1、 1 / 10 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 错误 !未定义书签。 一 求值问题 . - 1 - 练习 . - 1 - 二 最值问题 . - 2 - 练习 . - 3 - 三 单调性问题 . - 3 - 练习 . - 3 - 四 .周期性问题 - 4 - 练习 . - 4 - 五 对称性问题 . - 5 - 练习 . - 5 - 六 .图象变换问题 - 6 - 练习 . - 7 - 七识图问题 . - 7 - 练习 . - 9 - 一 求值 问题 类型 1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4
2、sin5， 是第二象限角，求 cos , tan 类型 2 给值求值 例 1 已知 2tan ，求（ 1） sincos sincos ；（ 2） 22 c o s2c o s.s ins in 的值 . 练习 1、 sin330 = tan690 = o585sin = 2、（ 1） 是第四象限角， 12cos13 ，则 sin （ 2） 若 4s i n , t a n 05 ，则 cos . （ 3） 已知 ABC中， 12cot5A ，则 cosA . (4) 是第三象限角，21)sin( ，则 cos = )25cos( = 3、 (1) 已知 5sin ,5 则 44sin co
3、s = . 2 / 10 (2)设 (0, )2， 若 3sin5，则 2 cos( )4 = . （ 3） 已知 3( , ) , s i n ,25 则 tan( )4 = 4、 下列各式中，值为23的是 ( ) （ A） 2 sin 1 5 c o s 1 5 （ B） 15sin15cos 22 （ C） 115sin2 2 （ D） 15cos15sin 22 5. (1) s i n 1 5 c o s 7 5 c o s 1 5 s i n 1 0 5= (2) c o s 4 3 c o s 7 7 s i n 4 3 c o s 1 6 7o o o o= 。 6.(1) 若
4、 sin cos 15，则 sin 2 = （ 2）已知 3sin( )45x ，则 sin2x 的值为 (3) 若 2tan ,则 cossin cossin = 7. 若角 的终边经过点 (1 2)P ， ，则 cos = = 8已知 3c o s ( )22 ，且 |2，则 tan 9.若 c o s 2 2 2s i n4，则 cos sin = 10.已知53)2cos( ，则 22 cossin 的值为 （ ） A257B2516C259D25711 已知 sin =1312， （2， 0），则 cos（ 4）的值为 （ ） A2627B2627C26217D26217二 最值 问
5、题 相关公式 两角和差公式 ； 二倍角公式 ； 化一公式 例 求函数 3 s i n 4 c o sy x x的最大值 与最小值 例 求函数 23 s i n 4 s i n 4y x x 的最大值与最小值 例求函数 21 s i n c o s ( s i n c o s )y x x x x 的值域。 3 / 10 练习 1.函数 ( ) s in c o sf x x x 最小值是 。 2.函数 ( ) (1 3 t a n ) c o sf x x x ， 02x ，则 ()fx的最大值为 3.函数 ( ) c o s 2 2 s i nf x x x的最小值为 最大值为 。 4已知函
6、数 ( ) 2 s i n ( 0 )f x x在区间 ,34上的最小值是 2 ，则 的最小值等于 5.设 02x ，则函数 22 s in 1s in 2xy x的最小值为 6 动直线 xa 与函数 ( ) sinf x x 和 ( ) cosg x x 的图像分别交于 MN， 两点，则 MN 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 7. 函数 2( ) s i n 3 s i n c o sf x x x x 在 区 间 ,42上 的 最 大 值 是 ( ) A.1 B.132C. 32D.1+ 3 三 单调性 问题 相关公式： （ 1） 正余弦函数的单调性； （ 2） 化一公式
7、 例 已知函数 2 ( ) 1 2 s i n 2 s i n c o s8 8 8f x x x x 求 函数 ()fx的单调增区间 练习 1.函数 ),0()26s in (2 xxy为增函数的区间是 （ ） . A. 3,0 B. 127,12 C. 65,3 D. ,65 2.函数 sinyx 的一个单调增区间是 （ ） 4 / 10 A ，B 3，C ，D 3 2，3.函数 ( ) s i n 3 c o s ( , 0 )f x x x x 的单调递增区间是 （ ） A 5 , 6B 5 , 66C ,03D ,064 设函数 ( ) s i n ( )3f x x x R，则 (
8、)fx （ ） A在区间 2736，上是增函数 B在区间2 ，上是减函数 C在区间34，上是增函数 D在区间 536，上是减 函数 四 .周期性 问题 相关公式 ： 二倍角公式 ； 化一公式 ； 两角和差公式 公式： （ 1） 正（余）弦型函数 s i n ( ) ( , 0 )y A x A 的 最小正 周期 2T ， （ 2）正切型函数 t a n ( ) ( 0 )y A x 的 最小正 周期 T ， 例 1 已知函数 2 ( ) 1 2 s i n 2 s i n c o s8 8 8f x x x x ， 求函数 ()fx的最小正周期 例 2 函数 ( ) | sin |f x x
9、的周期是 。 结论：一般情况，函数 | ( )|fx 的周期将减半。 方法总结 ：求函数的周期，必须将函数化为 s i n ( )y A x k 的形式才可以 练习 1下列函数中，周期为2的是 （ ） A sin2xyB sin 2yx C cos4xy D cos 4yx 2. c o s6f x x 的最小正周期为5，其中 0 ，则 = 3.函数 |2sin| xy的最小正周期是 . 5 / 10 4.（ 1） 函数 xxxf cossin)( 的最小正周期是 . （ 2） 函数 )(1c o s2 2 Rxxy 的最小正周期为 . 5.（ 1） 函数 ( ) s i n 2 c o s
10、2f x x x的最小正周期是 (2)函数 ( ) (1 3 t a n ) c o sf x x x 的最小正周期为 (3). 函数 ( ) ( s i n c o s ) s i nf x x x x的最小正周期是 (4)函数 xxxxf c o ss in322c o s)( 的最小正周期是 . 6.函数 1)4(c o s2 2 xy是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为2的奇函数 D. 最小正周期为2的偶函数 7.函数 2( s i n c o s ) 1y x x 的最小正周期是 . 五 对称性 问题 以正 弦型函数 s i n (
11、) ( , 0 )y A x A 为例，说明对称问题的解法 ： （ 1） 求 对称中心，令 xk ，解得 x ，写为 ( ,0)x 的形式，即对称中心； （ 2） 求 对称轴，令2xk ，解得0x，则直线0xx即为对称轴； （ 3）若函数是奇函数，则必有 (0) 0f ，即 sin 0 ，故 k ； 若函数是偶函数，则必有 (0)fA ，即 sin 1 ，故2k ； 例 2 s i n ( 2 )3yx的 对称中心是 ，对称轴方程是 . 练习 1.函数 4 s i n ( 2 )3yx图像的对称轴方程可能是 （ ） A6x B12x C6x D12x 2 下列函数中，图象关于直线3x对称的是
12、（ ） A )32sin( xyB )62sin( xyC )62sin( xyD )62sin( xy3 函数 s i n 23yx的图象 （ ） 6 / 10 关于点 03，对称 关于直线 4x对称 关于点 04，对称 关于直线 3x对称 4.如果函数 3 c o s ( 2 )yx的图像关于点 4( ,0)3中心对称，那么 的最小值为 （ ） (A)6(B) 4(C) 3(D) 25 已知函数 y sin x 12 cos x 12 ，则下列判断正确的是 ( ) A此函数的最小正周期为 2，其图象的一个对称中心是 12， 0 B此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 12， 0
13、C此函数的最小正周期为 2，其图象的一个对称中心是 6， 0 D此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 6， 0 六 .图象变换 问题 函数 s i n ( ) ( , 0 )y A x A 中， A 叫振幅，周期 2T ， 叫初相，它的图象可以经过函数 sinyx 的图象经过平移，伸缩变形得到，具体方法是 ： (1)纵向伸缩：是由 A的变化引起的 A 1,伸长； A 1,缩短 (2)横向伸缩：是由 的变化引起的 1，周期变小，故横坐标缩短； 1,周期变大，故横坐标 伸长 (3)横向平移：是由 的变化引起的 0,左移； 0，右移 （ 法则：左 +右 -） 说明：上述 3种变换的顺序可以
14、是任意的，特别注意，在进行横向平移时考虑 x前的系数，比如 cos 2yx 向右平移 3 个单位，应得到 2c o s 2 ( ) c o s ( 2 )33y x x 的图象 例 描述如何由 sinyx 的图像得到 3 s in ( 2 )4yx的图像。 例 将函数 sin 2yx 的图象向左平移4个单位 , 再向上平移 1个单位 ,所得图象的函数解析式是( ). 7 / 10 A. cos 2yx B. 22 cosyx C. )42s in(1 xyD. 22 sinyx 例 已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 )4f x x x R 的最小正周期为 ，为了得到函数 ( )
15、 cosg x x 的图象，只要 将 ()y f x 的图象 A 向左平移8个单位长度 B 向右平移8个单位长度 C 向左平移4个单位长度 D 向右平移4个单位长度 例 若将函数 t a n 04yx 的图像向右平移6个单位长度后，与函数 t a n6yx的图像重合，则 的最小值为 A 16B. 14C. 13D. 12练习 1.函数 y=cosx(x R)的图象向左平移2个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的解析式为 2.把函数 sinyx （ x R ）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的
16、函数是 3.将函数 sin 2yx 的图象向左平移4个单位 , 再向上平移 1个单位 ,所得图象的函数解析式是 4.要得到函数 sinyx 的图象，只需将函数 c o syx的图象向 平移 个单位 5.已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 )4f x x x R 的最小正周期为 ，将 )(xfy 的图像向左平移 | 个单位长度，所得图像关于 y轴对称，则 的一个值是 （ ） A 2B 83C 4D86.将函数 ( ) 3 c o s s i nf x x x的 图象向左平移 m（ m 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ） A. 6 B. 3 C.
17、23 D. 56 7.若函数 xy sin2 的图象向 右平移6个单位后 ，它的一条对称轴是4x，则 的一个可能的值是 A125B3C6D12七 识图问题 8 / 10 例 已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 , | | )2f x A x A 的图像如图所示，则 712f 。 总结：对于 根据图像， 求 ( ) s i n ( ) ( , 0 , | | )2f x A x A 的表达式的 题型，三个参数的确定方法： （ 1） 根据最大（小）值求 A； （ 2） 根据周期求 ； （ 3） 根据图中的一个点的坐标求 ，根据已知 的范围确定值 （ 4） 一般先求周期、振幅，最后求
18、。 例 （ 2010天津文） 5y A s i n x x R 66 右 图 是 函 数 （ + ） （ ） 在 区 间 - ， 上 的 图 象 ，为了得到这个函数的图象，只要将 y s i n x x R（ ）的图象上所有的点 (A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 例 函数 y xcosx 的部分图象是（
19、 ） 例 已知 a 是实数，则函数 ( ) 1 s i nf x a a x 的图象 不可能 是 ( ) 9 / 10 练习 1函数 s i n 23yx在区间 2，的简图是 （ ） 2、 在同一平面直角坐标系中，函数 )20)(232c o s ( ， xxy的图象和直线21y的交点个数是 A0 B1 C2 D4 3.已知函数 y=2sin( x+ )( 0)在区间 0， 2 的图像如下：那么 = A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 4 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） （ A） s in6yx（ B） s i n 26yx（ C） c o s 43yx（ D） c o s 26yx5 已知函数 f(x)=2sin( x+ )的图象如图所示，则 )127( f= 10 / 10 6已知函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（ A0， 0， x R）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y= 3 与函数 f（ x）图象的所有交点的坐标。 7、 已知函数 ()fx=Acos( x )的图象如图所示， 2()23f ，则(0)f =( ) A. 23B. 23C. 12D. 128、 （ 2009辽宁卷文）已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )f x x 的图象如图所示， 则 x -1 y 2 0 1 -2 445图
