1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导数的应用）模拟试卷 1 及答案与解析选择题1 如图 132 所示，当 x(a，b)时，有 f(x)0，f“(x) 0，则 f(x)的图形只可能是( )2 函数 y=f(x)在 x=0 处有极小值，那么该函数应为( )（A）y=|sinx|+3（B） y=cosx（C） y=sinx（D）y=2x 33 已知导函数 f(x)的图形如图 133，则函数 f(x)的极大值点为( )（A）x=x 1（B） x=x2（C） x=x4（D）x=x 54 设曲线 y=x3+ax 与曲线 y=bx3+c 相交于点(一 1，0)，并在该点处有公切线，则( )5 高为 1
2、0 米，底半径为 5 米的正圆锥体，其高以每秒 01 米的速度均匀减小，底半径又以每秒 005 米的速度均匀增加，则当高为 8 米时，圆锥体体积的变化速度为( )（A）02(米 3秒)（B） 04( 米 3秒)（C） 06( 米 3秒)（D）08(米 3秒)6 已知红星加工厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=100+ (元)，要使平均成本最小，所应生产的产品件数为( )（A）10( 件)（B） 50(件)（C） 20(件)（D）100( 件)7 已知某服装的价格是产量 x 的函数，为 成本函数为 C(x)=50+2x，要使总利润 L 最大，产量应为( )（A）10( 件)（B） 20(件)（
3、C） 50(件)（D）100( 件)8 某工厂生产某种产品，固定成本 20 000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100元，因此，若年产量为 x 单位，则总成本函数为 C(x)=20 000+100x(元) ，已知总收益 R 是年产量 x 的函数 R=R(x)= 则总利润最大时，年产量应为( ) （A）300( 单位)（B） 100(单位)（C） 50(单位)（D）80( 单位)9 设 f“(x0)存在，则 等于( )（A）f“(x 0)（B） f“(0)（C） f(x0)（D）f(x 0)10 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若 af(
4、h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，则 a，b 的值为( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=一 1（C） a=2b=一 1（D）a=1 b=211 设 f(x)在0，a上二阶可导，且 xf“(x)一 f(x)0，则 在区间(0，a)内是( )（A）不增的（B）不减的（C）单调增加的（D）单调减少的12 设 则在点 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在13 已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，若 f(x0)=0
5、(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点14 设 则有( ) （A）函数为单调增加函数（B）函数有极值但无拐点（C）函数有拐点但无极值（D）函数为单调减少函数15 已知函数 f(x)在区间(1 一 ，1 一 )内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且f(1)=f(1)=1，则 ( )（A）在(1 一 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1 一 ，1)和(1，1+)内均有 f(x)
6、x（C）在 (1 一 ，1)内，f(x)x，在(1，1+)内，f(x)x（D）在(1 一 ，1) 内，f(x)x,在(1，1+)内，f(x)x填空题16 设 f(x)可导，且满足条件 则曲线 y=f(x)在 x0=1 处的切线斜率是_17 若直线 2x+y+b=0 是曲线 y=x2 在某点处的切线方程，则 b=_18 函数 f(x)= 在一 5，1上的最大值为_19 设常数 k0，函数 f(x)= 在(0，+)内零点个数为_.20 函数 的零点个数为_，其中 a1a 2a 321 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为_22 曲线 与直线 x=一 1 的交点为 P，则曲线 在
7、 P 点的切线方程为_23 函数 的向上凸的区间是_24 企业生产甲、乙两种产品，销售价格分别为 P1=12(万元)，P 2=18(万元)，总成本C 是两种产品产量 x 和 y(单位为台)的函数，C(x，y)=2x 2+xy+2y2+4(单位为万元)企业可得到的最大利润是_25 某企业的一种产品同时在两个市场上销售，销售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为 q1 和 q2，需求函数分别为 q1=24 一 02p 1 和 q2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，则企业在两个市场上共得到的最大利润是_计算题26 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极值一
8、2，试确定 a，b 的值，并指出 f(x)的凹凸区间27 在抛物线 x=y2 的张口内作圆心在 P0(x0，0)的圆 (x00)与上述抛物线相切，即两曲线在切点处有相同的切线，如图 131 所示 (1)求出该圆的半径 (2)当点 P0 在正 x 轴上移动时，求这种圆的最小半径28 已知函数 f(x)在 x=1 处有极值一 2，f(0)=0，且 f(x)=3x2+2ax+b，试求 a，b 及所有极值点，并指出是极大还是极小值点29 出版社要为一种新书确定印数及定价，已知生产并销售 x 本书的成本为：C=25 000+5x 元，根据经验，当定价 P5 元时，印数 x 与定价 P 之间的关系为：问定
9、价 P 与印数 x 各为多少时利润最大30 设曲线 y=etx(t 为参数)在点 M(0，1) 处的切线 L 与 x 轴、y 轴所围图形的面积为St，求31 在曲线 C：y=x 2 上 x0=1 点处作切线 L，求 L 与曲线 C 及 x 轴所围区域图形的面积32 从经济学的理论可知，一个工厂产品的产量 W 与投入的劳动力数量 x 及固定资本 y 的函数关系是 W=cxy1-，其中 c 和 (01)为常数今已知每个劳动力与每单位固定资本的成本分别为 p 元和 q 元，p，q0，若有预算 A 元，问应如何分配这笔钱用于购买劳动力和补充固定资本，能使产品产量最大?33 设 f(x)为可导函数，且满
10、足条件 求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率34 设曲线 y1=ax+lnx 和曲线 y2=bx2+cex 在点(1，2)相交且相切，试求 a，b，c ，并求公切线方程35 若一条二次曲线把在(一，0)内的曲线弧 y=ex 和在(1，+)内的曲线 连成一条一阶可导的曲线，求定义在0，1上的这条二次曲线 y=ax2+bx+c 的表达式36 (1)曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，试求 a 与 b； (2)求曲线 xy=yx 在点(1，1)处的切线方程及法线方程37 求曲线 xy=x2y 在(1，1)点处的切线方程38 过原点引抛物线
11、y=x2+x+1 的两条切线，试求这两条切线的方程MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导数的应用）模拟试卷 1 答案与解析选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(a， b)时，有 f(x)0，所以 f(x)单调不减，可排除选项(C)和(D)又当 x(a，b)时，f“(x)0，所以 f(x)的曲线在(a，b) 内上凸(或下凹)由此可知本题应选(B) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由|sinx|0，则 y=|sinx|+33，且在 x=0 处取得极小值 3，故应选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由导函数 f(x)的图形可看出： f(x
12、 2)=0，f(x 4)=0， 即 x=x2 和 x=x4为 f(x)的驻点又当 x(x1，x 2)时，f(x)0；当 x(x2，x 3)时，f(x) 0，所以x=x2 为 f(x)的极大值点，故本题应选(B) 注：类似可知 x=x4 为 f(x)的极小值点；而 x1，x 5 不是极值点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由两曲线有交点(一 1，0)，可知有 0=(一 1)3 一 a 与 0=b(一 1)3+c，即有 a=一 1 且 b=c 又由两曲线在(一 1，0)点处有公切线，可知有(x 3+ax)|x=-1=(bx3+c)|x=-1，即得 3+a=3b，于是有 a=一
13、1， 正确答案为(D) 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 设时间为 t，圆锥高为 h，底半径为 r，体积为 V，由题设有由此可得 h(t)=1001t， r(t)=5+005t， V(t)= 2r(t)r(t)h(t)+r2h(t)，所以，当 h=8(米)时，知 t=20 秒，这时 r(20)=6(米) 于是有 V(20)= 26 0058+6 2(一 01)=0 4( 米 3秒) 正确答案是(B)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 平均成本为【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 总收益为 总利润 L(x)=R(x)一 C(x)=令 L(x
14、)=0，得 x=20，L“(20)0，所以当 x=20时，总利润最大【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 总利润函数令 L(x)=0，得x=300， L“(x)=一 10，所以 x=300 时，L 最大，故应选(A) 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 所以应选(A)【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件知由于 f(0)0，故必有 a+b一 1=0又由洛必达法则，有因 f(0)0，故a+2b=0于是得 a=2，b=一 1所以应选(C)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 由 在区间(0，a)内是单调增加的所以应选(
15、C) 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 因为 即 f(a)=0又在 a 的某一去心邻域内有 ，即 f(x)一 f(a)0，所以 f(x)在 x=a 处取极大值所以应选(B) 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 由方程 xf“(x)+3xf(x) 2=1e-x，得所以 f(x)在 x0 处取得极小值所以应选(B) 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，虽有 y0，但有间断点x=0，故在整个定义域内非单调又 y无零点，无极值，由排除法也可判定 (C)正确所以应选(C) 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(
16、x)=f(x)一 x，则F(1)=f(1)一 1=0，F(x)=f(x)一 1，F(1)=f(1)一 1=0，F“(x)=f“(x) ，由 f(x)在(1 一 ，1+) 内严格单调减少知， F“(x) 0从而 F(x)在(1 一 ，1+)一内单调减少，即 x(1 一 ，1)时，F(x)F(1)=0； x(1，1+)时，F(x) F(1)=0 当 x(1 一 ，1) 时，由 F(x)c ，知 F(x)单增，即 F(x)F(1)=0，也即 f(x)x；当 x(1，1+)时，由 F(x)C，知 F(x)单减，即 F(x)F(1)=0，也即 f(x)x【知识模块】 微积分填空题16 【正确答案】 一
17、2【试题解析】 因为 得 f(1)=一 2，故 y=f(x)在 x0=1 处的切线斜率是一 2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 1【试题解析】 设直线 2x+y+b=0 与 y=x2 相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为 k=一 2，所以有 得 x0=一 1，y 0=x02=1，而(x 0，y 0)在直线 2x+y+b=0 上，所以一 2+1+b=0，得 b=1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 依题意【知识模块】 微积分19 【正确答案】 2【试题解析】 由 f(x)= 知，x=e 为 f(x)的驻点当 0xe 时，f(x)0，故 f(x)在区间(0，e
18、)内单调增加；当 xe 时， f(x)0，故 f(x)在区间(e，+)内单调减少，且 由介值定理知，f(x)在区间(0，e)和区间(e，+)内各存在一个零点【知识模块】 微积分20 【正确答案】 2【试题解析】 易知，当 xa 1 时，y(x)0；当 xa 3 时，y(x)0因此，函数 y(x)在(一 ，a 1)及(a 3，+)内无零点，其零点只可能在(a 1，a 2)和(a 2，a 3)中 因为可知 y(x)0，x (a1,a2)或x(a2，a 3)故 y(x)在(a 1，a 2)内严格单调下降，在(a 2，a 3)内也严格单调下降 又由 可知连续函数 y(x)在(a 1，a 2)内有且仅有
19、一个零点同理可知，y(x) 在(a 2，a 3)内有且仅有一个零点 总之，函数 y(x)共有两个零点，它们分别在(a 1，a 2)与(a 2，a 3)内【知识模块】 微积分21 【正确答案】 2【试题解析】 y=2(x1)(x 一 3)2+2(x 一 1)2(x 一 3)， y“=2(x 一 1)2+8(x 一 1)(x 一3)+2(x 一 3)2=4(3x2 一 12x+11)令 y“=0，得 显然，一xx 1 时，y“(x)0，x 1xx 2 时，y“0，x 2x+时，y“0所以原曲线有两个拐点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 2xy+3=0【试题解析】 易得 P 点的坐标为(一 1
20、，1)又由 ，得 y(一 1)=2故切线方程为 y 一 1=2(x+1)，即 2xy+3=0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (0，2) 【试题解析】 通过求导可以知道，在(一，0)(2 ，+) ，y“ 0，在(0，2)内，y“ 0故在(0 ，2)内函数是向上凸的【知识模块】 微积分24 【正确答案】 44 万元【试题解析】 收入函数为 R(x，y)=P 1x+P2y=12x+18y利润函数为 L(x，y)=R(x，y) 一 C(x，y)=(12x+18y) 一(2x 2+xy+2y2+4)得唯一驻点 P(2，4)，则 L xx“=-4，L xy“=Lyx“=一 1，L yy“=一 4，
21、 所以驻点 P(2，4)为极大值点，也是最大值点 Lmax=9652=44(万元)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 605【试题解析】 由题设条件，两个市场的逆需求函数为 p 1=1205q1，p 2=20020q2总收入函数 R=p1q1+p2q2=(1205q1)q1+(20020q2)q2总利润函数 L=RC=80q15q12+160q220q22 一 35，令 得 q1=8，q 2=4可判定 q1=8，q 2=4 为极大值点，也是最大值点，或由问题的实际意义直接判定q1=8，q 2=4 为极大值点，由此可得 q1=8，q 2=4 时，公司可获得最大利润：【知识模块】 微积分计算题
22、26 【正确答案】 由函数 f(x)取极值的必要条件，有 f(1)=0，即 f(1)=(3x 2+2ax+b)|x=1=3+2a+b=0 又 f(1)=一 2，所以 f(1)=1+a+b=一 2 由解得：a=0，b=一 3 f“(x)=6x+2a=6x=0 ，得 x1=0 当 x(一 ，0)时，f“(x)0，曲线 f(x)上凸； 当 x(0，+)时，f“(x)0，曲线 f(x)下凹【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1)如图 131，设抛物线 x=y2 与圆的切点为 P(x，y)由隐函数的微分法，在 x=y2 两边对 x 求导，得 1=2yy ，即 所以，过点 P(x，y)的两曲线的公切
23、线的斜率 又此公切线与 PP0 垂直，PP 0 的斜率即 所以 x=x 0 一 注意到 P(x，y)在曲线 x=y2 上，得 由此可得内切圆半径(勾股定理 ) (2)当 P 点在正 x 轴上移动时，将 r 视为 x0 的函数求极值，令 即 r 为 x0 的单调增函数因为 x0 ，+)，所以 r 在 x0= 处取得最小值【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 f(x)=3x2+2ax+b，所以 f(x)=f(x)dx=x 3+ax2+bx+C，得解方程组得 a=0，b=一 3，即 f(x)=3x 2 一 3， 令f(x)=0，得驻点 x=1 或一 1，又 f“(x)=6x，所以，f“(1)
24、0，f“( 一 1)0，于是当x=1 时，有极小值 f(1)=一 2，当 x=一 1 时，有极大值 f(一 1)=2【知识模块】 微积分29 【正确答案】 利润函数 L=xPC，而由已知条件，有=一 200P2+7 000P 一55 000令 L=一 400P+7 000=0，得 P=17 5又 L“=一 4000，所以 P=175是 L 的极大值点，也是最大值点此时 即定价P=175 元，印数 x=2 500 本时可获最大利润【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 y=tetx，可得 y|x=0=t，所以曲线 y=etx 在点 M(0，1)处的切线 L的方程为 y 一 1=tx，即 y=
25、1+tx切线 L 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点(0，1)所以切线 L 与 x 轴、y 轴所围图形面积为 (t0) 于是有【知识模块】 微积分31 【正确答案】 如图 134，所求区域面积为图中阴影部分的面积 SS=01x2dx 一 S1(S1 为三角部分面积)切线 L 的方程为 y 一 1=2(x 一 1)，即 y=2x 一 1，L 与 x 轴的交点为 则【知识模块】 微积分32 【正确答案】 令 F(x，y)=cx y1-+(A-px 一 qy)，则有由和可得 q(1 一 )y=px， 代入到可得【知识模块】 微积分33 【正确答案】 求切线斜率即求 f(1)，由已知条件，故已知条件
26、，有 故点(1，f(1)处的切线斜率为一 2【知识模块】 微积分34 【正确答案】 由题目条件知，y 1(1)=y2(1)，y 1(1)=y2(1)，代入具体函数和导数，得 解得 a=2，b=1，c=1e，y 1(1)=2+1=3 公切线方程为 y 一 2=3(x 一 1)，即 y=3x 一 1【知识模块】 微积分35 【正确答案】 设函数 要求y=f(x)在 x=0 和 x=1 处连续可导，应有故 2a+b=一 1，所以 a=一 1，因此解得二次曲线为 y=一 x2+x+1【知识模块】 微积分36 【正确答案】 (1)设曲线 L1 方程为 y1=x2+ax+b，曲线 L2 方程为 2y2=一
27、 l+xy23，在(1，一 1)点处，应满足条件： 曲线 L2 是隐函数表示式，求导如下： 2y 2=y23+3y22.y2.x， 解得 a=一 1， b=1(2)将 xy=yx 两边取对数再求导，代入(1，1)解得 y(1)=1. 切线方程为 y一 1=x 一 1，即 y=x 法线方程为 y-1=一 1(x-1)，即 y=一 x+2【知识模块】 微积分37 【正确答案】 先应求隐函数 y(x)在 x=1 点处的导数：在曲线方程两边取对数，利用对数求导法，有 ylnx=2lnx+lny， ，可得 y(1)=一1按导数的几何意义，可知曲线在(1，1)点处的切线方程为 y 一 1=一(x-1) ，
28、即 x+y 一 2=0【知识模块】 微积分38 【正确答案】 先设切点为(x 0，x 02+x0+1)，则过此点的曲线的切线斜率为=(x2+x+1)|x=x0=2x0+1，故过切点(x 0，x 02+x0+1)的切线方程为 y-(x 02+x0+1)=(2x0+1)(x 一 x0)因为它通过原点，故有 0 一(x 2+x0+1)=一 x0(2x0+1)，即 x02=1，由此可得 x0=1，所以两切点为 M1(一 1，1)及 M2(1，3)这时，过 M1 点与 M2 点的切线斜率分别为可得所求两切线方程为 y 一 1=一 (x+1)； y 一 3=3(x 一 1)，即 x+y=0 与 3xy=0【知识模块】 微积分
