1、选修 1-1 宝 剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） )0,0(12222 babyax 标准方程（焦点在 y 轴） )0,0(12222 babxay 定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aMFMFM 221 212 FFa 第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 1e 时，动点的轨迹是双曲线。定点 F
2、叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （ 1e ）叫做双曲线的离心率。 范围 xa ， yR ya ， xR 对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 对称中心 原点 (0,0)O 焦点坐标 1( ,0)Fc2( ,0)Fc1(0, )Fc2(0, )Fc焦点在实轴上， 22c a b；焦距：122FF c顶点坐标 （ a ,0） (a ,0) (0, a ,) (0， a ) xyP 1F2FxyP xyP 1F2Fx y xyP 1F2FxyxyP 1F2Fx y P 选修 1-1 宝 剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 159153
3、55718 QQ:1838471850 离心率 eace ( 1) 准线方程 cax 2cay 2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22 顶点到准线的距离 顶点1A（2A）到准线 1l （ 2l ）的距离为caa 2顶点1A（2A）到准线 2l （ 1l ）的 距离为 aca 2焦点到准线的距离 焦点1F（2F）到准线 1l （ 2l ）的距离为cac 2焦点1F（2F）到准线 2l （ 1l ）的距离为 cca 2渐近线 方程 xaby xbay 共渐近线的双曲线系方程 kbyax 2222 （ 0k ） kbxay 2222 （ 0k ） 1. 双曲线的定义 当 |MF1
4、| |MF2|=2a时， 则表示点 M 在双曲线右支上 ； 当 aMFMF 212 时，则表示 点 M 在双曲线左支上； 注意定义中的“ （小于12FF） ”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若 2a=2c 时， 即2121 FFMFMF ,当2121 FFMFMF ，动点轨迹是以 2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112 FFMFMF 时，动点轨迹是以 1F 为端点向左延伸的一条射线； 若 2a 2c 时，动点轨 迹不存在 . 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果 2x 项的系数是正数，则焦点在 x轴上； 如果 2y 项的系数是正数，则焦点在 y轴上 . 对于双
5、曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 . 3. 双曲线的内外部 (1)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的内部 22001xyab . (2)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的外部 22001xyab . 选修 1-1 宝 剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 4. 形如 )0(122 ABByAx 的方程可化为11122ByAx 当 01,01 BA，双曲线的焦点在 y
6、轴上； 当 01,01 BA，双曲线的焦点在 x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解 . 6. 离心率与渐近线之间的关系 22222222 1aba baace 1） 21 abe 2） 12 eab7. 双曲线的方程与 渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程： 220xyab xaby . (2)若渐近线方程为 xaby 0byax 双曲线可设为 2222byax. (3)若双曲线与 12222 byax有公共渐近线，可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x轴上， 0 ，焦点在 y
7、轴上） . (4)与双曲线 12222 byax共渐近线的双曲线系方程是 2222byax )0( 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆(5)与双曲线 12222 byax共焦点的双曲线系方程是 12222 kb yka x(6)当 时ba 离心率 2e 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 22 yx ； 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上一点00( , )P
8、 x y处的切线方程是 00221x x y yab. （ 2）过双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 外一点00( , )P x y所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y yab. 选修 1-1 宝 剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 A 2F 24（ 3 ）双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 与直线0A x B y C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c. 9. 直线与双曲线的位置关系 直线 l ： )0( mmkxy 双曲线 C： 12222 byax（ a
9、 0， b 0） 12222byaxmkxy 02)( 222222222 bamam k xaxkab 1) 当 0222 kab ，即abk 时，直线 l 与双曲线的渐进线 _平行 _，直线与双曲线 C相交 于一点； 2) 当 b2-a2k2 0，即abk 时， =(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) 0 时，直线 l 与双曲线 相交 ， 有两个公共点 0 时，直线 l 与双曲线 相切 ，有且仅有一个公共点 0 时，直线 l 与双曲线 相离 ，无公共点 3) 直线与双曲线只有一个公共点 ,则直线与双曲线必相切吗 ?为什么 ?（不一定） 10. 关于
10、直线与 双曲线 的位置关系问题常用处理方法 直线 l ： )0( mmkxy 双曲线 C： 12222 byax（ a 0， b 0） 联立方程法： 12222byaxmkxy 02)( 222222222 bamam k xaxkab 设交点坐标为 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ，则有 0 ,以及 2121 , xxxx ，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy 2)( 212121 ，2212122121 )()( mxxkmxxkmkxmkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此 法，比如 a. 相交弦 AB 的 弦长 212212212 4)(11 xxx
11、xkxxkAB ak 21选修 1-1 宝 剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850 或 212212212 4)(1111 yyyykyykAB ak 21b. 中点 ),(00 yxM, 2 210 xxx ， 2 210 yyy 点差法： 设交点坐标为 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，代入 双曲线 方程， 得 1221221 byax 1222222 byax 将两式相减，可得 2 21212 2121)()( b yyyya xxxx )()(2122122121 yya xxbxx yy a. 在涉及斜率 问题时，)()(212212 yya xxbk AB b. 在涉及 中点 轨迹 问题时 ， 设线段 AB 的 中 点 为 ),(00 yxM，020202022121 22 ya xbya xbxx yy ， 即0202 ya xbkAB ， 11. 焦点三 角形面积公式：)(,2t a n21221 PFFbSPFF 。
