1、工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 79及答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 若 4x-5y=0，且 x0，则 的值为 ( ) （ A） （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 2 已知 a1=2， a2=2，且 an=|an-1-an-2|， n=3,4,5, ，则 a20， a21和 a22的值分别是 ( ) （ A） 2,2,0 （ B） 2,0,2 （ C） 0,2,2 （ D） 0,2,0 3 如果方程 有两个不同实根，那么参数是的取值范围是( ) 4 从 6名男同学和 4名女同学中随机选出 3名同
2、学参加一项竞技测试，选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有 ( )种 （ A） 60 （ B） 80 （ C） 100 （ D） 120 5 若 的展开式中含有非零常数项，则下列数中可能是正整数 n的值的是 ( ) （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 6 分别标有号码 1,2,3, ， 9的 9个球装在一个口袋中，从中任取 4个，取出的 4个球中有 5号球的概率是( ) 7 设 an是一个无穷等比数列，公比 ，则 a1= ( ) 8 若 =( ) （ A） 9 （ B） 10 （ C） 11 （ D） 12 9 已知 a (0,1)，若函数 f(x)=logax在区
3、间 a,2a)上的最大值是最小值的 3倍，则 a=( ) 10 不等式 1 |x+1| 3的解集是 ( ) （ A） (0,2) （ B） (-2,0) (2,4) （ C） (-4,0) （ D） (-4,-2) (0,2) 11 12 13 14 如图所示，三个圆的半径均为 a，三个圆两两相交于圆心，则图中阴影部分的面积为( ) 15 一 底面直径为 4m的圆柱形水桶，其轴截面上有两点 A和 B，尺寸如题 15图所示，一蚂蚁由 A点沿桶壁爬到 B点，则 A点到 B点的最短距离是( )m 16 设 f(x)在 (-,+)内有定义，且 则 ( ) （ A） g(x)在 x=0处不连续 （ B）
4、 g(x)在 x=0处连续，但不可导 （ C） g(x)在 x=0处可导 （ D） g(x)在 x=0处的连续性、可导性与 a有关 17 若 ，则 ( ) （ A） a=1， b为任意实数 （ B） b=0， a为任意实数 （ C） a=0， b=1 （ D） a=1， b=0 18 如题 18图所示， g(x)的图形是直线段 OB， f(x)的图形是折线段 OAC，u(x)=fg(x)，则 u(4)=( ) 19 曲线 在 (-,+)上有 ( ) （ A） 1条垂直渐近线， 1条水平渐近线 （ B） 1条垂直渐近线， 2条水平渐近线 （ C） 2条垂直渐近线， 1条水平渐近线 （ D） 2条
5、垂直渐近线， 2条水平渐近线 20 下列不等式成立的是( ) 21 设 f(x)为连续函数， =( ) （ A） 0 （ B） 1 （ C） -1 （ D） 2 22 A是 n阶矩阵， |A|=0的充分必要条件是： (1) Ax=0有非零解； (2) Ax=b有无穷多解； (3) A的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1个向量线性表出； (4) A的特征值全为 0； (5) A的行向量组线性相关 以上结论正确的是 ( ) （ A） (1)(2)(3)(5) （ B） (1)(2)(4)(5) （ C） (1)(5) （ D） (1)(2)(5) 23 设 ，且 C=ATB-1，则 C-1中第
6、 3行第 2列的元素为 ( ) （ A） 4 （ B） 8 （ C） 0 （ D）以上均不正确 24 A是四阶矩阵， r(A)=3，又 1=(1,2,1,3)T， 2=(1,1,-1,1)T， 3(1,3,3,5)T， 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0的解向量，则 A*x=0的基础解系是 ( ) （ A） 1 （ B） 1,2 （ C） 1,2,3 （ D） 1,2,4 25 若 共有两个线性无关的特征向量，则 ( ) （ A） a=3 （ B） a3 （ C） a=0 （ D） a0 工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 79答案与解析 一、选择题（ 25题，每小
7、题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 【正确答案】 C 【试题解析】 2 【正确答案】 B 【试题解析】 a1=2,a2=2,a3=|a2-a1|=0,a4=|a3-a2|=2,a5=|a4-a3|=2,a6=|a5-a4|=0， 由此可见，在 a1,a2,a3, 中每 3个为 1组，分别以 2,2,0轮流出现， a20=a2=2,a21=a3=0,a22=a1=2 故应选 B 3 【正确答案】 B 【试题解析】 4 【正确答案】 C 【试题解析】 从这 10名同学中任选 3名同学的选法有 ， 3名全是男同学的选法有 故至少有 1名女同学的不同选法
8、共有 120-20=100(种 ) 故应选 C 5 【正确答案】 C 【试题解析】 依题意，有某个 0kn，使 5k=3n 故应选 C 6 【正确答案】 D 【试题解析】 7 【正确答案】 D 【试题解析】 8 【正确答案】 C 【试题解析】 9 【正确答案】 A 【试题解析】 10 【正确答案】 D 【试题解析】 如题 10图所 示，在坐标系上作出函数， y=|x+1|的图象，再作直线y=1和 y=3从图上可以看出当 x (-4,-2) (0,2)时，有 1 y3 故选 D 11 【正确答案】 C 【试题解析】 利用三角函数倍角公式有 12 【正确答案】 B 【试题解析】 设 AC上的高为
9、h，则 ABC的面积 故选 B 13 【正确答案】 C 【试题解析】 14 【正确答案】 A 【试题解析】 连接三圆的交点 A,B,C和 CD,CE如图。根据原题图的对称性，曲边形 ABF与曲边形 ABC的面积相差弓形 AmB的面积的两倍，而这两倍弓形的面积正好割下补到弓形 EnC和 CpD上，这样原来所求阴影部分的面积恰为半圆 EDm的面积。依题意，该半圆半径为 a故半圆面积为 故应选 A 15 【正确答案】 D 【试题解析】 桶壁展开图和 A点与 B点如题 15图所示， A点到 B点的最短距离为它们的连线的直线距离，根据勾股定理得 故正确的选择应为D 16 【正确答案】 A 【试题解析】
10、17 【正确答案】 D 【试题解析】 故应选 D 18 【正确答案】 C 【试题解析】 19 【正确答案】 D 【试题解析】 20 【正确答案】 D 【试题解析】 21 【正确答案】 B 【试题解析】 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 22 【正确答案】 C 【试题解析】 23 【正确答案】 B 【试题解析】 由 C=ATB-1，则 C-1=(ATB-1)-1=(B-1)-1(AT)-1=B(AT)-1，即 C-1中第 3行第 2列的元素等于 B的第 3行左乘 (AT)-1的第 2列 故应选 B 24 【正确答案】 D 【试题解析】 因 A是四阶矩阵且 r(A)=3，故 r(A*)=1
11、于是 A*x=0的基础解系应包括 n-r(A*)= 4-1=3个线性无关的解向量已知 1,2,3,4均为齐次线性方程组A*x=0的解向量，故我们考查其秩是否为 3若 r(1,2,3,4)=3，则它的一个极大无关组必为一个基础解系由 得 r=3主元所在列为 1,2,4，故 1,2,4为一个极大线性无关组因此应选 D 25 【正确答案】 D 【试题解析】 由 |E-A|=0，即 =(-2)(-3)2=0，求得 A的三个特征值为 1=2， 2=入 3=3 对于 A的一重特征值 1=2，矩阵 A只有一个属于 1的线性无关的特征向量 对于 A的二重特征值 2=3=3矩阵 A可能有一个或两个属于 =3的特征向量但 A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的而据题意， A共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3，矩阵 A只可能有一个属于它的线性无关的特征向量 这样三元方程组 (3E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2 故正确的选择应为 D
