1、初等数学模拟试卷 1 及答案与解析一、数学部分单项选择题1 设|a|2（B） |a+b|+|a-b|s 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关8 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关9 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1
2、=0（D） 2=010 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关11 设向最组 1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23，
3、3+2112 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 513 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若孝 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仪含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量14 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，
4、方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时必有非零解（D）当 mn 时仪有零解16 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 1+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1)（C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2
5、(3-1)17 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)：若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 二、填空题18 若|x-2y-3|与|3x-4y+2|互为相反数，则 x2-y2=_;19 已知 y1=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解,
6、则该方程的通解为 y=_20 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若aij+A ij=0(i，j=1，2，3)，则 A =_21 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则PYa+1 Ya =_;三、解答题22 设向量 1， 2，., t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 初等数学模拟试卷 1 答案与解析一、数学部分单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 (|a+b|+|a-b|) 2=(a+b)2+2|a
7、2-b2|+(a-b)2 =2a2+2b2+2|a2-b2|， 当a2b2 时，有 (|a+b|+|a-b|) 2=2a2+2b2+2(a2-b2)=4a222 时，有 (|a+b|+|a-b|) 2=2a2+2b2-2(a2-b2)=4b22【知识模块】 初等数学2 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB=C，那么对矩阵 A，C 按列分块，有 这说明矩阵 C 的列向量组 1， 2， n 可由矩阵 A 的列向量组 1， 2， n 线性表出 又矩阵 B可逆，从而 A=CB-1 ，那么矩阵 A 的列向量组也可南矩阵 C 的列向量组线性表出 由向量组等价的
8、定义可知，应选(B) 或者，可逆矩阵可表示成若十个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换化为 C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系故选(B)【知识模块】 初等数学4 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 Yt(n)时，X 2 F(1，N) 故 Y 与 X2 同时分布。 当 c0 时，由t 分布的对称性有 PYc=PXc 2 =PX 2 c2 =PXc X-c =2PXc=2a 故选择 C。【知识模块】 初等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示 故可设 =k 11+k22+.+kmm 由于 小能由 1，
9、 2，., m-1 线性表示，故上述表达式巾必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-.-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除 (A)、(D) 若m 可由(I)线性表示，设 m=l11+l22+.+lm-1m-1 则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+km-1lm-1)m-1 与题设矛盾，故应选(B) 【知识模块】 初等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 根据定理“若 1， 2，., s 可由 1， 2，., t 线性表出，且 st，则1， 2，., s 必线性相关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【
10、知识模块】 初等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 初等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关
11、所以 1， 2 线性无关【知识模块】 初等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关 因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 初等数学11 【正确答案】 A【试题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2，
12、2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理【知识模块】 初等数学12 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说明有代数余子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n 一 1 阶于式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)1l，即 Ax=0 的基础解系仪含有一个非零解向量应选(B) 【知识模块】 初等数学14 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学15 【正确答案】 C【知识模块】 初等数学16
13、【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 是其次方程无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解.【知识模块】 初等数学17 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学二、填空题18 【正确答案】 135/4【试题解析】 |x-2y-3|=-|3x-4y+2| ， 即 |x-2y-3|+|3x-4y+2|=0。 因为任一实数的绝对值是非负数，故必有 |x-2y-3|=0, |3x-4y+2|=0， 解此方程组，得 x=-8，y=-11/2，于是， x 2-y2=64-121/4=135/4【知识模块】 初等数学19 【正确答案】 C 1e3x +Cex -xe2x 【知识模块】 初等数学20 【正确答案】 -1【知识模块】 初等数学21 【正确答案】 1-e -1 【知识模块】 初等数学三、解答题22 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，【知识模块】 初等数学
