1、1 高三数学概念、方法、题型、易误点总结（八 ） 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义 ： （ 1） 第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ： 椭圆中 ，与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于常数 2a ，且此 常数 2a 一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1 F2 ，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中 ，与两定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 |F1 F2 |， 定义中的 “绝对值”与 2a |F1 F2 |不可忽视 。若 2a |F1 F2 |，则轨迹是以 F1 ， F2 为端点的两条射线，若 2a |F1
2、 F2 |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 。 如 （ 1） 已知定点 )0,3(),0,3( 21 FF ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A 421 PFPFB 621 PFPFC 1021 PFPFD 122221 PFPF（ 2） 方程 2 2 2 2( 6 ) ( 6 ) 8x y x y 表示的曲线是 _ （ 2） 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ，且 “ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义， 给出了圆锥 曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离 间的关系，要善于 运用第二定义
3、对它们 进行相互转化 。 如 已知点 )0,22(Q 及抛物线42xy 上一动点 P（ x,y） ,则 y+|PQ|的最小值是 _ _ 2.圆锥曲线的标准方程 （ 标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ： （ 1） 椭圆 ： 焦点在 x 轴上时 12222 byax（ 0ab ） cossinxayb（参数方程，其中 为参数），焦点在 y 轴上时2222bxay 1（ 0ab ）。方程 22Ax By C表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A， B， C 同号， A B）。 如 （ 1） 已知方程 12322 kykx表示椭圆，则 k 的取值范围为 _
4、（ 2） 若 Ryx , ，且 623 22 yx ，则 yx 的最大值是 _， 22 yx 的最小值是 _ （ 2） 双曲线 ： 焦点在 x 轴上：2222byax =1，焦点在 y 轴上：2222bxay 1（ 0, 0ab）。 方程22Ax By C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC 0，且 A， B 异号 ）。 如 （ 1） 双曲线的离心率等于25，且与椭圆 14922 yx 有公共焦点，则该双曲线的方程 _ （ 2） 设中心在坐标原点 O ，焦点 1F 、 2F 在坐标轴上，离心率 2e 的双曲线 C 过点 )10,4( P ，则 C 的方程为 _ 2 （ 3） 抛物线 ：开口
5、向右时 2 2 ( 0 )y px p，开口向左时 2 2 ( 0 )y p x p ，开口向上时2 2 ( 0 )x py p，开口向下时 2 2 ( 0 )x p y p 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ： （ 1） 椭圆 ：由 x 2 ,y 2 分 母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知方程 12122 mymx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _ _ （ 2） 双曲线 ： 由 x 2 ,y 2 项系数的正负决定， 焦点在系数为正的坐标轴上； （ 3） 抛物线 ： 焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒
6、： （ 1） 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1 ， F2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ,ab，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向；（ 2）在椭圆中，a 最大， 2 2 2a b c，在双曲线中， c 最大， 2 2 2c a b。 4.圆锥曲线的几何性质 ： （ 1） 椭圆 （以 12222 byax（ 0ab ）为例）： 范围： ,a x a b y b ； 焦点： 两个焦点 ( ,0)c ； 对称性： 两条对称轴 0, 0xy，一个对称中心（
7、0,0）， 四个顶点 ( , 0 ), (0, )ab，其中长轴长为 2a ，短轴长为 2b ； 准线： 两条准线 2axc； 离心率： cea，椭圆 01e， e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁 。 如 （ 1） 若椭圆 1522 myx的离心率510e，则 m 的值是 _ _ （ 2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 ，则椭圆长轴的最小值为 _ （ 2） 双曲线 （以 221xyab（ 0, 0ab）为例）： 范围： xa 或 ,x a y R； 焦点： 两个焦点 ( ,0)c ； 对称性： 两条对称轴 0, 0xy，一个对称中心（ 0,0）， 两个顶点
8、 ( ,0)a ，其中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b ， 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22 ,0x y k k ； 准线： 两条准线 2ax c ； 离心率： ce a ， 双曲线 1e ， 等轴双曲线 2e ， e 越小，开口越小， e 越大，开口越大； 两条渐近线： byxa 。 如 （ 1） 双曲线的渐近线方程是 023 yx ，则该双曲线的离心率等于 _ （ 2） 双曲线 221ax by的离心率为 5 ，则 :ab= 3 （ 3） 设双曲线 12222 byax（ a0,b0）中，离心率 e 2 ,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_ （ 3） 抛
9、物线 （以 2 2 ( 0 )y px p为例）： 范围： 0,x y R； 焦点： 一个焦点 ( ,0)2p，其中 p的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性： 一条对称轴 0y ，没有对称中心，只有 一个顶点（ 0,0） ； 准线： 一条准线2px； 离心率： cea，抛物线 1e 。 如 设 Raa ,0 ，则抛物线 24axy 的焦点坐标为 _ 5、点00( , )P x y和椭圆 12222 byax（ 0ab ）的关系 ： （ 1）点00( , )P x y在椭圆外 22001xyab； （ 2） 点00( , )P x y在椭圆上 220220byax 1； （ 3）点00( ,
10、 )P x y在椭圆内 22001xyab6 直线与圆锥曲线的位置关系 ： （ 1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一 个交点，故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（ 1） 若直线 y=kx+2与双曲线 x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则 k的取值范围是 _； （ 2） 直线 y kx
11、1=0 与椭圆 2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是 _ （ 3） 过双曲线 12122 yx 的右焦点直线交双曲线于 A、 B 两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条 （ 2）相 切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （ 3）相离： 0 直线与椭圆 相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。 特别提醒 ： （ 1） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线 相交 ,但 只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线 相交 ,也 只有一个交点 ；
12、（ 2） 过 双曲线2222byax 1 外一点00( , )P x y的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切4 线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线； （ 3） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一 个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 （ 1） 过点 )4,2( 作直线与
13、抛物线 xy 82 只有一个公共点，这样的直线有 _ （ 2） 过点 (0,2)与双曲线 116922 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _ （ 3） 对于抛物线 C： xy 42 ，我们称满足020 4xy 的点 ),(00 yxM在抛物线的内部， 若点 ),(00 yxM在抛物线的内部，则直线 l ： )(200 xxyy 与抛物线 C 的位置关系是 _ （ 4） 过抛物线 xy 42 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p 、 q ，则 qp 11_ （ 5） 设双曲线 191622 yx 的右焦点为 F ，右准线为 l
14、，设某直线 m 交其左支、右支和 右准线分别于 RQP , ，则 PFR 和 QFR 的大小关系为 _ （ 6） 求 椭圆 2847 22 yx 上 的点 到直线 01623 yx 的 最短 距离 （ 7） 直线 1axy 与双曲线 13 22 yx 交于 A 、 B 两点。 当 a 为何值时， A 、 B 分 别在双曲线的两支上？ 当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？ 7、焦半径 （圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如 （ 1） 已知椭圆
15、 1162522 yx 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为 _ （ 2） 已知抛物线方程为 xy 82 ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _； （ 3） 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _ 5 （ 4） 点 P 在椭圆 192522 yx 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为 _ （ 5） 抛物线 xy 22 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _ （ 6） 椭圆 13422 yx 内有一点 )1,1( P ， F 为右焦点
16、，在椭圆上有一点 M，使 MFMP 2 之值最小，则点 M 的坐标为 _ 8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00( , )P x y到两焦点12,FF的距离分别为12,rr，焦点12FPF的面积为 S ，则在椭圆 12222 byax中， )12arccos(212 rrb ，且当 12rr 即 P 为短轴端点时， 最大为 max 222arccosa cb ； 20t a n | |2S b c y，当0|yb即 P 为短轴端点 时，maxS的最大值为 bc；对于双曲线 221xyab的焦点三角形
17、有： 21221arc c o srrb ； 2c o ts in21 221 brrS 。 如 （ 1） 短轴长为 5 ，离心率32e的椭圆的两焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作直线交椭圆于 A、 B 两点，则 2ABF 的周长为 _ （ 2） 设 P 是等轴双曲线 )0(222 aayx 右支上一点， F1、 F2 是左右焦点，若 0212 FFPF ， |PF1|=6，则该双曲线的方程为 （ 3） 椭圆 22194xy的焦点为 F1、 F2，点 P 为椭圆上的动点，当 PF2 PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是 （ 4） 双曲线的虚轴长为 4，离心率 e26， F1、 F2
18、是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、 B两点，且 AB 是2AF与2BF等差中项，则 AB _ 6 （ 5） 已知双曲线的离心率为 2， F1、 F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且 6021 PFF ，31221 FPFS 求该双曲线的标准方程 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（ 1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF；（ 3）设 AB 为焦点弦， A、 B 在准线上的射影分别为 A1 ， B1 ，若 P 为 A1 B1 的 中点，则 PA PB；（ 4）若 AO 的延长线交
19、准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x轴的直线交准线于 C点，则 A， O， C三点共线。 10、弦长公式 ：若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、 B，且12,xx分别为 A、 B 的横坐标，则 AB 2121 k x x，若12,yy分别为 A、 B 的纵坐标，则 AB 21211 yyk ，若弦 AB 所在直线方程设为 x ky b，则 AB 2121 k y y。特别地， 焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 如 （ 1） 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A
20、（ x1， y1） ， B（ x2， y2）两点，若 x1+x2=6，那么 |AB|等于 _ （ 2） 过抛物线 xy 22 焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点，已知 |AB|=10， O 为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为 _ 11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到 中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆 12222 byax中，以00( , )P x y为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb ；在 双曲线 221xyab中，以 00( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb ；在抛物线 2 2 ( 0 )y px p中，以 00( ,
21、)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0py 。 如 （ 1） 如果椭圆 22136 9xy弦被点 A（ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线 方程是 （ 2） 已知直线 y= x+1 与椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 相交于 A、 B 两点，且线段 AB 的中点在直线L： x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _ 7 （ 3） 试确定 m 的取值范围，使得椭圆 13422 yx 上有不同的两点关于直线 mxy 4 对称 ； 特别提醒 ：因为 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问 题时，务必别忘了检验 0 ！ 12你了解下列结论吗 ？ （ 1）双曲
22、线 12222 byax的渐近线方程为 02222 byax； （ 2）以 xaby 为渐近线（即与双曲线 12222 byax共渐近线）的双曲线方程为 (2222 byax为参数， 0） 。 如 与双曲线 116922 yx 有共同的渐近线，且过点 )32,3( 的双曲线方程为 _ （ 3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 221mx ny； （ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 2bc，抛物线的通径为 2p ，焦准距为 p ； （ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （ 6）若抛物线 2 2 (
23、0 )y px p的焦点弦为 AB，1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则 12|A B x x p ； 2 21 2 1 2,4px x y y p （ 7）若 OA、 OB是过抛物线 2 2 ( 0 )y px p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定点 (2 ,0)p 13动点轨迹方程 ： （ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （ 2）求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立 ,xy之间的关系 ( , ) 0F x y ； 如 已知动点 P到定点 F(1,0)和直线 3x 的距离之和等于 4，求 P的轨迹方程； 待
24、定系数法：已知所求曲线的类型，求曲 线方程先根据条件设出所求曲线的 方程，再由条件确定其待定系数。 如 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（ m， 0） )0( m ，端点 A、 B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、 O、 B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如 (1)由动点 P向圆 221xy作两条切线 PA、 PB，切点分别为 A、 B， APB=600，则动点 P的轨迹方程为 8 （ 2） 点 M与点 F(4,0)的距离比它到直线 05xl： 的距离小于 1，则点 M的轨迹
25、方程是 _ (3) 一动圆与两圆 M： 122 yx 和 N： 012822 xyx 都外切，则动圆圆心的轨迹为 代入转移法：动点 ( , )Px y 依赖于另一动点00( , )Q x y的变化而变化，并且00( , )Q x y又在某已知曲线上，则可 先用 ,xy的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如 动点 P是抛物线 12 2 xy 上任一点，定点为 )1,0( A ,点 M分 PA 所成的比为 2，则 M的轨迹方程为 _ 参数法：当动点 ( , )Px y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 ,xy均用一中间变量（参数）表示，得
26、参数方程，再消去参数得普通方程）。 如 （ 1） AB是圆 O的直径，且 |AB|=2a， M为圆上一动点，作 MN AB，垂足为 N，在 OM上取点 P ，使| | | |OP MN ，求点 P 的轨迹。 （ 2） 若点 ),( 11 yxP 在圆 122 yx 上运动，则点 ),( 1111 yxyxQ 的轨迹方程是 _ （ 3） 过抛物线 yx 42 的焦点 F作直线 l 交抛物线于 A、 B两点，则弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _ 注意 ： 如果问题中 涉及到平面向量知识 ，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽
27、子或脱靴子”转化 。 如 已知椭圆 )0(12222 babyax的左、右焦点分别是 F1 （ c， 0）、F2（ c， 0）， Q 是椭圆外的动点，满足 .2| 1 aQF 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 .0|,0 22 TFTFPT （ 1）设 x 为点 P 的横坐标，证明 xacaPF | 1； （ 2）求点 T 的轨迹 C 的方程； （ 3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使 F1MF2 的面积 S= .2b 若 存在，求 F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由 . 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 ，寻求
28、轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于 “平面几何性质”数形结合 (如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 )、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 . 9 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么 可选择应用“斜率或向量”为 桥梁 转化 . 14、解析几何 与向量综合时可能出现的向量内容 ： （ 1） 给出直线的方向向量 ku ,1 或 nmu , ； （ 2） 给出 OBOA 与 AB 相交 ,等于已知 OBOA 过
29、AB 的中点 ; （ 3） 给出 0 PNPM ,等于已知 P 是 MN 的中点 ; （ 4） 给出 BQBPAQAP ,等于已知 QP, 与 AB 的中点三点共线 ; （ 5） 给出以下情形之一： ACAB/ ；存在实数 , A B A C使 ；若存在实数, , 1 , O C O A O B 且 使,等于已知 CBA , 三点共线 . （ 6） 给 出1OBOAOP ，等于已知 P 是 AB 的定比分点， 为定比，即 PBAP （ 7） 给出 0MBMA ,等于已知 MBMA ,即 AMB 是直角 ,给出 0 mMBMA ,等于已知AMB 是钝角 , 给出 0 mMBMA ,等于已知 AM
30、B 是锐角 , （ 8） 给出 MPMBMBMAMA ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线 / （ 9） 在平行四边形 ABCD 中，给出 0)()( ADABADAB ，等于已知 ABCD 是菱形 ; （ 10） 在平行四边形 ABCD 中，给出 | | | |A B A D A B A D ，等于已知 ABCD 是矩形 ; （ 11） 在 ABC 中，给出 222 OCOBOA ，等于已知 O 是 ABC 的外心（ 三角形外接圆的圆心，三角形的外心是 三角形三边垂直平分线的交点 ）； （ 12） 在 ABC 中，给出 0 OCOBOA ，等于已知 O 是 ABC 的重心（ 三角形的重心是
31、 三角形三条中线的交点 ）； （ 13） 在 ABC 中，给出 OAOCOCOBOBOA ，等于已知 O 是 ABC 的垂心（ 三角形的垂 心是 三角形三条高的交点 ）； （ 14） 在 ABC 中，给出 OAOP ()| | | |A B A CA B A C )( R 等于已知 AP 通过 ABC 的内心； （ 15） 在 ABC 中，给出 ,0 OCcOBbOAa 等于已知 O 是 ABC 的内 心（ 三角形内切圆的圆心，三角形的内心是 三角形三条角平分线的交点 ）； （ 16） 在 ABC 中，给出 12A D A B A C,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线 ; 如 1
32、. 已知 F1、 F2 分别是椭圆 )0(12222 babyax的左、右焦点， P 是此椭圆上的一动点，并且21 PFPF 的取值范 围是 .34,34 （）求此椭圆的方程； （）点 A 是椭圆的右顶点，直线 y=x 与椭圆交于 B、 C 两点（ C 在第一象限内），又 P、 Q 是此椭圆上两点，并且满足 ,0)|( 21 FFCQCQCPCP 求证：向量 PQ 与 AB 共线 . 10 2. 已知点 Q 位于直线 3x 右侧，且到点 1,0F 与到直线 3x 的距离之和等于 4. ( ) 求动点 Q 的轨迹 C； ( ) 直线 l 过点 1,0M 交曲线 C于 A、 B两点，点 P满足 1
33、 ()2F P F A F B， 0EP AB，又 OE =(0x,0)，其中 O 为坐标原点，求0x的取值范围； ( ) 在 ( )的条件下， PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线 l 的方程；若不能，请说明理由 1.解：（）设 222100 ),0,(),0,(),( baccFcFyxP 其中，则 ),(),()0,( 00001 ycxyxcPF ， ).,(),()0,( 00002 yxcyxcPF 从而 .),(),( 2202020220000021 cyxycxyxcycxPFPF 2 分 由于 220202 ayxb ，所以 ,222122 caP
34、FPFcb 即 .2 22122 bPFPFab 4 分 又已知3434 21 PFPF， 所以.34,4,34,34222222babab 从而椭圆的方程是 .143422 yx 6 分 （）因为 P C QCQCQCPCPFFCQCQCPCP 与而|,0)|( 21的平分线平行，所以 PCQ 的平分线垂直于 x 轴 . 7 分 11 由 ).1,1(,1,1,143422Cyxxyyx 解得 不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC 的斜率为 k，因此 PC 和 QC 的方程分别为 1434,1)1(,0,1)1(,1)1( 22 yxxkykxkyxky 由其中 消去 y 并整理得 ( *
35、) .0163)1(6)31( 222 kkxkkxk 9 分 C（ 1， 1）在椭圆上， x=1 是方程（ *）的一个根 . 从而 ,31 163,31 163 2222kkkxkkkx QP 同理从而直线 PQ 的斜率为QPQPQPQPPQ xx kxxkxx yyk 2)(= .313112231 )13(2222 kkkkkk 11 分 又知 A（ 2， 0）， B（ 1， 1），所以 ,3121 01 ABPQAB kkk 向量 ABPQ与 共线， 2.解 ）设 ,Q x y ，则 3 4 3Q F x x ，即： 2 21 3 4 3x y x x ，化简得： 2 4 3 0y x
36、 x 所以，动点 Q 的轨迹为抛物线 2 4yx 位于直线 3x 右侧的部分 （）因为 1 ()2F P F A F B，所以， P 为 AB 中点；又因为 0EP AB，且 OE =(0x,0)， 所以，点 E 为线段 AB 垂直平分线与 x 轴焦点 由题可知：直线 l 与 x 轴不垂直，所以可设直线 l 的方程为 1y k x， 代入轨迹 C 的方程得到： 2 2 2 24 2 0k x k x k 30x （） 设 fx 2 2 2 242k x k x k ，要使得 l 与 C 有两个不同交点，需且只需 224224 2 4 0423023000kkkkff 解之得： 23 14 k1
37、2 由（）式得： 2224ABkxx k ，所以， AB 中点 P 的坐标为： 2212ABPxxx k ， 21PFy k x k 所以，直线 EP 的方程为22 1 21yxkk k 令 0y 得到点 E 的横坐标为221Ex k 因为 23 14 k，所以， Ex （ 113 ， 3） （）不可能要使 PEF 成为以 EF 为底的等腰三角形，需且只需 2P E Fx x x， 即：222 1 1 1kk ，解得： 2 12k 另一方面，要使直线 l 满足（ 2）的条件，需要2 3 ,14k， 所以，不可能使 PEF 成为以 EF 为底的等腰三角形 6. 圆 12422 yx 的左、右焦点
38、分别为 F1， F2，直线 l 过 F2 与椭圆相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点 . （ 1）当 OBOA 时，求直线 l 的方程； （ 2）当 OBOA与 的夹角为 120时，求直线 l 的斜率 k 的值 . 解：（ 1） )2(),0,2(2 xkylF 的方程设直线 ),(),(2)(2),2(),2(21)1(4,2124),(),(0)1(424)21(:)2(0422211221221221221122212212211222222yxOByxOAkxxkxxkyyxkyxkykkxxkxyxByxAkxkxkxkyyx又又则设得由13 .,.2,02142,0,22212
39、1不垂直与不存在时又当 OBOAkkkkyyxxOBOAOBOAOBOA所求直线方程为 )2(2 xy . （ 2）又 ,212,212 22222121 xyxy yxyxOBOA 222121|22421161636kkk .210540122050422116163642|120c o s242242kkkkkkkOBOAOBOA7. 已知：过点 A（ 1， 0）且互相垂直的两动直线与直线 1x 分别相交于 E、 F 两点， O 为坐标原点，动点 P 满足 ./,/ OPFOOAEP （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）若直线 )1()1(: 与 xkyl 中轨迹 C 交于
40、 M、 N 两点，且 0 ANAM ，求 k 的取值范围 . 解：（ 1）设点 P 的坐标是（ x， y） ),1(/),1(/xyFOPFOyEOAEP 2 分 040),2(),2(2xyAFAExyAFyAE点 P 轨迹方程是 )0(42 xxy 6 分 （ 2）由 0)42()1(4 22222 kxkxkxkyxy 有两交点 1000 2 kk 8 分 2 14 1,24),(),( 212 2212211 xxk kxxyxNyxM 则设 9 分 210124)1(101)(1()1(0)1)(1()1)(1(02)1)(1(02222222212212212212121kkkkk
41、kkxxkxxkxxkxxyyxxANAM)1,2 2()2 2,1(121 2 kk 即 9. 已知抛物线方程为 xy 42 ，过点 )0,2(P 的直线 AB 交抛物线于点 A、 B。 （ 1）若 4 OBOA ，求直线 AB 的方程； （ 2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 )0,(nQ ，求 n 的取值范围。 解：设直线 AB 的方程为 )0(2 kkxy ，点 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 把 2 kxy 代入抛物线方程可得： 04)44(22 xkxk 22144 kkxx ，2214kxx kkxkxyy 422 2121 ， kkxkxyy 822
42、2121 （ 1） 484),(),(221212211 kkyyxxyxyxOBOA 0122 kk 21 k 又 0121616116 22 kkk 12 k 直线 AB 的方程为 212 xy 。 （ 2）设线段 AB 的 中点 C 的坐标为 kkkC 2,222则直线 CQ 的方程为： 22212 kkxkky 15 令 0y ，则232112222222 222 kkkkkxn 又 由21k且 0k 得： 21 k或 01k则 2232102 2 n n 的取值 范围为 ),2( 。 10. 如图，已知 OFP 的面积为 m，且 OFFP 1 （ I）若 12 32 m，求向量 OF
43、 与 FP 的夹角的取值范围； （ II）设 | |OF m 43，且 | |OF2 。若以 O 为中心， F 为焦点的椭圆经过点 P，当 | |OP 取得最小值时，求此椭圆的方程。 解：（） OFP 的面积为 m，设向量 OF 与 FP 的夹角为 12 | | | |s i nOF FP m OF FP 1， | | | | c o sOF FP 1 由、得： tan 2m 12 32 3 m ， t a n ( )4 3，即向量 OF 与 FP 的夹角 的取值范围为 ( )4 3，6 分 （ II）如图，以 O 为原点， OF 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 16 设 | |OFc ， P 点坐标为（ x0， y0） | |OF m 43 12 12 430 0| | | | | |OF y m y m， | |y0 32OF c ( )， 0 ， FP x c y ( )0 0， ， OFFP
