本不等式；转化与化归思想 .阅读右面的程序框图 .若使输出的结果不大于 31，则输入的整数 的最大值为 答案： 试题分析：经过第一次循环得到 S=2， n=1， 经过第二次循环得到 S=4， n=2， 经过第三次循环得到 S=8， n=3， 经过第四次循环得到 S=16，
7、 n=4， 经过第五次循环得到 S=32， n=5， 输出的结果不大于 31 n的最大值为 4 i的最大值为 5. 考点 : 程序框图 已知 中，角 . . 的对边分别为 . . ，且 ， ，则 答案： 试题分析：由题知， 4= = = ，解得 = ,= =52，所以 . 考点 : 三角形面积公式；余弦定理 解答题 已知函数 的最大值是 2，且 （ 1）求 的值； （ 2）已知锐角 的三个内角分别为 ， ， ，若，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先由辅助角公式将 化为一个的三角函数，利用最大值为 2求出 A，再利用 列出关于 的方程，解出 的值；（ 2）由（ 1）可得的
8、式，由 可求得 和 ，再由同角三角函数基本关系式求出 ，将 2C代入 将 用 C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将 化为 A， B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为 A,B的三角函数，即可求出 . 试题：（ 1） 函数 的最大值是 2， ， 2分 又 ， 4分 （ 2）由（ 1）可知 6分 ， 8分 ， 10分 12分 考点 : 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力 某体育杂志针对 2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查 “各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系 ”，在所有参与调查的人中，持 “有关系 ”“无关系
9、”“不知道 ”态度的人数如表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含 40岁） 100 150 300 （ 1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n个人，已知从持 “有关系 ”态度的人中抽取 45人，求 n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数； （ 2）在持 “不知道 ”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5人看成一个总体，从这 5人中任选取 2人，求至少一人在 40岁以下的概率 . 答案：（ 1） 100， 30,25；（ 2） 试题分析：（ 1）根据分层抽样是按比例抽样，由（ 800+100） /45为抽样比例，全部参与调查的人数乘
10、以抽样比例就是应抽取的人数 n，持无关系人数与不知道人数分别乘以抽样比例就是正两层应抽取的人数；（ 2）先由参与调查中持不知道态度的人数与抽取人数计算出抽样比例，再求出此层中 40以上与 40以下应抽取的人数，将被抽取的人出来，列出任取两人的所有情况，找出 2人中至少一人在 40岁以下的情况数，根据古典概型公式即可求出所求事件的概率 . 试题：（ ）由题意，得 2分 从持 “无关系 ”态度的人中，应抽取 人 3分 从持 “不知道 ”态度的人中，应抽取 人 4分 （ ）设所选取的人中，有 m人在 40岁以下，则 ，解得 m=2. 6分 就是 40岁以下抽取了 2人，另一部分抽取了 3人，分别记作
11、 则从中任取 2人的所有基本事件为共 10个 9分 其中至少有 1人在 40岁以下的基本事件为 共 7个 11分 记事件 “选取 2人中至少一人在 40岁以下 ”为 ,则 所以选取 2人中至少一人在 40岁以下的概率为 12分 考点 : 分层抽样；古典概型；应用意识 如图，直角梯形 中， , ,平面 平面 , 为等边三角形， 分别是 的中点， . (1)证明： ; (2)证明： 平面 ; (3)若 ,求几何体 的体积 . 答案：（ 1）由 为等边三角形， 是 的中点知 ，由平面平面 及面面垂直性质定理知， 平面 ，再由线面垂直定义得 EF CD；（ 2）取 AE的中点 G，连结 MG， DG，
12、因为 M是 BE的中点，所以 MG 且等于 AB的一半，又因为 AB CD且 AB= ， ，所以 DN 平行且等于 MG，所以 MGDN 是平行四边形，所以 MN DG，由线面平行的判定定理可得 MN 面 ADE；（ 3）由（ 1）知 EF 面 ABCD，所以 EF是四棱锥 E-ABCD的高，由 BEC为正三角形， BC=2，可求得 EF 的长，由题知 ABCD为直角梯形， AB BC， AB=1， BC=2，所以 DC=2AB=2，可求出底面 ABCD的面积，所以四棱锥 D-ABCD的体积就等于 . 试题分析：（ 1）（ 2）（ 3） 试题 ： (1)证明： 为等边三角形， 是 的中点 1分
13、 又因为平面 平面 ，交线为 , 平面 根据面面垂直的性质定理得 平面 ; 3分 又 平面 4分 (2)证明：取 中点 G，连接 ,且 6分 , ,且 8分 四边形 是平行四边形 9分 又 平面 已知各项均为正数的等差数列 满足： ，各项均为正数的等比数列 满足： ， . （ 1）求数列 和 的通项公式； （ 2）若数列 满足： ，其前 项和为 ，证明 . 答案：（ 1） ；（ 2）见 试题分析：（ 1）设出等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q，根据已知条件及等差数列和等比数列的通项公式列出关于 ， ，通过解方程组解出 ， ，即可根据等差数列、等比数列通项公式写出数列 ，的通项公式；
14、（ 2）由（ 1）知数列 与数列 的通项公式，即可求出的通项公式，由通项公式知，数列 是等差数列与等比数列对应项的乘积构成的数列，其和用错位相减法 . 试题：（ 1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有解得 , ， 4分 所以 ， 6分 （ 2） 7分 ， ， - 得 ， 11分 又因为 ，所以 ，所以 13分 综上 得证 . 14分 考点 : 等比数列通项公式；等差数列通项公式；错位相减法；方程思想 已知抛物线 C: 与直线 相切，且知点 和直线，若动点 在抛物线 C上（除原点外），点 处的切线记为 ，过点且与直线 垂直的直线记为 . （ 1）求抛物线 C的方程； （ 2）求证：直线 相
15、交于同一点 . 答案：（ 1） ；（ 2）见 试题分析：（ 1）将抛物线 C的方程与直线 联立化为关于 的一元二次方程，由直线 与抛物线 C相切知，上述一元二次方程的判别式等于 0，列出关于 的方程，解出 值，即可求 出抛物线 C 的方程，注意根据 的范围，对 的值要取舍；（ 2）设出 P点坐标，利用导数求出抛物线 C在点 P的切线m的方程，将直线 m的方程与直线 的方程联立，求出交点坐标，利用直线 n与直线 PF垂直，用 p点坐标把直线 n的斜率表示出来，求出直线 n的方程，将上述交点坐标代入直线 n的方程，满足即证明三线共点 . 试题：（ 1）联立 消去 得 因为抛物线 C与直线 相切，所
16、以 3分 解得 （舍）或 4分 所以抛物线的方程为 5分 （ 2）证明：由 得 ，求导有 6分 设 ，依题其中 ，则 处的切线方程为： 切线方程 8分 与直线 联立得： ，即直线 相交于 9分 直线 的斜率为 因为 与直线 垂直，所以 11分 因为 过点 ，所以 相关试题 2015届广东省惠州一中等六校高三 8月联考文科数学试卷（带） 已知函数 和 （ 1）若函数 在区间 不单调，求 的取值范围； （ 2）当 时，不等式 恒成立，求 的最大值 . 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）求出 的导数，因为 的导函数是二次函数，二次项系数为 3k，故需要分类讨论其单调性，求出不同情况下的单
17、调区间，让一个单调区间的分界点落在区间（ 1,2），列出关于 k的不等式组，即可解出 k的取值范围； (2)要使当 时，不等式 ，即 恒成立，构造函数 = ，转化为求使 0对 x0恒成立问题 ,利用导数研究函数 的图像与性质，即可求出是 0恒成立在 x0上恒成立时，k的取值范围 . 试题：（ 1） 1分 当 时， ，所以 在 单调递减，不满足题意； 2分 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ， 因为函数 在区间 不单调，所以 ，解得 4分 综上 的取值范围是 . 5分 （ 2）令 依题可知 在 上恒成立 6分 ，令 = ， 有 且 7分 当 即 时， 因为 ，所以 所以函数 即 在 上单调递增，又由
