1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 106 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 P 是数轴上的一定点，坐标为1，Q 是数轴上的一动点，若要求 Q 与 P 的距离不超过 1，则点 Q 的坐标 x 的取值范围为 （A）z1 1（B） x11（C） x11（D）x112 已知 a，b， c 是从小到大的 3 个相邻奇数若 ab132，bc342，且 b 是合数，则 （A）（B）（C）（D）3 某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了 5 台，如果测得的每台无故障启动次数分别为1
2、1300，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为 （A）10300（B） 10400（C） 10500（D）106004 某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y，若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙物品的价格在 40 元的基础上下降10时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于 （A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，555 把 6 个人分配到 3 个部门去调研，每部门去 2 人，则分配方案共有 种（A）15（B） 105（C） 45（D）906 某车间生产的一种零件
3、中，一等品的概率是 09生产这种零件 4 件，恰有 2件一等品的概率是 （A）00081（B） 00486（C） 00972（D）0067 已知复数 z 的模z 2，虚部 Imz ，实部 Rez0，则 z2 （A） （B） （C） （D） 8 有下列 3 个不等式：x1(x1)2， ， 4x2 x1 则 （A）和的解集相同 （B） 和的解集相同（C） 和的解集相同 （D），和的解集各不相同9 已知方程(x 22xp)(x 22xq) 0 的四个根构成一个首项为 的等差数列，则pq （A）1 （B） （C） （D） 10 an是等比数列，首项 a10，则a n是递增数列的充分必要条件是公比 q
4、满足 （A）q0（B） q1（C） q0（D）0q111 记 APQR 的面积为 SPQR已知 ABC 的重心是 G，P 是ABC 内的一点， 若 ，则 P 点 （A）在GAB 内（B）在 GBC 内（C）在 GCA 内（D）与 G 点重合12 ABC 为锐角三角形已知 ，BC5，则ABC 的面积等于 （A）5（B）（C）（D）1013 已知平面向量 a，b 满足 a(2，1)，b 1，则a2b的最小值为 （A）0（B）（C）（D）14 如果直线 l：x2y20 过椭圆 (ab0)的左焦点 F1 和短轴上的顶点(0， b)，则该椭圆的离心率等于 （A）（B）（C）（D）15 棱长为 1 的正方
5、体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于 （A）2（B）（C） 3（D）416 设 f(x)具有连续导数，且 ，则 （A）f(0)0 且 f(0)2（B） f(0)0 且 f(0)1（C） f(0) 1 且 f(0)2（D）f(0)1 且 f(0)117 设 则 （A）f(x)在 x0 处间断（B） f(x)在 x0 处连续但不可导（C） f(x)在 x0 处可导，但导数在 x0 处不连续（D）f(x)在 x0 处有连续导数18 在(0 ，)内，f(x) 0，若 存在，则 （A）在(0 ，) 内 f(x) 0（B）在 (0，)内 f(x)0（C）在 (0，1)内 f(x)0，在 (1，)
6、内 f(x)0（D）在(0 ，1) 内 f(x)0，在(1，)内 f(x)019 在e，e 2上的最大值为 （A）0（B） 1（C） 2ln2（D）20 若 lnx 是 f(x)的一个原函数，则 xf(ex)dx （A）x xe xC（B） xexexC（C） xexexC（D）xe x exC21 f(x)为连续函数， (a 为常数)，则 I （A）（B） a（C） 2a（D）022 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2A0若 A 的秩为 3，则 A 的特征值为 （A）1，1，1，0（B） 1，1，1，0（C） 1，1，1，0（D）1，1，1，023 设矩阵 (aibi0，i ，j1，2，
7、n)，则矩阵 A 的秩为 （A）0（B） 1（C） n（D）无法确定24 向量组 1( 1，2 ，1，1) T， 2(1，3，2，1) T， 3(0，1，1，0)T， 4(1，4，3，4) T 的极大线性无关组是 （A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2（D） 3， 425 设 1， 2， 3 均为三维向量， 2， 3 线性无关， 1 223，A ( 1， 2， 3)，b 1 22 33，k 为任意常数，则线性方程组 Axb 的通解为 （A）k(1 ，1，2) T(1，2，3) T（B） k(1，2，3) T(1 ，1，2) T（C） k(1，1，2) T(1 ，2，3)
8、T（D）k(1 ，2，3) T(1，1，2) T工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 106 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 点的坐标为1，Q 点的坐标为 x，如图所示，P 与 Q 的距离为x(1)x1，又 P 与 Q 的距离不超过 1，即x11 故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab132 12111 2，ab 342 36119 2 可知11abc19根据 b 是合数可知 a，b ，c 分别是 13，15，17，所以 故选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 这
9、 5 台洗衣机的平均无故障启动次数为 故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是 x 和 y，其成本为 60x40y当甲、乙物品的价格改变后，其成本为 66x36y，所以 60x40y66x36y，从而 ，故 x40，y60 故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 把 6 人先分为 3 组，每组 2 人，共有 C6215 种分法然后再把这3 组分配到 3 个部门，有 P336 种分配方法据乘法原理，总的分配方案有156 90 种 解这类有组合又有排列的问题，常常用先组合再排列的方法去考虑 故选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 4 件产品中，
10、2 件一等品，2 件非一等品的概率为 C 42(01) 2(09)200486 故选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 设复数 x 的实部为 a，则 ，即 a21因 a0，所以 a1，得到 故选 A 8 【正确答案】 D【试题解析】 不等式化成 x23x20，其解集为 (，1) (2，) 不等式化成不等式组 其解集为(2，) 不等式 化成22x2 x1 ，即 2xx1，x1，解集为(，1) 3 个不等式解集各不相同 故选 D9 【正确答案】 C【试题解析】 方程的 4 个根是二次方程 x22xp0 和 x22xq 0 的根x1，x 2，x 3，x 4它们构成一个等差数列，设其公差为 d不妨设
11、 ， x2x 1d， x3x 12d ， x4x 13d因此有 x1x 4x 2x 3而两个二次方程各自两根之和都等于 2，所以 x1 和 x4，x 2 和 x3 分别为两个方程的根，可以设 x1x 42，x 1x4P， x 2x 32，x 2x3q已设于是得 故选 C10 【正确答案】 D【试题解析】 a n)是递增的等比数列，由 a10，a 2a 1q，a 2a 1，即 a1qa 1，就得到 q1但是如果 q 0，则 a20，a 30，与 an)递增矛盾所以得到q0在 4 个选项中只有选择 D 事实上，若 0q1，a 10，则数列a1，a 1q，a 1q2，a 1qn1，各项都是负数，各项
12、的绝对值是递减的，所以a n是递增数列 故选 D11 【正确答案】 A【试题解析】 画出ABC，如图所示，对重心 G 有 。对对于 P 点，已知 ，PAB 和GAB 有共同的底边 AB，所以 PAB 在 AB 边上的高为GAB 在 AB 边上高的一半，即 P 在GAB 平行于 AB 的中位线或其延长线上同理分析PCA 在 CA 边上的高与 AGC 在 CA 边上的高相等，若连 PG，则PGAC 即可判定 P 在 GAB 内 故选 A12 【正确答案】 D【试题解析】 因为B 和 C 均为锐角，由已知得故选D13 【正确答案】 D【试题解析】 设 a，b 的夹角为 ，则 a2b 2(a2b).(
13、a2b) a 24b 24 ab cos 当 cos1 时，a2b 最小，此时 a2b 2 所以a2b 故选D14 【正确答案】 D【试题解析】 左焦点 F1 的坐标为(c ，0)，F 1 在 l 上，所以c20，c2 顶点(0， b)也在 l 上，所以2620，b1，故 a 2b 2c 21 22 25。所以 故选 D15 【正确答案】 C【试题解析】 正方体的对角线是球的一条直径，设球的半径为 r，则 ，即得 球面面积 4r23 故选 C16 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C17 【正确答案】 D【试题解析】 首先注意到，这表明 在x0 附近有界且 ，所以 (无穷小量乘有界量为无穷小
14、量)，因而 f(x)在 x0 处连续所以 f(x)在 x0 处连续 故选 D18 【正确答案】 D【试题解析】 因 存在及 x2 时分母的极限为 0，所以 (x1)0又 f(x)可导，从而 f(x)连续，故 f(x1)f(21)f(1)0 因 f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增的，于是，当 x(0，1)时 f(x)f(1)0，当 x(1，)时，f(x)f(1)0 故选 D19 【正确答案】 D【试题解析】 I(x)=(1/x)lnx，当 xe，e 2时，I(x)0，所以 I(x)在e，e 2是单调递增函数，I(x)在 e，e 2上的最大值是 故选D20 【正确答案】 C【试题解析】 由原
15、函数定义有 f(x)(lnx) ，从而 故选 C21 【正确答案】 A【试题解析】 在 中令 axt，当 x0 时，ta；当 xa时，t 0；dxdt所以 故选 A22 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 的秩为 3，所以 4 阶实对称矩阵 A 有一个零特征值和三个非零特征值设其非零特征值为 ，与 对应的特征向量为 x，则由 A2A0 可知(A2A)x( 2)x 0故 2 0，即 1 故选 D23 【正确答案】 B【试题解析】 均为 n 维列向量因此 r(A)r( T)r()1，这说明 A 的秩要么是 0，要么是 1又 A 中有非零元素 a1b10，所以 A 的秩是 1 故选 B24 【正
16、确答案】 B【试题解析】 A( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3， 4)，显然r(1， 2， 3， 4)r(A)r(B) 3， 2， 3， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组 故选 B25 【正确答案】 A【试题解析】 b ( 1， 2， 3) 所以 (1 ，2，3) T 是非齐次线性方程组的一个特解系中含有一个解向量因 12 23，即( 1， 2， 3) 0，所以 (1，1，2) T 是齐次线性方程组的一个非零解因此，方程的通解为k(1，1，2) T(1，2，3) T无法判断 k(1，2，3) T(1，1，2) T 为齐次线性方程组的解，因此不选 B，C，D。故选 A。
