1、GCT 工程硕士（初等代数）数学历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （2004 年真题）实数 a，b，c 在数轴上的位置如图 21 表示，图中 O 为原点，则代数式|a+b|-|b-a|+|a-c|+c= 。（A）-3a+2c（B） -a-n6-2c（C） a-2b（D）3a2 （2004 年真题）argz 表示 z 的辐角，今又 =arg(2+i)，=arg(-1+2i)，则 sin(a+)= 。3 （2006 年真题）复数 z= 的共轭复数 是 。（A）i（B） -i（C） 1（D）
2、-14 （2008 年真题）i 是虚数单位，(1+i) 6 的模等于 。（A）64（B）（C） 8（D）5 （2010 年真题）若复数 z=1+i+ +i3，则|z|= 。（A）（B）（C） 1（D）26 （2005 年真题）已知 x-y=5 且 z-y=10，则 x2+y2+z2-xy-yz-xx= 。（A）50（B） 75（C） 100（D）1057 （2007 年真题）当 x-1 和 x-2 时， 恒成立，则 。（A）m=-2，n=3（B） m=-3， n=2（C） m=2，n=-3（D）m=3 ， n=-28 （2011 年真题）若 x= ，则代数式 x(x+1)(x+2)(x+3)的
3、值为 。（A）-1（B） 0（C） 1（D）29 （2003 年真题）函数 y1=f(a+x)(a0)与 y2=f(a-x)的图形关于 。（A）直线 x-a=0 对称（B）直线 x+a=0 对称（C） x 轴对称（D）y 轴对称10 （2010 年真题）函数 f(x)是奇函数，g(x) 是以 4 为周期的周期函数，且 f(-2)=g(-2)=6。若 ，则 g(0)= 。（A）2（B） 1（C） 0（D）-111 （2011 年真题）若函数 f(x)是周期为 6 的奇函数，则的值等于 。12 （2006 年真题）方程 x2-2006|x|=2007 所有实数根的和等于 。（A）2006（B） 4
4、（C） 0（D）-200613 （2008 年真题）两个正数 a，b(a b)的算术平均值是其几何平均值的 2 倍，则与 最接近的整数是 。（A）12（B） 13（C） 14（D）1514 （2007 年真题）方程 +|z+2y|=0 的解为 。15 （2006 年真题）设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1，其图象过点(2，0)，则 = 。（A）3（B） 2（C） -2（D）-316 （2009 年真题）如图 211 所示， 直角坐标系 xOy中的曲线是二次函数 y=f(x)的图象，则 f(x)= 。（A）-x 2-6x-5（B） x2-4x-5（C） -x2+6x-
5、5（D）x 2+4x-517 （2005 年真题）3 个不相同的非 0 实数 a，b，c 成等差数列，又 a，c，b 恰成等比数列，则 等于 。（A）4（B） 2（C） -4（D）-218 （2009 年真题）若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12则这两数之差的绝对值等于 。（A）7（B） 9（C） 10（D）1819 （2011 年真题）已知数列 a1，a 2，a n，的通项是 an= ，则该数列前 101 项的和等于 。（A）2651（B） 2601（C） 2551（D）250120 （2008 年真题）5 个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15
6、，这 5 个数的平均值是 。（A）188（B） 84（C） 56（D）4221 （2004 年真题）将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是 。22 （2006 年真题）桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各 1 本的概率是 。23 （2009 年真题）甲盒中有 200 个螺杆，其中 A 型的有 160 个；乙盒中有 240 个螺母，其中 A 型的有 180 个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成 A 型螺栓的概率为 。24 （2011 年真题）有长 1cm，2cm，3cm ，
7、4cm，5cm ，6cm 的 6 根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为 。25 （2007 年真题）有两个独立的报警装置，在紧急情况发生时各报警装置发出信号的概率分别是 095 和 092。则紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是 。（A）0920（B） 0935（C） 0950（D）0996GCT 工程硕士（初等代数）数学历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了实数与数轴上点的对应关系及绝对值的概念。本题的关键就是要正确去
8、掉绝对值符号，从题中图上可知 ba0c，所以|a+b|-|b-a|+|a-c|+C=-(a+b)-(a-b)+(c-a)+c=-3a+2c。故正确选项为 A。【知识模块】 数与代数式2 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了复数辐角的三角函数值与其实部和虚部的关系及两角和的正弦公式，将复数与复平面上的点联系起来是处理此类问题的常用方法。如图 23 所示，易知所以 sin(+)=sinaco+cosasin= 故正确选项为 D。【知识模块】 数与代数式3 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念。由于 z= =-i，所以 =1。故正确选项为 A。【知识模块
9、】 数与代数式4 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了复数模的概念与计算。|(1+i) 6|=|1+i|6= =8。故正确选项为 C。【知识模块】 数与代数式5 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了虚数单位与复数模的概念，考查了复数的简单运算与模的计算。因为 所以|z|=|-1-i|= 故正确选项为 A。【知识模块】 数与代数式6 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了两数差的平方公式和简单的配方运算，根据题中条件，如何将平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键。解法 1 由于 x-y=5，z-y=10，所以 z-x=5，从而 x2+y2+z2-xy-yz-z
10、x= (x-y)2+(z-y)2+(z-x)2=75。故正确选项为 B。解法 2 特殊值代入法。取 y=0，则 x=5，z=10，所以x2+y2+z2-xy-yz-zx=52+102-105=75。【知识模块】 数与代数式7 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了分式运算、因式乘法与多项式相等的概念。解法 1因为 所以(m+n)x+(2m+n)=x-1，比较系数得 解得 m=-2，n=3。故正确选项为 A。解法 2 取值代入法。由于等式 对 z-1 和 x-2 的所有 x 都成立，特别地对x=0 和 x=1 也成立，所以 解得 m=-2，n=3。【知识模块】 数与代数式8 【正确答案】
11、A【试题解析】 本题主要考查了代数运算及两数平方差公式。解法 1x(x+1)(x+2)(x+3)= =-1。故正确选项为 A。解法 2本题利用排除法也很简单。因为 x= 0，x+10，x+20，x+3 0，所以x(x+1)(x+2)(x+3)0 故正确选项只能是 A。【知识模块】 数与代数式9 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了函数图形的概念及平面上关于直线对称的点的坐标之间的关系。解法 1 记 g(x)=f(a+x)，h(x)=f(a-x) ，由于 g(x)=f(a+x)=fa-(-x)-h(-x)，所以曲线 y=g(x)上的点(x，g(x) 关于直线 x=0(y 轴)的对称点(-
12、x ，g(x)=(-x ，h(-x)在曲线 y=h(x)上，类似地可以证明曲线 y=h(x)上的点关于直线 x=0(Y 轴)的对称点也在曲线 y=g(x)上，所以函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图形关于 y 轴对称。故正确选项为 D。解法 2 特殊值代入法。取 f(x)=x，a=1，则 y1=f(1+x)=1+x 与 y2=f(1-x)=1-x是两条关于 y 轴对称的直线(如图 24 所示)。【知识模块】 集合与函数10 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了奇函数、周期函数的概念与性质，考查了函数的复合运算。因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)=0，且由 f(-2)=6
13、知 f(2)=-6又 g(-2)=6，所以 由于 g(x)的周期为 4，所以 g(12)=g(-120)=g(0)。由题设知 ，解得 g(0)=2。故正确选项为 A。【知识模块】 集合与函数11 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查了奇函数的性质、周期函数的概念、三角函数的倍角公式和特殊角的三角函数值。因为 f(x)是周期为 6 的奇函数，所以 f(6)=f(0)=0，f(-7)+f(1)=f(-1)+f(1)=0。从而故正确选项为A。【知识模块】 集合与函数12 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查绝对值和代数方程的概念及对称性的运用。解法 1 因为 x2=|x|2，所以方程 x
14、2-2006|x|=2007 与|x| 2-2006|x|-2007=0 等价。由于=(-2006) 2-4(-2007)0 ，所以上述二次方程必有实数根，又由于该方程的左端关于正、负 x的值不变，所以当 x 是方程的一个根时，-x 也为其根，从而方程 x2-2006|x|=2007所有实数根之和等于 0。故正确选项为 C。解法 2 利用二次代数方程求根公式，方程|x| 2-2006|x|-2007=0 之根为 由绝对值的概念可知原方程的根满足条件 所以该方程的根为从而方程 x2-2006|x|=2007的所有实数根之和 x1+x2=0。解法 3 当 x0 时，由 x1-2006x=2007
15、解得当 x0 时，由 x1+2006x=2007 解得所以方程 x2-2006|x|=2007 的所有实数根的和等于0。【知识模块】 代数方程和一元二次函数13 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了算术平均数与几何平均数的概念和一元二次方程的性质。解法 1 根据题意可知 ，而 b0，所以 设 x2-14x+1=0 的两个实根分别为 x1，x 2，由于 x1+x2=14，x 1x2=1，且 x1，x 2 非负，所以135maxx 1，x 2)14 ，又 是其中大于 1 的实根，所以与 最接近的整数是14。故正确选项为 C。解法 2 根据题意可知 ，而 ab0，故可得此方程的根为 因为 a
16、b0，故取 于是故正确选项为 C。解法 3 选项验证法。根据题意可知 ，而 b0，所以 +1=0。综上可知与 最接近的整数是 14。【知识模块】 代数方程和一元二次函数14 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了绝对值和算术根的概念及简单代数方程组求解。解法 1 由于 与|x+2y|非负且 +|x+2y|=0，所以故正确选项为 D。解法 2 选项验证法。易知 所以正确选项只能是 D。【知识模块】 代数方程和一元二次函数15 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了一元二次函数图象的对称轴和数的简单运算。解法 1 由于 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x= ，根据题意可知 =1，又
17、因为其图象过点(2，0)，所以 4a+2b+c=0，由 =1 及 4a+2b+c=0 可得 c=0， =-2，从而故正确选项为 D。解法 2NNA(2，0)关于直线x=1 的对称点是(0，0)，所以根据题意可知点(2，0)与(0，0)均在 f(x)=ax2+bx+c 的图象上，故 以下同解法 1。【知识模块】 代数方程和一元二次函数16 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查一元二次函数的图象(开口方向与对称轴方程)。解法 1由图 211 知抛物线的开口朝上且对称轴为 ，在 4 个选项中只有 y=x2-4x-5 符合题意。故正确选项为 B。解法 2 从图 211 中可以看出 f(-1)=f
18、(5)=0，在4 个选项中满足此条件的只有 y=x2-4x-5。故正确选项为 B。【知识模块】 代数方程和一元二次函数17 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了等差数列和等比数列的性质及一元二次方程的解法。解法 1 根据条件可知 2b-a+c，c 2=ab，从而 由于1，所以解得 故正确选项为 A。解法 2 排除法。根据条件可知ab=c2，所以 0，故选项 C，D 可被排除，又由 2b=a+c 可知 2= 且 0，故 2，这样选项 B 也被排除，故正确选项为 A。【知识模块】 数列18 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了等比数列、等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方式。解法
19、1 设两个正数分别为 a，b，根据题设可知故正确选项为 D。解法 2 由 得 b2-306+144=(b-24)(b-6)=0，进一步得或 所以|a-b|=18，故正确选项为 D。【知识模块】 数列19 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查了等差数列前 n 项和公式、组合法。因为故正确选项为 B。【知识模块】 数列20 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了分组问题及平均数的概念与计算。设 5 个不同数分别为 a，6，c ，d，e ，根据题意可知故正确选项为 D。【知识模块】 排列、组合、二项式定理21 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了等可能事件的概率公式及简单的组合问
20、题。由于球与格子没有强调不同，每调出 5 个格子就会得到一种放球的方式，所以将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，共有 C85 种放法；为了保证 3 个空格相连，将 3个格子作为 1 个，3 个空格相连的不同放法共有 C51 种，因此所求的概率为故正确选项为 C。【知识模块】 古典概率问题22 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式。从 15本书中任取 3 本的不同取法共有 C155，三种书各有 1 本的不同取法共有C61C61C31，所以要求的概率为 故正确选项为C。【知识模块】 古典概率问题23 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了
21、等可能事件的概率公式和分步求积的计数原理。解法 1根据题意，从甲、乙两盒中各任取一个零件配在一起，共有 200240 种情况，其中有 160180 种是 A 型螺栓，所以要求的概率是 p= 故正确选项为C。解法 2 本题也可以利用独立事件的概率乘法公式直接求得【知识模块】 古典概率问题24 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了等可能事件概率的计算、组合数公式、三角形边长之间的关系。从给定的 6 根木条中任取 3 根，不同的取法有 C63= =20 种，根据三角形边长之间的关系可知，能构成三角形的情况共有 7 种，它们分别是2，3，4，2，4，5，2，5，6，3，4，5，3，4，6，3，
22、5，6，4，5，6，所以要求的概率为 故正确选项为 D。【知识模块】 古典概率问题25 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系。解法 1 设两个报警装置在紧急情况发生时发出信号分别为事件 A，B ，则 P(A)=0 95，P(B)=092由条件可知，在紧急情况发生时，每个报警装置不发出信号的概率分别是 =1-P(A)=005 与 =1-P(B)=008，由于两个报警装置是独立的，所以两个报警器同时均不发出信号的概率是=0050 08=0004，从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是 故正确选项为D。解法 2 由于两个报警装置相互独立，所以紧急情况发生时恰有一个报警器发出信号的概率为 =095008+0920 05=0122，两个报警器都发出信号的概率为 P(A)P(B)=0950 92=0874从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是=0122+0 874=0996 解法 3 本题利用排除法最简单，因为紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率肯定要比单个报警器发出信号的概率大，所以在给出的 4个选项中正确的只可能是 D 选项。【知识模块】 古典概率问题
