1、圆锥曲线 (文科练习题） 1.（ 2011年东城区期末文 7） 已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 2y ax 的焦点 F ，且与 y 轴相交于点 A ，若 OAF （ O 为坐标原点）的面积为 4 ，则抛物线方程为（ D ） A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx 或 2 4yx D 2 8yx 或 2 8yx 2（ 2011 年房山区期末文 7） 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的一条渐近线方程是3yx ，它的一个焦点在抛物线 2 8yx 的准线上，则双曲线的方程为（ A ） A 22 13yx B 2 2 13x yC 2214 12xyD 22112
2、4xy3（ 2011 年朝阳期末文 7） 设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂线与椭 圆相交，其中的一个交点为 P ，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ A ） A 21 B 212C 22 D 227.（ 2011年东城区期末文 13） 设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂 线交椭圆于点 P ，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 答案： 21 。 8（ 2011年西城期末文 13） 已知双曲线 221xyab的离心率为 2 ，它的一个焦点与抛物 线 2 8yx 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 _ _；渐近 线方程为 _. 答案
3、： ( 2,0) ， 30xy。 11（ 2011 年海淀期末文 11） 椭圆 22125 16xy的 右 焦点 F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线 C 的 焦点也为 F ，则其 标准方程为 . 答案： (3,0) 2 12yx 。 答案： )0,5( , 120522 yx 。 16.（ 2011年东城区期末文 19） 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的长轴长为 4 ，且点 3(1, )2在椭圆上（）求椭圆的方程；（）过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 ,AB两点， 若以 AB 为直径的圆过原点，求直线 l 方程 解： （）由题意： 24a ， 2a 所求椭圆方程为 222 1
4、4xyb 又点 3(1, )2在椭圆上，可得 1b 所求椭圆方程为 2 2 14x y 5分 （）由（）知 224, 1ab，所以 3c ，椭圆右焦点为 ( 3,0) 因为以 AB 为直径的圆过原点，所以 0OA OB 若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB 的方程为 3x 直线 AB 交椭圆于 11( 3 , ) , ( 3 , )22两点， 1304O A O B ，不合题意 若直线 AB 的斜率存在，设斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 ( 3 )y k x 由22( 3 ) ,4 4 0 ,y k xxy 可得 2 2 2 2(1 4 ) 8 3 1 2 4 0k x k x k
5、由于直线 AB 过椭圆右焦点，可知 0 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则 221 2 1 28 3 1 2 4,1 4 1 4kkx x x x ， 2221 2 1 2 1 2 1 2 2( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) 3 14ky y k x x k x x x x k 所以 2 2 21 2 1 2 2 2 21 2 4 1 1 4()1 4 1 4 1 4k k kO A O B x x y y k k k 由 0OA OB，即 2211 4 014k k ，可得 2 4 2 1 1,1 1 1 1kk 所以直线 l 方程为 2 1 1 ( 3
6、)11yx 14 分 18（ 2011 年房山区期末文 20） 已知椭圆 221xyab（ ab0）的离心率 32e，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 4设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A、 B，点 A的坐标为（ a ， 0）（ ）求椭圆的标准方程；（ ）若 42|5AB，求直线 l的倾斜角；( )若点 Q0(0, )y在线段 AB 的垂直平分线上，且 4QBQA ， 求0y的值 解： （ I）由题意可知 24a ， e 32ca，得 3c ， 2 2 2b a c，解得 2 1b .-2分 所以椭圆的方程为 2 2 14x y. -3分 ( )由 （ I） 可知点 A的坐标是 (
7、 2,0).设点 B的坐标为11( , )xy，直线 l的斜率为 k，则直线 l 的方程为 ( 2)y k x. 于是 A、 B两点的坐标满足方程组 22( 2)14y k xx y -4分 消去 y并整理，得 2 2 2 2(1 4 ) 1 6 (1 6 4 ) 0k x k x k . -5 分 由 21 21 6 42 14kx k ，得 21 22814kx k ，从而1 2414ky k . 所以 2 2222 2 22 8 4 4 1| | 21 4 1 4 1 4k k kABk k k . -6分 由 42|5AB，得 224 1 4 21 4 5kk . 整理得 423 2
8、9 2 3 0kk ，即 22( 1 ) ( 3 2 2 3 ) 0kk ，解得 k= 1 .-7分 所以直线 l的倾斜角为4或 34. - 8分 ( )设线段 AB的中点为 M，由（ II）得到 M的坐标为 22282,1 4 1 4kk.以下分两种情况： (1) 当 k 0时，点 B的坐标是 (2,0)，线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是 002 , , 2 ,Q A y Q B y ，由 4QA QB，得 y 2 20 .-10分 （ 2）当 0k 时，线段 AB的垂直平分线方程为 2222 1 81 4 1 4kkyxk k k 令 0x ， 解得0 2614ky k . -11 分
9、 由 02,QA y ， 1 1 0,Q B x y y， 21 0 1 0 2 2 2 22 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y y k k k k 42224 1 6 1 5 1 414kkk， -12 分 整理得 272k ，故 147k ，所以02 145y . -13分 19.（ 2011年东城区示范校考试文 19） 已知 A（ 1， 1）是椭圆2222byax + 1（ 0ab ） 上一点，12,FF是椭圆的两焦点，且满足124AF AF（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2） 设点 ,CD是椭圆上两点，直线 ,AC AD 的倾斜
10、角互补，求直线 CD 的斜率 解： （ 1）由椭圆定义知 2a 4，所以 a 2， 2 分 即椭圆方程为2224 byx + 1 4 分 把（ 1， 1）代人得2141 b+ 1所以 b2=34 ，椭圆方程为 22344xy 1 6 分 （ 2）由题意知， AC的倾斜角不为 900, 故设 AC方程为 y=k（ x 1）十 1, 7 分 联立 14341)1_(22=+=yxxky 消去 y， 得（ 1 3k2） x2 6k（ k 1） x 3k2 6k 1 0 8 分 点 A（ 1， 1）、 C在椭圆上， xC13 1_6_322+k kk10 分 AC、 AD 直线倾斜角互补， AD的方程
11、为 y k（ x） 1， 同理 xD 22_3 6 131kkk 11 分 又 yC k（ xC 1） 1， yD k（ xD 1） 1， yC yD k（ xC xD） 2k 31_ =DCDC xx yy 14 分 21（ 2011年西城期末文 18） 已知椭圆 22:1xyCab（ 0ba ）的一个焦点坐标为 (1,0) ，且长轴长是短轴长的 2 倍 .（）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为坐标原点，椭圆 C 与直线 1y kx相交于两个不同的点 ,AB，线段 AB 的中点为 P ，若直线 OP 的斜率为 1 ，求 OAB 的面积 . 解： （）由题意得 1 , 2c a b， 2分 又
12、 221ab，所以 2 1b ， 2 2a . 3分 所以椭圆的方程为 2 2 12x y. 4分 （）设 (0,1)A ，11( , )B x y，00( , )P x y， 联立 222 2 ,1xyy kx 消去 y 得 22(1 2 ) 4 0k x k x （ *）， 6分 解得 0x 或2412kx k ，所以 12412kx k ， 所以 2224 1 2( , )1 2 1 2kkB ，2221( , )1 2 1 2kP kk ， 8分 因为直线 OP 的斜率为 1 ，所以 1 12k ， 解得 12k（满足 （ *）式判别式大于零） . 10分 O 到直线 1:12l y
13、x的距离为 25， 11分 2211( 1 )A B x y 2 53 ， 12分 所以 OAB 的面积为 1 2 2 252 3 35 . 13分 23（ 2011年朝阳期末文 18） 已知点 (4, 0)M ， (1, 0)N ，若动点 P 满足 6 | |M N M P P N （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A ， B 两点，若 1 8 1 275N A N B ，求直线 l的斜率 的取值范围 . 解： （）设动点 ( , )P x y ， 则 ( 4 , )M P x y ， ( 3, 0 )MN ， (1 , )P N x y .
14、2分 由已知得 22 )()1(6)4(3 yxx ， 化简得 223 4 1 2xy，得 22143xy. 所以点 P 的轨迹 C 是椭圆， C 的方程为 13422 yx . 6分 （）由题意知，直线 l 的斜率必存在， 不妨设过 N 的直线 l 的方程为 ( 1)y k x， 设 A ， B 两点的坐标分别为11( , )A x y，22( , )B x y. 由 22( 1),143y k xxy 消去 y 得 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k . 8 分 因为 N 在椭圆内，所以 0 . 所以212 2212 28 ,344 1 2 .34kxxkk
15、xxk 10 分 因为 21 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )N A N B x x y y k x x 1)()1( 21212 xxxxk 222222243 )1(943 438124)1( k kk kkkk ， 12分 所以 221 8 9 (1 ) 1 27 3 4 5kk . 解得 213k . 所以 31k 或 13k . 13分 24（ 2011年海淀期末理 19） 已知点 (1, )My在抛物线 2:2C y px ( 0)p 上， M 点到 抛物线 C 的焦点 F的距离为 2，直线 :l 12y x b 与抛物线交于 ,AB两点
16、 .（）求抛物 线 C 的方程；（）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程；（）若直线 l 与 y 轴 负半轴相交，求 AOB 面积的最大值 . 解： （ ）抛物线 2 2y px ( 0)p 的准线为2px， 1分 由抛物线定义和已知条件可知 | | 1 ( ) 1 222ppMF ， 解得 2p ， 故 所求抛物线方程为 2 4yx . 3分 （ ）联立2124y x byx ，消 x 并化简整理得 2 8 8 0y y b . 依题意应有 64 32 0b ，解得 2b . .4分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则1 2 1 28 , 8y
17、y y y b ， 5分 设圆心00( , )Q x y，则应有 1 2 1 200,422x x y yxy . 因为 以 AB 为直径的圆与 x 轴相切 ，得到圆半径 为0| | 4ry， 6 分 又 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( 1 4 ) ( ) 5 ( ) 4 5 ( 6 4 3 2 )A B x x y y y y y y y y b . 所以 | | 2 5 ( 6 4 3 2 ) 8A B r b ， 7分 解得 85b. .8 分 所以1 2 1 2 482 2 2 2 4 1 6 5x x b y b y b ， 所以圆心为
18、 24( , 4)5 . 故 所求圆的方程为2224( ) ( 4 ) 1 65xy . .9分 方法二： 联立2124y x byx ，消 掉 y 并化简整理得 22( 4 1 6 ) 4 0x b x b ， 依题意应有 221 6 ( 4 ) 1 6 0bb ，解得 2b . 4分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 21 2 1 24 1 6 , 4x x b x x b . .5分 设圆心00( , )Q x y，则应有 1 2 1 200,422x x y yxy ， 因为 以 AB 为直径的圆与 x 轴相切 ，得到圆半径 为0| | 4ry. 6分
19、 又2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 215| | ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 4 5 ( 6 4 3 2 )44A B x x y y x x x x x x b ， 又 | | 2 8AB r，所以有 5 ( 6 4 3 2 ) 8b， 7分 解得 85b， .8分 所以12485xx， 所以圆心为 24( , 4)5 . 故 所求圆的方程为2224( ) ( 4 ) 1 65xy . 9分 （ ）因为直线 l 与 y 轴负半轴相交，所 以 0b ， 又 l 与抛物线交于两点，由（ ）知 2b ，所以 20b ， .10分 直线 l ： 12y x b 整理得 2 2 0x y b ， 点 O 到直线 l 的距离 | 2 | 255bbd ， 11分 所以321 | | 4 2 2 4 2 22A O BS A B d b b b b . 12分 令 32( ) 2g b b b ， 20b ， 2 4( ) 3 4 3 ( )3g b b b b b ， b 4( 2, )3 43 4( ,0)3 ()gb 0 ()gb 极大 由上表可得 ()gb 最大值为 4 32()3 27g . .13分 所以当 43b时， AOB 的面积取得最大值 32 39. .14分
