1、 1 2011-2018 新课标三角函数 分类汇编 一、选择题 【 2011 新课标】 5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 2yx上，则 cos2 =（ B ） （ A） 45（ B） 35（ C） 35（ D） 45【 2011 新课标】 11. 设函数 ( ) s i n ( ) c o s ( ) ( 0 , )2f x x x 的最小正周期为 ，且 ( ) ( )f x f x ，则 ( A ) （ A） ()fx在 0,2单调递减 （ B） ()fx在 3,44单调递减 （ C） ()fx在 0,2单调递增 （ D） ()fx在 3,44单调递增
2、【 2011 新课标】 12. 函数 11y x 的图像与函数 2 s i n ( 2 4 )y x x 的图像所有焦点的横坐标之和等于 ( D ) （ A） 2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【 2012 新课标】 9. 已知 0 ，函数 ( ) s i n ( )4f x x 在 ( , )2 上单调递减。则 的取值范围是（ A ） ()A 15 , 24()B 13 , 24()C 1(0, 2()D (0,2 【解析】 592 ( ) , 4 4 4x 不合题意 排除 ()D 351 ( ) , 4 4 4x 合题意 排除 ( )( )BC 【 2013 新课标 1】 12、设 A
3、nBnCn的三边长分别为 an,bn,cn， AnBnCn的面积为 Sn， n=1,2,3, 若 b1 c1， b1 c1 2a1， an 1 an， bn 1 cn an2 ， cn 1 bn an2 ，则 ( B ) A、 Sn为递减数列 B、 Sn为递增数列 12 C、 S2n 1为递增数列， S2n为递减数列 D、 S2n 1为递减数列， S2n为递增数列 【答案】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 0 2b a c c a c c a c 且 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 120b a a c a a c b a c 11 1 1 1 1 1 1 1 1 122 2
4、ab c a a c c a c a c 又 1 1 1 1 1 1 112 ( 2 )22nnn n n n n nbcc a b c a b c a 由 题 意 ， b 112 0 2 2 2n n n n n n n nb c a b c a a b c a 2 11 1 1 1 1 12( 2 )22n n n nn n n n nc b a b bb c b a b a b 又 由 题 意 ， 11 1 1 1 1 111( ) ( ) ( )22 nn n nb a a b b a b a 111 1 1 1 1 1 111( ) ( ) , 2 ( ) ( )22nnn n nb
5、 a b a c a b a b a 2 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 13 3 3 311( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2nnn a a a aS a a b a a b a 222 1 2 2111 1 1 1 131 ( ) ( ) ( ) 0 )4 4 4 4naaa b a b a 单 调 递 增 （ 可 证 当 n=1 时【 2014 新课标 1】 8设 （ 0， ）， （ 0， ），且 tan= ，则（ C ） A. 3 = B. 3+= C. 2 = D. 2+= 【答案】由 tan= ，得： ，即 sincos=cossin+cos，
6、 sin（ ）=cos 由等式右边为单角 ，左边为角 与 的差，可知 与 2 有关排除选项 A， B 后验证 C， 当 时， sin（ ） =sin（ ） =cos 成立。 【 2014 新课标 2】 4.钝角三角形 ABC 的面积是 12， AB=1， BC= 2 ，则 AC=( B ) A . 5 B. 5 C. 2 D. 1 【 2015 新课标 1】 2. 10s in1 6 0c o s10c o s20s in （ D ） （ A） 32（ B） 32（ C） 12（ D） 12【 2015 新课标 1】 8. 函数 f(x)=( +)的部分图像如图所示，则 f（ x）的单调递减区
7、间为 ( D ) (A) Zkkk ),43,41( (B) Zkkk ),432,412( (C) Zkkk ),43,41(D) Zkkk ),432,412(【 2016新课标 1】 12.已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 ) ,24f x x + x ，为 ()fx的零点，4x 为 ()y f x 图像的对称轴，且 ()fx在 518 36，单调，则 的最大值为（ B ） （ A） 11 （ B） 9 （ C） 7 （ D） 5 【答案】由题意知 1 5 2()2 4 3 6 9T ，所以 2 9T 。 3 【 2016 新课标 2】 7. 若将函数 y=2sin 2x 的
8、图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ B ） （ A） 26kxk Z（ B） 26kxk Z（ C） 2 1 2 Zkxk （ D） 2 1 2 Zkxk 【 2016 新课标 2】 9. 若 3co s45，则 sin2 =（ D ） （ A） 725（ B） 15（ C） 15（ D） 725【答案】 ， ， 【 2016 新课标 3】 5. 若 tan 34，则 cos2 2sin2（ A ） (A)6425 (B)4825 (C)1 (D)1625 【 2016 新课标 3】 (8)在 ABC 中， B 4， BC 边上的高等于 13BC， 则 cosA=（ C ）
9、 (A)3 1010 (B) 1010 (C) 1010 (D) 3 1010 【 2017 新课标 1】 9已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+23)，则下面结论正确的是（ D ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不
10、变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 【 2017新课标 3】 6设函数 ( ) c o s ( )3f x x，则下列结论错误的是（ D ） A ()fx的一个周期为 2 B ()y f x 的图像关于直线 83x对称 C ()fx 的一个零点为 6xD ()fx在 (,)2单调递减 【解析】函数 c o s3f x x的图象可由cosyx 向左平移 3 个单位得到，如图可知， f x()在p2,p 上先递减后递增， D错误， 选 D。 【 2018 新课标 2】 6在 ABC 中， 5cos25C ， 1BC ， 5AC ，则 AB （ ） A 42 B 30 C 2
11、9 D 25 3co s 45 2 7s i n 2 c o s 2 2 c o s 12 4 2 5 p23p53- p3 6pgxyO4 【答案】 A 【 2018 新课标 2】 10若 ( ) c o s s inf x x x在 , aa 是减函数，则 a 的最大值是 （ ） A 4B 2C 34D 【答案】 A 【 2018 新课标 3】 4若 1sin3，则 cos2 （ ） A 89B 79C 79D 89【答案】 B 【 2018 新课标 3】 9 ABC 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ABC 的面积为2 2 24a b c，则 C （ ）
12、A 2B 3C 4D 6【答案】 C 二、填空题 【 2011 新课标】 16. 在 ABC 中， 6 0 , 3B A C，则 2AB BC 的最大值为 27 。 【 2013新课标 1】 15、设当 x=时，函数 f(x) sinx 2cosx取得最大值，则 cos=_ 255_ 【答案】 ()fx= sin 2 cosxx = 5 2 55 ( s i n c o s )55xx令 cos = 55， 25sin5 ，则 ()fx= 5 ( s i n c o s s i n c o s )xx= 5 si ( )x ， 当 x = 2,2k k z ，即 x = 2,2k k z 时，
13、 ()fx取最大值，此时 = 2,2k k z ， cos = c o s ( 2 )2k =sin = 255. 【 2013 新课标 2】 15设 为第二象限角，若 1ta n42，则 sin cos _ 105_. 【答案】由 1 t a n 1t a n4 1 t a n 2 ，得 tan 13，即 sin 13cos . 将其代入 sin2 cos2 1，得 210cos 19 .因为 为第二象限角，所以 cos 3 1010， sin 1010， sin cos 105. 5 【 2014 新课标 1】 16已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，
14、a=2，且（ 2+b）（ sinA sinB） =（ c b） sinC，则 ABC 面积的最大值为 【答案】 ABC 中， a=2，且（ 2+b）（ sinA sinB） =（ c b） sinC，利用正弦定理可得 4 b2=（ c b） c，即 b2+c2 bc=4再利用基本不等式可得 42bc bc=bc， bc4，当且仅当 b=c=2时，取等号， 此时， ABC 为等边三角形，它的面积为 = = 【 2014 新课标 2】 14.函数 s i n 2 2 s i n c o sf x x x 的最大值为 _1_. 【 2015 新课标 1】 16. 在平面四边形 ABCD 中， A=B
15、=C=75， BC=2，则 AB 的取值范围是 （ 62， 6+2） . 【 2016 新课标 2】 13. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 4cos5A， 5cos13C，1a ，则 b 【答案】 ， ， ， ， ，由正弦定理得： 解得 【 2016 新课标 3】 (14)函数 y sinx 3cosx 的图像可由函数 y sinx 3cosx 图像至少向右平移 _23 _个单位长度得到。 【 2017 新课标 2】 14.函数 2 3s i n 3 c o s4f x x x （ 0,2x ）的最大值是 1 【解析】 2 3 s i n 3 c o s 0
16、42f x x x x ， 2 31 c o s 3 c o s 4f x x x ， 令 cosxt 且 01t ， ，2 13 4y t t 23 12t ，则当 32t时， fx取最大值 1。 【 2018 新课标 1】 16已知函数 2 s i n s i n 2f x x x，则 fx的最小值是 _ 【答案】 332【 2018新课标 2】 15已知 sin cos 1 ， cos sin 0 ，则 sin( ) _ 【答案】 12【 2018 新课标 3】 15函数 c o s 36f x x在 0 ， 的零点个数为 _ 【答案】 3 21134cos 5A 5cos 13C 3s
17、in 5A 12sin 13C 63s i n s i n s i n c o s c o s s i n 65B A C A C A C sin sinbaBA 2113b6 三、解答题 【 2012 新课标】 已知 ,abc分别为 ABC 三个内角 ,ABC 的对边，c o s 3 s i n 0a C a C b c （ 1）求 A （ 2）若 2a ， ABC 的面积为 3 ；求 ,bc。 【答案】 （ 1）由正弦定理得： c o s 3 s i n 0 s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i na C a C b c A C A C B C s i n
18、 c o s 3 s i n s i n s i n ( ) s i n13 s i n c o s 1 s i n ( 3 0 )23 0 3 0 6 0A C A C a C CA A AAA （ 2） 1 s i n 3 42S b c A b c 2 2 2 2 c o s 4a b c b c A b c ， 解得： 2bc 【 2013 新课标 1】 17、如图，在 ABC 中， ABC 90，AB= 3 ， BC=1， P 为 ABC 内一点， BPC 90 (1)若 PB=12，求 PA； (2)若 APB 150，求 tanPBA 【解析】 （ 1）由已知得， PBC= o6
19、0 ， PBA=30o，在 PBA 中，由余弦定理得 2PA = o113 2 3 c o s 3 042 =74，PA= 72； （ 2）设 PBA= ，由已知得， PB=sin ，在 PBA 中，由正弦定理得，oo3 s i ns i n 1 5 0 s i n ( 3 0 ) ，化简得， 3 c o s 4 s i n ， tan = 34， tan PBA = 34. 【 2013 新课标 2】 17 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a bcos C csin B. (1)求 B； (2)若 b 2，求 ABC 面积的最大值 【答案】 (1)由已知及
20、正弦定理得 ： sin A sin Bcos C sin Csin B 又 A (B C)， 故 sin A sin(B C) sin Bcos C cos Bsin C 由 ， 和 C(0， )得 sin B cos B， 又 B(0， )，所以 4B. (2) ABC 的面积 12s i n 24S a c B a c. 由已知及余弦定理得 4 a2 c2 2 cos4ac. A B C P 7 又 a2 c22ac，故 422ac ，当且仅当 a c时，等号成立 因此 ABC面积的最大值为 2+1 . 【 2015 新课标 2】（ 17） ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分
21、 BAC， ABD 是 ADC 面积的 2倍。 (1)求CBsinsin； (2) 若 AD =1， DC =22求 BD 和 AC 的长 。 【解析】 【 2016 新课标 1】 17. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别别为 a， b， c，已知2 c o s ( c o s c o s ) .C a B + b A c（ 1）求 C；（ 2）若 c = 7, ABC 的面积为 332 ，求 ABC 的周长 【答案】 （ 1）由 2 c o s ( c o s c o s )C a B + b A c 得 2 c o s ( c o s c o s ) s i nC s i n A
22、 B + s i n B A C，即 1cos2C ，又 (0, )C ，3C ； （ 2） 22 71c o s abCab， S A B C = 12 ab s in C = 3 32， 6ab， 2213ab 22 25a b a b a b ，所以 ABC 的周长为 57 . 【 2017 新课标 1】 17. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 23sina A。 （ 1）求 sinBsinC； （ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周长。 【答案】（ 1）由题设得 21 s i n2 3 s i naa c B
23、 A，即 1 s i n2 3 s i nacB A. 由正弦定理得 1 s i ns i n s i n2 3 s i n ACB A，故 2s in s in3BC. （ 2）由题设及（ 1）得 1c o s c o s s i n s i n ,2B C B C ，即 1c o s ( )2BC 。 所以 23BC，故 3A，由题设得 21 s i n2 3 s i nab c A A，即 8bc . 8 由余弦定理得 22 9b c bc ，即 2( ) 3 9b c b c ，得 33bc ， 故 ABC 的周长为 3 33 。 【 2017 新课标 2】 17. ABC 的内角 ,
24、ABC 的对边分别为 ,abc ， 已知 2s i n ( ) 8 s i n2BAC(1)求 cosB (2)若 6ac , ABC 面积为 2，求 b。 【答案】 （ 1）依题得： 2 1 c o ss i n 8 s i n 8 4 ( 1 c o s )22BBBB 22s in c o s 1BB， 221 6 (1 c o s ) c o s 1BB ， (1 7 c o s 1 5 ) ( c o s 1 ) 0BB ， 15cos17B， （ 2）由 可知 8sin17B 2ABCS ， 1 sin 22 ac B， 1822 17ac， 172ac， 15cos17B， 2
25、2 2 152 1 7a c bac ， 2 2 2 15a c b ， 22( ) 2 1 5a c a c b ， 23 6 1 7 1 5b ， 2b 【 2017新课标 3】 17. ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 s in 3 c o s 0AA， 27a ，2b （ 1）求 c； （ 2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 ABD 的面积。 【答案】 （ 1）由 s in 3 c o s 0AA得 2 s in 03A，即 3A k k Z，又 0,A ， 3A，得 23A，由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A
26、 ， 又 12 7 , 2 , c o s2a b A 代入并整理得 21 25c ，故 4c . （ 2） 2 , 2 7 , 4A C B C A B ，由余弦定理 2 2 2 27c o s27a b cC ab. AC AD ，即 ACD 为直角三角形，则 cosAC CD C ，得 7CD . 由勾股定理 22 3A D C D A C ，又 23A，则 2 3 2 6D A B ，1 s i n 326ABDS A D A B . 【 2018 新课标 1】 17. 在平面四边形 ABCD 中， 90ADC ， 45A ， 2AB ， 5BD （ 1）求 cos ADB ； （ 2）若 22DC ，求 BC 【解析】 9 （ 1）在 ABD 中，由正弦定理得s i n s i nB D A BA A D B 由题设知， 52s i n 4 5 s i n A D B，所以 2s i n5A D B 由题设知， 90ADB ，所以 2 2 3c o s 12 5 5A D B （ 2）由题设及（ 1）知， 2c o s s i n5B D C A D B 在 BCD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sB C B D D C B D D C B D C 22 5 8 2 5 2 25 25 所以 5BC
