1、2016 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则_（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点（C）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点（D）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点2 已知函数 f(x，y)= ，则_（A） =0（B） =0（C） =f（D） =f3 设 (i=1，2，3) ，其中 D1=(x，y)0x1，
2、0y1，D2=(x，y) 0x1 ，0y ，D 3=(x,y)0x1，x 2y1，则_（A）J 123（B） J312（C） J231（D）J 2134 级数 sin(n+k)(走为常数)_ （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关5 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是_（A）A T 与 BT 相似 （B） A-1 与 B-1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似 （D）A+A -1 与 B+B-1 相似6 设二次型 F(x1，x 2，x 3)=a( )+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则_（A）a1（
3、B） a0)，p 为单价(万元 ) (I)求需求函数的表达式； ()求 P=100 万元时的边际收益，并说明其经济意义17 设函数 f(x)= t 2x 2dt(x0)，求 f(x)，并求 f(x)的最小值18 设函数 f(x)连续，且满足 f(xt)dt= (xt)f(t)dt+e-x 一 1，求 f(x)19 求幂级数 的收敛域及和函数20 设矩阵 A= ，= ，且方程组 Ax= 无解()求 a 的值；()求方程组 ATAx=AT 的通解21 已知矩阵 A= ()求 A99，()设 3 阶矩阵 B=(a1，a 2，a 3)满足B2=BA记 B100=(1， 2， 3，风)，将 J1， 2，
4、 3 分别表示为 a1，a 2，a 3 的线性组合22 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(X，y) 0 2 )上服从均匀分布，令 U=(I)写出(X，y)的概率密度；()问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由；()求 Z=U+X 的分布函数 F(z)23 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，+)为未知参数，X1，X 2，X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令 T=maxX1，X 2，X 3)()求 T 的概率密度；() 确定 a，使得 E(aT)=2016 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B2 【正确
5、答案】 D3 【正确答案】 B4 【正确答案】 A5 【正确答案】 C6 【正确答案】 C7 【正确答案】 A8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 610 【正确答案】 sinlcosl11 【正确答案】 一 dx+2dy 12 【正确答案】 13 【正确答案】 4+3+22+3+4 14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 且所以16 【正确答案】 () 由题设 所以 ，可得 lnQ=ln(120p)+1nC，即 Q=C(120p) 又最大需求量为 1200，故 C=10，所以需求函数 Q=1200 一 10p ( )由(I)知
6、，收益函数 R=120Q 一 ，边际收益 R(Q)=120 一 当 P=100 时，Q=200，故当 P=100 万元时的边际收益 R(200)=80，其经济意义为：销售第 201 件商品所得的收益为 80 万元17 【正确答案】 当 0当x1 时， f(x)= (x2 一 t2)dt=x2 一 ，所以 f(x)= 而故由 f(x)=0 求得唯一驻点 x= ，又 f( )0，从而x= 为 f(x)的最小值点，最小值为 f( )= 18 【正确答案】 令 u=xt，则 f(xt)dt= f(u)du由题设 f(u)du= f(t)dttf(t)dt+e-x 一 1，求导得 f(x)= f(t)d
7、te-x，且 f(0)=-1因此 f(x)一 f(x)=e-x，从而 f(x)= = 由 f(0)=一 1，得 C=一 ，所以 f(x)=一 (ex+e-x)19 【正确答案】 因为 =x2，所以当xl 时，幂级数发散又当 x=1 时，级数 收敛，所以幂级数的收敛域为一 1，1，记f(x)= ，x1，1，则 因为 f(0)=0，f(0)=0，所以当 x(一 l，1)时，f(x) =ln(1+x)一 ln(1 一 x)，f(x)=ln(1 一 t)dt=(1+x)1n(1+x)+(1 一 x)ln(1 一 x)又 f(1)=l所以 f(x)=20 【正确答案】 (I)对矩阵(A )施以初等行变换
8、 由方程组无解知，秩（A )秩 A，即 a2+2a=0，且 a20 ，解得 a=0.()对矩阵(A T AT)以初等行变换(A T AT)= 所以，方程组ATAx=AT 的通解 x= (k 为任意常数)21 【正确答案】 () 因为 所以A 的特征值为 1=一 1， 2=一 2， 3=0当 1=一 1 时，解方程组(一 E 一 A)x=0，得特征向量 1=(1，1，0) T；当 2=2 时，解方程组(一 2EA)x=0，得特征向量2=(1，2，0) T；当 3=0 时，解方程组 Ax=0，得特征向量 3=(3，2，2) T令p=(1， 2， 3)= ，则 所以 因为 B2=BA，所以B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99，即所以22 【正确答案】 ()(X ， Y)的概率密度为 f(x，y)= ()对于0Y，Xt 由于 PU0，XfPU0)P(Xt，所以 U 与 X 不相互独立 ( )当zY，Xz) = ； 当 1z +2 ； 当 z2 时，F(z)=PU+Xz=1所以 F(z)=23 【正确答案】 () 总体 X 的分布函数为 F(x)= 从而 T 的分布函数为 FT(z)=F(z)3= 所以 T 的概率密度为 fT(z)=()E(T) 从而 E(aT)= 令 E(aT)=，得a= 所以当 a= 时，E(aT)=0
