1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 104 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 的值等于( )。（A）0（B） n（C） n（D）2n2 一个容器中盛有纯酒精 10 升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出同样的升数，再用水加满，这时容器中酒精的浓度是 36，则每次倒出的溶液为( )。（A）4 升（B） 5 升（C） 7 升（D）8 升3 某产品由甲、乙两种原料混合而成，甲、乙两种原料所占比例分别为 x 和 y。当甲的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙的价格在 40 元的基础上下降 10时，该产品的成本
2、保持不变，那么 x 和 y 的值分别为( )（A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，554 已知如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC，B=45，C=120，AB=8则 CD长为( ) 5 在等差数列a n中，a 3=2，a 11=6，数列b n是等比数列；若 b2=a3，b 3= ，则满足 的最大的 n 是( )。（A）3（B） 4（C） 5（D）66 已知复数 z 满足 则|1+z|=( ) 。（A）0（B） 1（C）（D）27 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大
3、小为( )。（A）90（B） 60（C） 45（D）308 (|x|+ 2) 3 展开式中的常数项是( )。（A）12（B） 20（C） 12（D）209 已知向量 a=( 3)，b=(1，2) ，若 ma+b 与 a2b 平行，则实数 m 等于( )。（A）2（B） 2（C）（D）10 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有( )种。（A）90（B） 180（C） 270（D）54011 抽签面试时，从 8 个考题中任取 1 个题解答，如果 8 个题中有 2 个难题、6 个容易题，第 3 名考生抽到难题的概率 p=( )
4、。 12 若曲线 y=ax2 与曲线 相切，则 a=( )。 13 平面直角坐标系中向量的集合：A=a|a=(2，1)+t(1，1)，tR，B=b|b=(1，2)+t(1，2)，tR，则 AB=( )。（A）(2，1)（B） (1， 2)（C） (2， 1)，(1，2)（D）14 设 r0，在圆 x2+y2=r2 属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )。（A）r（B）（C）（D）2r15 已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )。 16 设 f(x)的定义域是1 ，0，则 的定
5、义域是( ) 。 17 设 f(x)的导数为 lnx，则 f(x)的一个原函数是( )。 18 19 （A）曲线 f(x)在(一，0)内是凹的，在(0，+) 内是凸的（B）曲线 f(x)在(一，0)内是凸的，在(0，+)内是凹的（C）曲线 f(x)在(一，+)内是凹的（D）曲线 f(x)在(一，+) 内是凸的20 21 在(0 ，+) 内 f(x)0，若 存在，则( )。（A）在(0 ，+)内 f(x)0（B）在 (0，+)内 f(x)0，在(1，+) 内 f(x)022 行列式 展开式中 x4 的系数是( )。（A）2（B） 2（C） 1（D）123 设 1、 2、 3 线性无关，则( )也
6、线性无关。（A） 1+2、 2+3、 3 一 1（B） 1+2、 2+3、 1+22+3（C） 1+22、2 2+33、3 3+1（D） 1+2+3、2 13 2+223、3 1+525 324 设 A 为 n 阶方阵，r(A)=n3，且 1、 2、 3，是 AX=0 的 3 个线性无关的解向量，则 AX=0 的基础解系为( )。（A） 1+2、 2+3、 3+1（B） 2 1、 3 2、 1 3（C） 22 1、 33 2、 1 3（D） 1+2+3、 3 2、 12 325 已知矩阵 是 A 的一个特征向量，则 a 所对应的特征值是( ) 。（A） 1（B） 1（C） 2（D）2工程硕士（
7、GCT ）数学模拟试卷 104 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 设每次倒出 x 升溶液 第一次倒出 x 升后，容器内有纯酒精(10x)升，再加入 x 升水后，容器内酒精溶液的浓度是 第二次倒出 x 升后，容器内所剩(10 x)升酒精溶液中纯酒精为则有 整理，得(10 x)2=36，解得 x=4 或 x=16(舍去)故选 A3 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲原料和乙原料分别是 x 和 y，其成本为 60x+40y当甲、乙
8、原料的价格改变后，其成本为 66x+36y；所以 60x+40y=66x+36y，从而得 x：y=2：3，故 x=40，y=60 故选 B4 【正确答案】 A【试题解析】 分别过点 A、D 作 AEBC，DFBC 与 BC 及其延长线交于点E、F 5 【正确答案】 B【试题解析】 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d， 设等比数列b n的首项为 b1，公比为 q 故得到 n 最大的值为 46 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 当作为侧面的三角形 ADC 垂直于作为底面的三角形 ABC 时，三棱锥的高最大， 此时三棱锥的体积也最大过 D 点作 DOAC，连接D
9、BO 即为直线 BD 和平面 ABC 所成的角 因为 tanDBO= =1，所以DBO=45故选C8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 C【试题解析】 10 【正确答案】 D【试题解析】 让 3 所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有 种，再由学校乙挑选，有 种，余下的学校丙只有一种，于是不同的方法共有种故选11 【正确答案】 A【试题解析】 A i=“第 i 名考生抽到的难题”，i=1，2，3 12 【正确答案】 A【试题解析】 13 【正确答案】 B【试题解析】 即 2：2xy+4=0，直线 1 和 2 是相交的直线，有一个交点(1，2)所以 AB只有一个元素向量(1，2)14
10、【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设圆上任意点 P0(x0，y 0)， 其中 x00，y 00 过 P0 的切线与 OP0 垂直，切线斜率 即 x0x+y0y=r2切线与 x 轴和 y 轴分别交于点 15 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为 r 和尺；由题意有： DE=OC=r，OA=OB=R ， RtBEDRtBOA 16 【正确答案】 C【试题解析】 及1sinx0 ，即 2k 1x2k(k 为整数) 联立解得 故选C17 【正确答案】 A【试题解析】 18 【正确答案】 D【试题解析】 19 【正确答案】 B【试题解析】 当
11、x0 时，F(x)0； 所以曲线 F(x)在(一，0)内是凸的；在(0，+) 内是凹的故选 B20 【正确答案】 A【试题解析】 由积分的性质可得：I 1I 1I 1 故选 A21 【正确答案】 D【试题解析】 解法一，特殊值代入法： 取 f(x)=x1，则有 f(x1)=x 2，那么又 f(x)=10，所以 f(x)=x1 满足题意 显然在在(0，1)内 f(x)0 解法二，因为 存在及 x2 时分母的极限为 0，所以又 f(x)可导，从而 f(x)连续，所以由于 f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增于是当 x(0，1)时，f(x)f(1)=0故选 D22 【正确答案】 A【试题解析】
12、要使行列式 展开式中含 x4，则在行列式中，各不同的行、列都有 x，即(2x.x.x.x)=2x 4(即对角线上都为 x)故选 A23 【正确答案】 C【试题解析】 A 中，3 个向量对 1、 2、 3 表示矩阵的行列式为：因而 A 中，向量线性相关只有 C 中向量线性无关故选 C24 【正确答案】 A【试题解析】 因为 r(A)=n3，可知 AX=0 的基础解系所含向量的个数为n(n3)=3； 又因为 1、 2、 3 为 AX=0 的 3 个线性无关解向量 所以1、 2、 3 为 AX=0 的基础解系 且由 1(2 1)+1(3 2)+1(1 3)=0 (22 1)+2( 3 2)+(1 3)=0 (1+2+3)+(3 2)+( 12 3)=0 故知，B、C、D 中 3 组向量线性相关，不可能作为 AX=0 的基础解系故选 A25 【正确答案】 A【试题解析】 由 Aa=a，而 故 =1 故选 A
