1、2018 年考研（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 ，则( )2 下列函数中，在 x=0 处不可导的是( )（A）f(x)=|x|sin|x|（B）（C） f(x)=cos|x|（D）3 设函数 f(x)= 若 f(x)+g(x)在 R 上连续，则( )（A）a=3 ，b=1（B） a=3，b=2（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 3，b=24 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 01f(x)dx=0，则( )（A）当 f(x)0 时，（B）当 f”(x)0 时，（C）当 f(x)0 时，（D）当 f”(x)0 时，5
2、设 则( )（A）MNK（B） MKN（C） KM N（D）KNM6 7 下列矩阵中，与矩阵 相似的为( )8 设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )（A）r(A，AB)=r(A)（B） r(A，BA)=r(A)（C） r(A，B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A，B)=r(A T，B T)二、填空题9 10 曲线 y=x2+2lnx 在其拐点处的切线方程是_11 12 曲线 对应点处的曲率为_13 设函数 z=z(x，y)由方程 lnz+ez-1=xy 确定，则14 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 为线性无关的向量组若A1=
3、21+2+3，A 2=2+23，A 3=一 2+3，则 A 的实特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求不定积分16 已知连续函数 f(x)满足 0xf(t)dt+0xtf(x 一 t)dt=ax2 (I)求 f(x)； ()若 f(x)在区间0，1上的平均值为 1，求 a 的值17 设平面区域 D 由曲线 (0t2)与 x 轴围成计算二重积分18 已知常数 kln21，证明：(x 一 1)(x 一 ln2x+2klnx 一 1)019 将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值? 若存在，求出最小值20 已知曲线
4、L： (x0)，点 O(0，0) ，点 A(0，1)，设 P 是 L 上的动点，S是直线 OA 与直线 AP 及曲线 L 所围成图形的面积若 P 运动到点(3，4)时沿 x 轴正向的速度是 4，求此时 S 关于时间 t 的变化率21 设数列x n满足：x 1 0， (n=1，2，)证明x n收敛，并求22 设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中 a 是参数 (I)求f(x1，x 2，x 3)=0 的解； ()求 f(x1，x 2，x 3)的规范形23 已知 a 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵(I)求 a；()求满足
5、 AP=B 的可逆矩阵 P2018 年考研（数学二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查导数的极限定义对于 D 选项：由定义得由于 f+(0)f-(0)，因此 f(x)在 x=0 处不可导3 【正确答案】 D【试题解析】 分段点为 x=一 1，x=0当 x一 1 时，f(x)+g(x)=一 1+2+ax=1ax；当1x0 时，f(x)+g(x)=一 1+x；当 x0时，f(x)+g(x)=1+x 一 b综上知：f(x)+g(x)= 则又 f(x)+g(x)在 R 上连续，因此
6、4 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A 选项：取 f(x)= 此时 f(x)=一 10，但 对于 B、 D 选项：取 f(x)= 由 01f(x)dx=0，可得 当 f”(x)=2a0时， =b0；当 f”(x)=2a0 时 对于 C 选项：取 f(x)= ，此时 f(x)=10，但 故 D 选项正确提示：本题也可用泰勒公式展开求解 可知无论f(x)0，还是 f(x)0，都有 排除 A、C 选项5 【正确答案】 C【试题解析】 由定积分的性质，可知即 KMN故 C 选项正确6 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 可表示为 D=(x，y)|一 1x0，一 xy2一 x2(x，y)|0
7、x1，xy2 一 x2 D 关于 y 轴对称，而 xy 关于 x 为奇函数，因此7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等) 若存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 AB从而可知 EAEB，且 r(EA)=r(E 一 B) 设题中所给矩阵为 A，各选项中的矩阵分别为B1，B 2，B 3，B 4经验证知 r(E 一 B1)=2，r(EB 2)=r(E 一 B3)=r(E 一 B4)=1 因此 AB 1，即 A 相似于 A 选项下的矩阵8 【正确答案】 A【试题解析】 解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系r(AB)minr(A)，r(B)；
8、r(A ，B)maxr(A) ，r(B)由 r(E，B)=n，可知 r(A，AB)=r(A(E ，B)minr(A)，r(E，B)=r(A)又 r(A，AB)maxr(A)，r(AB)，r(AB)r(A)，可知 r(A，AB)r(A)从而可得 r(A，AB)=r(A)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由拉格朗日中值定理，得 arctan(x+1)一arctanx= ,(x，x+1)且当 x+时，+因此原式=10 【正确答案】 y=4x 一 3【试题解析】 首先求得函数 y=x2+2lnx 的定义域为 (0，+)令 y”=0，得 x=1当 x1 时，y”0；当 x1 时，y”0因此(1
9、，1)为曲线的拐点点(1，1)处的切线斜率 k=y(1)=4因此切线方程为 y 一 1=4(x 一 1)，即 y=4x 一 311 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 因此，曲线的曲率13 【正确答案】 【试题解析】 将方程 lnz+ez-1=xy 两边对 x 求偏导，得14 【正确答案】 2【试题解析】 由题可得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 由于 1， 2， 3 线性无关，因此 P=(1， 2， 3)为可逆矩阵则 因此AB，则矩阵 A、B 具有相同的特征值而|E B|= =(一 2)(一 1)2+2=0，从而可知 B 的实特征值为 2，A 的实特征值为
10、 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (I)令 u=x 一 t，则 t=xu，dt=一 du因此 0xtf(x-t)dt=0x(x-u)f(u)du=x0xf(u)du0xuf(u)du 从而 0xf(t)dt+0xtf(x 一 t)dt=ax2 可转化为 0xf(t)dt+x0xf(u)du0xuf(u)du=ax2 将上式两边关于 x 求导，得 f(x)+ 0xf(u)du+xf(x)一 xf(x)=2ax 即 f(x)+0xf(u)du=2ax 将上式两边关于 x 求导，得 f(x)+f(x)=2a 由通解公式，可求得上述一阶非齐次
11、线性微分方程的通解为 f(x)=e -1dx(2ae1dx+C)=e-x(C+2aexdx) =e-x(2aex+C) 又 f(0)=0，则可得 C=一 2a因此 f(x)=2a(1 一 e-x)()由于则有 012a(1-e-x)dx=(2ax+2ae-x)|01=2ae-1=117 【正确答案】 题中所给曲线是一条拱线，平面区域 D 可表示为 0x2，0yy(x)因此 =02dx0y(x)(x+2y)dy=02(xy+y2)|0y(x)dx=02xy(x)+y2(x)dx 下面利用换元法求解令 x=tsint，y(x)=1 一 cost，则=02(t-sint)(1 一 cost)+(1
12、一 cost)2d(t-sint)=02(t 一 sint)(1 一 cost)2+(1 一 cost)3dt=02t(1 一 cost)2 一 sint(1-cost)2+(1-cost)3dt而 02t(1 一 cost)2dt=02(t 一 2tcost+tcos2t)dt=而 02t(1 一 cost)2dt=02(t一 2tcost+tcos2t)= 02sint(1一 cost)2dt=02(1 一 cost)2d(1 一 cost)= 02(1 一 cost)3dt=02(13cost+3cos2tcos3t)dt18 【正确答案】 当 x=1 时，显然所证成立 当 x1 时，令
13、 f(x)=x 一 ln2x+2klnx一 1(x 0)，求导得 令 g(x)=x 一 2lnx+2k，求导得令 g(x)=0，得驻点 x=2当 0x1 时，g(x)0，因此 g(x)在(0， 1)上单调递减，则 g(x)g(1)=1+2k1+2(ln21)=2ln210因此 f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增，故 f(x)f(1)=0在(0，1)上，由 x 一 10，f(x)0，可得 (x 一 1)(x 一 ln2x+2klnx 一 1)0当 x1 时，可知当 1x2 时，g(x)0；当 x2 时，g(x)0因此 g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，则 g(x)
14、g(2)=22ln2+2k22ln2+2(ln2 1)=0因此 f(x)0，f(x)在(1，+) 上单调递增，故 f(x)f(1)=0在(1，+) 上，由 x 一 10，f(x) 0，可得 (x 一 1)(x 一 ln2x+2klnx 一 1)0综上所述：当 x0 时，不等式(x 一 1)(x 一ln2x+2klnx 一 1)0 恒成立19 【正确答案】 设分割后的三段铁丝的长分别为 x，y，z，则 x+y+z=2从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题从而得唯一驻点(一 2，一8， )由问题的实际背景可知，在该驻点处，S 取得最小值因此20 【正确答案】 设点 P 坐标为 ，则所围图
15、形的面积为其中，前者为直线 AP 与直线x=x(t)及 x 轴、y 轴所围梯形的面积，后者为曲线 与直线 x=x(t)及 x 轴所围曲面图形的面积S 为两者之差则 S 关于时间 t 的变化率为又已知当 x(t)=3 时，x(t)=4，代入上式，可得 S(t)|x=3=1021 【正确答案】 设 f(x)=ex 一 1 一 x(x0)，则有 f(x)=ex 一 10，因此 f(x)f(0)=0， 从而 可知 x20猜想 xn0，现用数学归纳法证明当 n=1 时， x10，成立；假设当 n=k(k=2，3，)时，有 xk0，则 n=k+1 时，有 从而得知无论 n 取任何自然数，都有 xn0，即数
16、列x n有下界又 xn+1 一 xn= 设 g(x)=ex 一 1 一 xex当x0 时，g(x)=e x 一 ex 一 xex=一 xex0因此 g(x)单调递减，g(x)g(0)=0 ，即有ex-1xe x，因此 xn+1 一 xn= ln1=0，可知数列x n单调递减由单调有界准则可知数列x n收敛设 ，则有 AeA=eA 一 1(A0)可知 A=0 是该方程的解因为当 x0 时，g(x)=e x 一 1 一 xexg(0)=0因此 A=0 是方程 AeA=eA一 1 唯一的解故22 【正确答案】 (I)由 f(x1，x 2，x 3)=0 得 当a2 时，方程组有唯一解：x 1=x2=x
17、3=0当 a=2 时，方程组有无穷解：令 x1=1，可得解 kR ()当 a2 时，做非退化的线性变换 此时f(x1，x 2，x 3)的规范形为 f=y12+y22+y32当 a=2 时，做非退化的线性变换则 f(x 1，x 2，x 3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2则 f(x1，x 2，x 3)的规范形为f=z12+z2223 【正确答案】 (I)由题意知，|A|=|B|，且 r(A)=r(B)由于因此可得 a=2()求满足 AP=B 的可逆矩阵 P，即求方程组 Ax=B 的解令 P=(1， 2， 3)，B=(1， 2， 3)，x=(x 1，x 2，x 3)，则可得方程组 Ax1=1 的基础解系为(一 6，2，1)T，特解为(3 ，一 1，0) T； 得方程组 Ax2=2 的基础解系为(一 6，2，1) T，特解为(4，一 1，0) T； 得方程组 Ax3=3 的基础解系为(一 6，2，1) T，特解为(4，一 1，0)T从而可知三个非齐次方程组的通解为 1=x=k1(一 6，2，1) T+(3，一 1，0) T； 2=x2=k2(一 6，2，1) T+(4，一 1，0) T； 3=x3=k3(一 6，2，1) T+(4，一 1，0) T由 P 为可逆矩阵，即|P|0，可知 k2k3因此 k1，k 2，k 3 为任意常数，且 k2k3
