1、2015届河南省八校高三上学期第一次联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析： = ， = 考点：集合的交、并、补集运算 . 函数 ，则函数的零点所在区间是（ ） A B C D（ 1,2） 答案： C 试题分析： 函数 在（ 0， +）上是连续的，且函数在（ 0， +）上为增函数，故函数 在（ 0， +）上至多有一个零点，又由 ，故函数的零点所在的区间是，故选： C. 考点：函数零点的判定定理 已知函数 的两个极值 分别为 和 .若 和 分别在区间（ -2,0）与（ 0,2）内，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： D
2、试题分析：求导函数可得 ，依题意知，方程 有两个根，且 ， 等价于 满足条件的（ a， b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为 ， 表示（ a， b）与点（ 1， 2）连线的斜率，由图可知故 A点的斜率为 ，过 B点的斜率为 ，过 C点的斜率为 ， 的取值范围为故选 D 考点：利用导数研究函数的单调性 中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线，一条渐近线方程是 ，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意 ， ， ，故选： D 考点：双曲线的简单性质 设 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， 故选： A 考点：不等式比较大小 已知函数
3、 是 R上的可导函数， 的导数 的图像如图，则下列结论正确的是 ( ) A a, c分别是极大值点和极小值点 B b， c分别是极大值点和极小值点 C f(x)在区间（ a， c）上是增函数 D f(x)在区间（ b， c）上是减函数 答案： C 试题分析：对于 A，在 x=a处导数左负右正，为极小值点，在 x=c处导数左正右正，不为极值点，故 A错；对于 B，在 x=b处导数不为 0，在 x=c处导数左正右正，不为极值点，故 B错；对于 C， f（ x）在区间（ a， c）上的导数大于 0，则 f（ x）在区间（ a，c）上是增函数，故 C对； 对于 D， f（ x）在区间（ b， c）上的
4、导数大于 0，则 f（ x）在区间（ b， c）上是增函数，故 D错故选 C 考点：利用导数研究函数的单调性 某程序框图如右图，当输 x=3时，则输出的 y=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 答案： A 试题分析：执行程序框图，有 x=3不满足条件 x0，第 1次执行循环体， x=x-1=2，不满足条件 x0，第 2次执行循环体， x=x-1=1，不满足条件 x0，第 3次执行循环体，x=x-1=0，满足条件 x0，退出执行循环体， y=1,输出 y的值为 1，故选： A 考点：程序框图 已知等差数列 中， 是前 n项和 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 等差数列 中，
5、 是前 n项和， ， ， ， 故选： C. 考点：数列的求和 已知向量 ，若 ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：， 故选 B 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为 2，底面圆的半径为 1，故其表面积为故选： B. 考点：由三视图求面积、体积 设 为实数，则 “ 是 ”的（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要条件 D既不充分又不必要 答案： A 试题分析：若 ，
6、则 ，即 出成立若 则， 或 ，所以 “ 是 ”的充分不必要条件故选： A. 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知： ，所以 =-5，故选 B. 考点：复数的代数形式乘法运算 . 填空题 已知下列 5个命题，其中正确的命题 _（写出所有正确命题的代号） 函数 ， x 1,4的最大值是 4. 底面直径和高都是 2的圆柱侧面积，等于内切球的表面积 ; 在抽样过程，三种抽样方法抽取样本时，每个个体被抽取的可能性不相等； 是椭圆 的两个焦点，过 点的弦 , 的周长是； “ ”的否定， “ ”
7、答案： 试题分析： ， x 1， 4，由双钩函数的性质可得， 在区间 1， 2上单调递减，在区间 2， 4上单调递增， ，故 ，故 错误； 圆柱的底面直径和高都是 2，故其底面圆的半径为 1，内切球的半径也是 1，其侧面积 ，该圆柱的内切球的表面积 ，故 正确； 在抽样过程中，三种抽样方法抽取样本时，每个个体被抽取的可能性相等，故 错误； 是椭圆 的两个焦点，过 点的弦 ，由椭圆的定义知， ABF2的周长是 ，故 错误确； “ ”的否定为： “ ”，故 正确综上所述， 正确，故答案：为： 考点：命题的真假判断与应用 若函数 在 0， +）上单调递增，则实数 a的取值范围是 . 答案： 试题分析
8、：函数 ， ， f（ x）在 0， +）上单调递增，当 时， ， ；当 时， ， 综上可得， ，故答案：为： 考点： 1.带绝对值的函数； 2.函数单调性的判断与证明 已知数列 中， 是前 n项和， ，则数列的通项 = . 答案： 试题分析： 数列 中， 是前 n项和， ， ，解得， 时， ， ， 是首项为-1，公比为 2的等比数列， 考点：数列递推式 若函数 y=f(x)的值域是 1， 3，则函数 的值域是 . 答案： 试题分析： ， ， ， ，即 的值域为 考点：函数的值域 解答题 已知圆 C的极坐标方程为 ，直线 l的参数方程为 （ t为常数，t R） （ ）求直线 l的普通方程和圆 C
9、的直角坐标方程； （ ）求直线 l与圆 C相交的弦长 . 答案：（ ） ;（ ） . 试题分析：（ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，进行代换即得圆的直角坐标方程；（ ）利用点到直线的距离公式求出圆心 C到直线 的距离 ，由垂径定理及勾股定理即可求出弦长 试题：解：（ ）由 为参数 消去参数得， 直线 的普通 方程为 3分 把 代入 中得， 圆 C的直角坐标方程为 5分 （ ）圆心 到直线的距离 8分 由弦长公式得，弦长为 10分 . 考点： 1.参数方程化成普通方程； 2.直线与圆的位置关系 如图， D,E分别为 ABC的边 AB， AC上的点，且不与 ABC的顶点重合，已知 AE的长
10、为 m， AC的 长为 n， AD,AB关于 x的方程 的两个根 . （ ）证明： C、 B、 D、 E四点共圆； （ ）若 A=90，且 m=4， n=6，求 C、 B、 D、 E所在圆的半径 . 答案：（ ）详见 ;（ ） . 试题分析：（ I）做出辅助线，根据所给的 AE的长为 m， AC的长为 n， AD， AB的长是关于 x的方程 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论（ II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取 CE的中点 G， DB的中点 F，分别过 G， F作 AC，AB的垂线，两垂线相交于 H点，连接 DH，
11、根据四点共圆得到半径的大小 试题：解：（ ）连结 ， 根据 题意在 和 中， ，即 又 ，从而 因此 所以 四点共圆 5分 （ ） 时，方程 的两根为 故 ， 取 的中点 ， 的中点 ，分别过 作 的垂线，两垂线相交于 点，连结 因为 四点共圆，所以 四点所在圆的圆心为 ，半径为 ，由于 ，故 ， 从而 ， 故 四点所在圆的半径为 10分 . 考点： 1.正弦定理； 2.圆的标准方程 已知函数 ，其中 a R， （ ）若 a=0，求函数 f（ x）的定义域和极值； （ ）当 a=1时，试确定函数 的零点个数，并证明 . 答案：（ ） 且 ；函数 有极小值 ;（ ）函数 存在两个零点 . 试题分
12、析：（ ）由分母不为 0，求出函数的定义域，利用导数的正负性，求出函数的单调区间，从而求出极值；（ ）利用导数求出函数的单调区间，知函数是先增后减再增的，又极大值为 0，极小值小于 0，从而判断函数有两面个零点 . 试题：解：（ ）函数 的定义域为 且 ， 2分 令 ，得 当 变化时， 和 的变化情况如下： - - 极小 所以 的单调减区间为 ， ；单调增区间 故当 时，函数 有极小值 . 5分 （ ）结论：函数 存在两个零点证明过程如下：由题意，函数 因为 所以函数 的定义域为 求导，得 ， 7分 令 ，得 ， ，当 变化时， 和 的变化情况如下： 极大 极小 故函数 的单调减区间为 ；单调
13、增区间为 ， 当 时，函数 有极大值 ； 当 时，函数 有极小值 . 10分 因为函数 在 单调递增，且 ，所以对于任意 ，. 因为函数 在 单调递减，且 ，所以对于任意 ， . 因为函数 在 单调递增，且 ， ， 所以函数 在 上存在唯一 ，使得 ， 故函数 存在两个零点（即 和 ） . 12分 . 考点： 1.利用导数研究函数的极值； 2.函数的定义域及其求法 已知抛物线 ，过点 P(0， 2)作直线 l，交抛曲线于 A,B两点， O为坐标原点， （ ）求证： 为定值； （ ）求三角形 AOB面积的最小值 . 答案：（ ）详见 ;（ ） . 试题分析：（ 1）由抛物线的方程与直线 的方程
14、联立，得出根与系数的关系，再利用数量积 即可证明；（ 2）根据 ，表示出面积的式，从而求出最小值 试题：证明：（ ）设过点 的直线 ： ， 由 得， 令 ， 4分 为定值 6分 解：（ ）由（ ）知， ，原点到直线 的距离 10分 当 时，三角形 面的最小，最小值是 12分 . 考点：直线与圆锥曲线的关系 已知矩形 ABCD,ED 平面 ABCD， EF/DC EF=DE=AD= =2， O为 BD中点 . （ ）求证： EO/平面 BCF； （ ）求几何体 ABCDEF的体积 . 答案：（ ）详见 ;（ ） . 试题分析：（ ）取 的中点 ，连接 ，可证得： 为平行四边形，即 ，进而运用线面
15、平行的判定定理，即可得证；（ ）将多面体分割成棱锥 和 ，进而运用三棱锥的体积公式即可得到体积 试题：证明：（ ）在矩形 ABCD中，取 BC的中点 G，连接 FG， OG 由 O为 BD中点知， OG DC， OG= DC，又 EF DC， EF= AB= DC OG EF且 OG=EF， OGFE是平行四边形， 4分 EO FG，又 FG 平面 BCF， EO 平面 BCF 6分 解：（ ）连接 AC， AF，则几何体 ABCDEF的 体积为 7分 由 ED 平面 ABCD， ABCD为矩 形得， AD 平面 EDCF， AD是四棱锥 的高， 又 EF DC， EDCF是直角梯形，又 EF
16、=DE=AD= AB=2， 9分 在三棱锥 中，高 ED=2， 11分 几何体 ABCDEF的体积为 12分 . 考点： 1.直线与平面平行的判定； 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为 1， 2,3， 4， 5， 6的概率依次记为， ，经统计发现，数列 恰好构成等差数列， 且 是 的 3倍 . （ ）求数列 的通项供式； （ ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否者乙获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平，请说明理由； （ ）甲、乙丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试
17、在下面的表格中列举出两种可能的方案（不必证明） 方案序号 甲胜出对应点数 乙胜出对应点数 丙胜出对应点数 答案：（ ） ;（ ）不公平 ;（ ）详见 . 试题分析：（ ）设数列 的公差为 ，由 是 的 3倍及概率的性质，得到方程，解方程，继而求得通项公式（ ）分别求出甲乙的概率，然后比较即可（ ）根据投掷的点数写出所有的可能即可 试题：解：（ ）设数列 的公差为 ，由 是 的 倍及概率的性质，有，解 ， 故 . 4分 （ ）不公平，甲获胜的概率 ，乙获胜的概， 二者概率不同，所以不公平 8分 （ ）（共 6种可能，答出任意 2种即可） 甲获胜对应点数 乙获胜对应点数 丙获胜对应点数 1， 6
18、2， 5 3， 4 1， 6 3， 4 2， 5 2， 5 3， 4 1， 6 2， 5 1， 6 3， 4 3， 4 1， 6 2， 5 3， 4 2， 5 1， 6 考点： 1.互斥事件的概率加法公式； 2.古典概型及其概率计算公式 设 ABC的内角 的对边分别为 且 （ ）求角 A的值； （ ）当角 A钝角时，求 BC边上的高 . 答案：（ ） 或 ;（ ） . 试题分析：（ ）利用三角形面积公式列出关系式，把 以及已知面积代入求出的值，即可确定出角 的值；（ ）由 A的度数确定出 的值，再由 与的值，利用余弦定理求出 a的值，利用三角形面积公式求出 BC边上的高 h即可 . 试题：解：
19、（ ）由题设 和 得， 4分 或 . 6分 （ ）由已知 7分 由余弦定理得， ， 10分 设 边上的高为 ，由三角形面积相等得， 12分 . 考点： 1.余弦定理； 2.三角形的面积公式 设函数 . （ ）求函数 y=f（ x）的最小值 （ ）若 恒成立，求实数 a的取值范围 . 答案：（ ） ;（ ） . 试题分析：（ 1）去绝对值，分三段： 写出表达式，判断各段的单调性，得到最小值；（ 2）令 ，画出 的图象，通过直线绕点 旋转观察，即可得到 的取值范围 试题：解：（ ）由题意得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以时， 取得最小值，此时 . 5分 （注：画出函数 的图像，得到 的最小值也可以） （ ）由 的图像恒过点 及函数 的图像 可知 . 10分 . 考点：分段函数的应用
