1、2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（B 卷） 一 、 填空 题 ：本 大 题共 8 小题 ， 每小 题 8 分， 满分 64 分 1 设集合 2 0 1 8 A ， ， ， ， 2 | B a a A 则AB 的所 有元素 之和是_ 2 己知圆锥的顶点为 P ， 底 面半 径 长为 2 ， 高 为 l ， 在 圆锥 底 面上 取 一点 Q ， 使得 直线 PQ 与 底面所成角不大于 45 ， 则满 足 条件 的 点 Q 所构 成 的这 域 的面 积 为_ 3 将 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 随机 排 成一 行 ，记为 a ， b ， c ， d ， e ， f ，则abc def
2、是 奇数 数的概率 为_ 4 在平 面直 角坐 标 系 x O y 中， 直线 l 通 过原 点 ， (3,1) n 是 l 的一 个 法向量， 己 知数 列 n a 满 足：对任意正整数 n ， 点 1 ( , ) nn aa 均在 l 上若 2 6 a 则 1 2 3 4 5 aa a a a 的 值为_ 5 设 ， 满足 tan 3 3 ， tan 5 6 则 tan 的 值 为_ 6 设抛物线 2 :2 C y x 的准线与 x 轴交 于点 A ， 过点() 10 B ， 作 一直 线 l 与抛 物 线 C 相切于点 K ， 过点 A 作 l 的平行线 ， 与抛物线 C 交于点 M ，
3、 N ，则 K M N 的面 积为 7 设 () fx 是定义在 R 上的 以 2 为周 期的 偶 函数 ， 在区 间0,1 上严 格递 减 ，且 满 足 () 1 f ， (2 ) 1 f ，则不等式组 12 1 ( ) 2 x fx 的解集为_ 8 己知复数 1 z ， 2 z ， 3 z 满足 1 2 3 1 z z z ， 1 2 3 1 z z z 其中 r 是 给定 实 数 ， 则 3 12 2 3 1 z zz zzz 的实部是_（ 用 含有 r 的 式子 表 示） 二 、 解答 题 ：本 大 题共 3 小 题 满分 56 分 解答 应写 出 文字 说 明、 证 明过 程 或演
4、算 步骤 9 （本 题 满分 16 分 ）己 知 数列 n a ： 1 7 a ， 1 2, 1, 2, 3, n n n a an a ，2 求满足 2018 4 n a 的 最小正整数 n 10（ 本 题满分 20 分） 己 知定 义 在 R + 上的函数 f x 为 3 | log 1|,0 0 = 4 , 9 xx f x x x 设 a, b ,c 是 三 个互 不相 同的 实 数， 满 足 ( ) ( ) ( ) f a f b f c ， 求 abc 的取 值范 围 11（ 本 题满分 20 分）如 图所示 ， 在平面 直角 坐标系 x Oy 中， A ，B 与 C 、 D 分别
5、是椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab ： 的左 、右顶点与上、下顶 点，设P ， Q 是 上且 位于 第 一象限的两点 ， 满足 / OQ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭 圆交 于 点 R 证明：线段 OQ ，OR ，BC 能构 成一 个直 角 三角 形 R A B C D O P Q M x y2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题 （B 卷） 一、 （本题满分 40 分 ） 设 a , b 是实 数 ，函 数 9 () f x ax b x 证明： 存在 0 1,9 x ，使得 0 ( ) 2 fx 二、 （本题满分 40 分 ） 如图 所示 ， 在 等
6、腰 A B C 中 ， AB = AC ， 边 A C 的上 一 点 D 及 B C 延长线 上一 点 E 分 满足 2 AD BC DC CE ，以 A B 为直径的 圆 与 线段 D E 交于 一 点 F 证明： B ， C ，F ， D 四点共圆 （ 答题 时请 将 图画 在 答卷 纸 上 ） 三、 （本题满分 50 分 ） 设 集合 1,2, , An ， X ， Y 均为 A 的 非空 设 空子 集 （允 许 X = Y ） X 中的最大元与 Y 中的 最小 元分 别 记为 max X ， min Y 求满足 max X min Y 的有 序集 合对 （X , Y ） 的数目 四、
7、（本题满分 50 分 ） 给定 整数 2 a . 证明： 对任意正整数 n ， 存 在正 整 数 k ， 使得 连 续 n 个 数 1 k a ， 2 k a ， ， k an 均是合数 A B C E D F2018年全国高中数学联合竞赛一试（B卷 参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次结分，不得增加其他中间档次 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次，第10、 11小题5分为 一 个档次，不得增加
8、其他中间档次 一、填空题：本大题共8小题 ，每小题8分，满分64分 1.设集合A=2,0,1，剖， B=2 A，贝!JAUB的所有元素之和是 一一一 答案：31. 解：易知 B = 4, 0, 2, 16，故A UB = 0, I, 2, 4, 8, 16. AUB 的所有元素之和 是0+1+2+4+8+16= 31 . 2.己知因锥的顶点为p，底面半径长12，高为I.在四锥底面上取 一 点 Q, 使得直线 PQ 与底面所成角不大于45 ，则满足条件的点Q所构成的区域的面积 为 答案： 3 作 解：因锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为 o. 由条件知， OP 一一 tanL.OQP三1
9、 ，即 OQ 主1， 故所求的区域面积为1f2 2 -?rl 2 : 3 何 OQ 3.将1, 2, 3, 4, 5, 6随机排成 一 行，记为， b,c,d,e,f ，则 bc+d 矿是奇数的概 率为 答案：古 解：当。 bc+d 旷为奇数时，。 be, def必为 一 奇 一 偶，若 be为奇数， 则。， b,c 为1,3, 5的拌列， d,e,J 为2,4,6的排列，这样有3！3!= 36种情况 由对称性可 72 72 1 知，满足条件的情况数为36 2=72种从而所求概率 为一 一一 一 6! 720 10 4.在平面直角坐标系 xOy 中，直线l通过原点， n= (3, 1）是l的
10、一 个法向 量己知数列J满足：对任意正整数 n，点（ 叫 ， a ，.， ） 均在l上若。 2 = 6，则 a 1 a,a J a 4 a ） 的值为 答案： 32. 解：易失日直线l的方程是 3x 十 y=O. 因此对任意正整数n，有 3 a11+1 +a11 =0 , 即 G叫 la ， ，故 J是以 1为公比的等比数列于是 3 = 1 a 2 = 2.曲等 3 比数列的性质可得， 1 a 2 3 句句 a;= (-2) 5 =-32 . I 7r I l作 l 5.设 ， 9满足 tan I 十 一 I= - 3, tan I (J 一一 1 = 5，则 tan（ (3 ） 的 值为一一
11、 一 一 l JJ l 6J 答 案 ： 一 ： “贷 1 (_ ri11 -3-5 4 解：由两角差的正切公式可知 tan I I 一 一 一 一 川 ， l l ) l 6) 1 + (-3）5 叶 一 叶 ？ ， 从而tan川 叫 叫 卅 ， 6.设抛物线C: y 2 =2x 的准线与x轴交于 点 A， 过 点 B （ 一 l,0）作 一 直线l与 抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点 M,N ，则6.KMN 的面积为 答案： .！. . 2 解：设直线l与 MN 的斜率为k，则l: x 土 y- 1, MN ：工 土 y_.! k k 2 将l与C联立，得方程 y
12、2 一 y+2=0 ，由条件知其判别式为零，如士王 。 2 k 将 MN 与C联立，得方程 y2 卡 1=0，于是 l （ yM+yN) 2 一 川 萨 2, 结合l与 MN 平行，可知 I I I I s C.KMN = s 11 阳w = ls11 削M -SLlBANl=- IABI I Y.11 -Y,v l 一一 2 一 2 2 2 2 7.设刀功是定义在R上的以2为周期的偶函数， 在区间l, 2上严格递减， IO x l 且满足！（作） = 1, /( 2 ） 0 ，则不 等式组！ 一一 的解集为 10 三f(x） 三l 答案： 2作 6 , 4一作 解：由 f(x） 为偶函数及在
13、l,2上 严格递减知， f(x） 在 2, -1上严格递增， 再结合 .f (x）以 2 为周期可知， O, I是f(x） 的严格递增区间 注意到 /(4 一 贺）= ！（贺 4) （汗）= l, f (2 6) = /(2 时 0 , 所以 o 二二 f(x）三1 仲 ！（却 一 6）三 f(x）三（4 的 ， 而02霄 64 霄 1, MO原 不等式组成立当且仅当 x （2何 一 6, 4一作 8己知复数Z 1 ，石，与满足lz1 I= lz2l= I 马l = L lz1 +Z 2 +Z 3l= r ，其中r是给定 实数，则三L主十三主的实部是 （用含有r的式子表示 答案： 于 解：记
14、W 三L十三主主 由复数模的性质可失 I Z 2 Z 3 Z 1 2 z, 一，Z 2 一，Z 3 = -, Z 1 Z2 Z3 因此 W= Z 1 2 毛毛 勾引 于是 r 2 = (z 1 十Z 2 + Z 3 ）（ 王三十三 ） = lz.1 2 十 lzJ + lz 3l 2 + w十二3 + 2Rew, 解得Rew 三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出立字说明、证明过 程或演算步骤 9 . （本题满分 16 分） 己知数列 a，： ， 7， 生土L = a， 十 2,n = 1, 2, 3, .求 满足a. 4 川 的最小正整数n. 解：由生土L ，2可知 G
15、川 1 （， 1) 2 .因此 ，2 ， l = (a 1 + 1 ) 2 时 82 ”I = 2 3x 2 “-1 , 故。”2 3烛 叫 一1 8分 显然a.单调递增由于 a11 = 2 3 01 2 1 2 喃36 = 4 20 1 ORI/OM, 而 i(c5P 词 ，阳在实数人 ，使得 OQ （OP-OA), OR= /.t(OP + OA) . . 5 分 此时点 Q,R 的坐标可分别表示是（Xo 的，Yo), ( x o 的， yo ）. 由于点 Q, R 都在椭圆上，所以 入 2 f马平二十 41= u 2 队 41=1. 1 旷 b I . I a b“ I 结合4 兰 l
16、知， 上式可化为 川 2 州 2 一 丛 l =l ， 解得 I 2x: .l I i 。 b I a I I ！ 因此 2 一 一 ， u 2 一L一 . . 10 分 2（ xo） 2（ Xo) 1aQ1 2 + IORl 2 = . 2 ( (xo十的 2 + y ）， 1 ( x o-a/+yi) ！ 一（ ( . r o 吵 2 + y） + ！ 一（(.xo 一时 2 十对） 2（ X 0 ) 2（ x o ) 一 （a+x0) , 句 号 ， （ Xo) y 二一一 2 2 （ x 0 ) 2 2 ( a -x 0 ) _ 2 , ayi I 1 , 1 I _ 2 曹 yJ 2
17、 一 一 一一 一 一 一一 2 l 十 句 X0 J - 2 2 - x i a 2 b 2 IL l 2 2 二x. ； “J =a z 十 b i = 1sc1 2 从而线段。 Q ， 侃，BC 能构成 一 个直角三 角形 扭扭扭扭扭扭扭扭20分说明： 2018年全国高中数学联合竞赛加试（B卷） 参考答案及评分标准 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为 一 个档次，不得增加其他中间档次 一、本题满分40分设 ， b是实数，函数 f(x)= ax+b+ 2.
18、. 证明：存在 X0 E l，坷， 使得l.f (xo)I 主 2. 证法1：只需证明存在u，叫1，町，满足 lf(u)-f伊）川，进而由绝对值不 等式得 lf( u ) l+ lf（叫主11 (u)- tc叫三4 , 故 1.rI 2，则 l/(I)I 2, I f (3)1 2, If (9)1 2 . . IO 分 易知 f ( l ) b+9, /(3) = 3 b+3， ! (9) = 9 b+l. 由， 得，2 6=f(2)-f(I ） ；又由，得，6 2= /(3)- /(2) . 由上述两式消去，可知 /(3) -4 /(2) + 3/(1) = ( 6a- 2) - 3 (2
19、 6 ) = 16. . 3 0 分 但！（3)-4/(2)+ 3/(1) 2+4 2 + 3 2 = 1 6 ，矛盾！从而命题得证 40分二、本题满分4 0分如图所示，在等腰 6ABC 中 ， AB=AC ， 边 AC 上 一 AD BC 点D及 BC延长线上 一 点E满扯一一 一一 ，以 AB 为直径的困与线段 DE交 DC 2CE 于 一 点 F. 证明 ： B,C ,F,D 四点共困（答题时请将图画在答卷纸上 E 证明： 取 BC中点H ， 则由 AB=AC知 AH J_ BC，放H在圆上 AG AD BC 延长 FD 至G，使得AGIIBC，结合己知条件得， 一一 一一 一一 ，故
20、CE DC 2CE AG= _ BC= BH = HC, 2 从而 AGBFJ 为矩形， AGHC ； 为平行四边形 E 由 AGBH为炬形知，G亦在困上故正 HGF HBF. 又 AGHC 为平行四边形，由 ACIIGH，得正CDF 正HGF. 20分 所以 . CDr HBF CBF ，故B CF D四点、央周 40分 三、（本题满分50分 设集合 A=l, 2， ， 叫， X,Y 均为A 的非空子集（允 许 X=Y ). X 中的最大元与 Y 中的最小元分别记为maxX, minY . 求满足 maxX minY的有序集合对（X, Y）的数目 解： 先计算满足 max X豆minf 的有
21、序集合对 （X,Y）的数目对给定的 m=ma xX，集合X是集合l, 2, . , m 一 l 的任意 一 个子 集与 m 的井， 故具有 2 ” 1 手中取法又minY主m，故Y是m , m+ I ， ，n的任意 一 个非空子集， 共有 2 叫1 ” 一 i 科 取 沽 ， 20分艺2 ” ， 1 ( 2 川 l) 艺2 一 艺 2 m I =n2 ” 一 2 ” l m=I 111=1 40 分 由于有序集合对 （X, Y） 有（2 ” 一 1) (2 ” 1) = (2 ” 1) 2 个，于是满足maxX min Y 的有序集合对（X ， 门的数目是 (2 一 1 ) 2 -n2 ” 2
22、“ -1 = 2 2” 2气n+ 1). 50 分 四、本题满分so 分）给定整数主2.证明：对任意正整数 n ， 存在正整数 k，使得连续n个数 a k +l, a k +2，旷 n均是合数 证明：设 i, 与 i，是1, 2 ， ， n 中与 互素的全体整数， 则对1三i 三二 n, i 冒 i ， ， ， i,， 无论正整数k如何取值， 旷i均与。不互素且大于a ，故旷i 为合数 . 10分 对任意 j = 1, 2， ， r ，因 i j 1， 故毛有素因子 p j . 我们有 （p j , a )=l （否则 ， 因 P；是素数，故P;I ，但 P;I i; 从而 P j l i; 故， i j 不互素，与 i j 的取法矛盾）因此，白费马小定理知， P ;- 1 三 l ( mod P;). 现取 k = (p, - l ) (p 2 - 1） （p, -1 ) + 1 . 30分 对任意 j = 1, 2，r，注意到 k= l (modp ； 1）， 故有 k + i,; =a+ i; = 0 (mod p) 又 a k +i,; i; 2 P； 故 a k 十七为合数 综上所述，当 k=(p ， 一 l)(pz 一 1）（p, - 1)+1时， a k +1 ， 旷2， ， a k 十n均是 合数 50分
