1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 107 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 电影开演时观众中女士与男士人数之比为 5：4，开演后无观众入场放映一段时间后，女士的百分之二十、男士的百分之十五离场，此时在场的女士与男士人数之比为 （A）04:05（B） 01:01（C） 05:04（D）20：172 （A）（B）（C）（D）3 半径分别为 60m 和 40m 的两条圆形轨道在点 P 处相切两人从 P 点同时出发，以相同的速度分别沿两条轨道行走，当他们第一次相遇时，沿小圆轨道行走的人共走了 圈（A）2（B） 3（
2、C） 4（D）64 在一条长为 180m 的道路两旁植树，每隔 2m 已挖好一坑，由于树种改变，现改为每隔 3m 栽一棵树则需重新挖坑和填坑的个数分别是 （A）30，60（B） 60，30（C） 60120（D）120，605 已知 xR，若 (1 2x)2005a 0a 1xa 2x2a 2005x2005，则(a 0a 1)(a 0a 2)(a 0a 2005) （A）2003（B） 2004（C） 2005（D）20066 同时抛掷 3 颗骰子，每颗骰子出现的点数之积为偶数的概率是 （A）（B）（C）（D）7 已知函数 f(x)min2x 2，x)，xR，f(x) 的最大值为 （A）2（
3、B） 0（C） 1（D）28 若实数 a， b，c 满足 abc，且 abc 0，则有 （A）abac（B） acbc（C） abc b（D）a 2b 2 c29 方程 的解集是 （A）0（B） log73（C） (0，log 73（D）(0 ，log 3710 设 n 为非负整数，则n1n2n100的最小值是 （A）2475（B） 2500（C） 4950（D）505011 在圆心为 0，半径为 10 的圆内有一点 P若 OP8，则过 P 点的弦中，长度为整数的弦有 条（A）9（B） 12（C） 16（D）1812 AABC 为锐角三角形， A，B，C 的对边是 a，b，C已知B2A ，则b
4、：a 的取值范围是 （A）(2，2)（B） (0，2)（C）（D）13 已知平面上 A，B，C 三点不共线，P 是平面上一点，满足 ，则点 P （A）在 AABC 外部（B）在 ABC 内部（C）在直线 AB 上（D）在直线 AC 上14 椭圆 c 的两个焦点为 F1，F 2，过 F2 作 C 长轴的垂线，交 C 于点 P若F 1PF2 为等腰直角三角形，则 C 的离心率为 （A）（B）（C）（D）15 在直角三角形 ABC 中， C90，A30 ，AB 4，则将该三角形以 AB 边为轴旋转一周所得几何体的体积为 （A）12（B） 4（C） 8（D）616 已知 f(x)是(，)上的奇函数，且
5、 f(0)存在，设 则函数 F(x)在点 x0 处 （A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导17 方程 x2e x 根的个数是 （A）0（B） 1（C） 2（D）318 设函数 ，则 （A）函数 f(x)有极值点，且曲线 f(x)有拐点（B）函数 f(x)有极值点，但曲线 f(x)无拐点（C）函数 f(x)无极值点，但曲线 f(x)有拐点（D）函数 f(x)无极值点，且曲线 f(x)无拐点19 设 f(ex)x 2ex，且 f(1)1，则 f(x) （A）ln 2x（B）（C） e2x（D）20 设 f(x)是连续函数，且 ，则 （A）当 x(1，1)时， f(z
6、)0（B）当 x(1，1)时， f(x)0（C）在 (1，1)内 f(x)至少有一个零点（D）A、B、C 均不正确21 f(x)满足方程 ，则 f(x) 。（A）（B）（C）（D）不确定22 方程 f(x) 0 的根的个数是 （A）0（B） 1（C） 2（D）323 设 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABCI ，其中 I 是 n 阶单位阵，则下列等式中一定正确的是 （A）BACI（B） ACBI（C） CBAI（D）BCAI24 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关 (1)若 it维列向量组1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m线性表出；
7、(2)若 n 维列向量组 1， 2， m 线性无关，则向量组1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出； (3)若 n 维列向量组1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价； (4)n 维列向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是矩阵A( 1， 2， m)的秩等于矩阵 B( 1， 2， m)的秩 上述命题中，正确命题的个数为 个（A）1（B） 2（C） 3（D）425 设三阶矩阵 A 满足A2I0，2IA0，3I2A 0，则A （A）12（B） 12（C） 6（D）6工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 107 答案与解析一、选择题（25
8、题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，所求比例为 。故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 两人从 P 点出发，等到相遇时，各自走的圈数应为正整数，大轨道半径是小轨道半径的 15 倍，两人速度相同，因此当走大轨道的人走 2 圈时，走小轨道的人正好走了 3 圈，此时两人第一次相遇故选 B 4 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个关于植树问题和最小公倍数问题的综合题为了求解问题，只需要讨论清楚 6m 长的道路情况便可在 6m 长的道路上，一边需重新挖坑 1 个
9、，填坑 2 个，两边则需重新挖坑 2 个，填坑 4 个从而 180m 的道路上共需重新挖坑60 个，填坑 120 个故选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，可得 a01当 x1 时有 a 0a 1a 2a 2005(12)2005 1 所以 (a 0a 1)(a 0a 2)(a 0a 2005)a 0a 1a 20052004a 0 120042003 故选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 基本事件共有 666 个其中点数之积为奇数的事件，即 3 颗骰子均出现奇数的事件，共有 333 个，所以点数之积为偶数的概率 故选 D 也可考虑 3 颗骰子出现的点数有 8 种情况，即，
10、奇奇奇、奇奇偶、奇偶奇、奇偶偶、偶奇奇、偶奇偶、偶偶奇、偶偶偶，它们都是等可能的其中有 7 种情况乘积为偶数，所以 。7 【正确答案】 C【试题解析】 作函数 yx 和 y2x 2 的草图(见图)，直线和曲线有两个交点，交点横坐标由 2x2x 解出 x2 和 x1取两曲线在下方的部分，可知从图中见到 f(x)最大值在 x1 处取到，f(1)1 故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 从条件 abc，且 abc0，可知一定有 a0，c0从 bc，两边乘正数 a，便得到 A注意从 a c，两边乘b ，是得不到 C 的，因为可能 b 0从 ab ，两边乘 c 也得不到 B因为 c0，应得 dcbc
11、因c0，D 也是得不到的故选 A9 【正确答案】 C【试题解析】 解这类指数方程可以用两边取对数的方法，得到 xlog 73x 2， x(x log73)0解得 x0 和 xlog 73所以解集为 C 如果取以 3 为底的对数，得xx 2log37,解得 x0 和 ，用对数的换底公式，也得到选项 C如果一时不好确定取什么为底的对数，也可以用 lg 或 ln，再注意换底公式的应用 故选C10 【正确答案】 B【试题解析】 观察当 n 0 时和为 S 12 100 5050当n1 或 n100 时，有 S012994950再看 n2 或 n99 时，有 S101 298 4852看出从 n1，2
12、，3，50，S 随 n 增加而递减，n51，52， ，100，则 S 随 n 增加而递增当 n50 或 51 时， S4948 210 1250 (49505051) 2500这是 S 的最小值 故选 B11 【正确答案】 C【试题解析】 过 P 作一条直径和与此直径垂直的弦 AB(见图)OAP 为直角三角形，其中 OA10，OP8，所以 PA6过 P 点的弦中，最短的弦为 BA，其长度为 12最长的弦为直径，其长度为 20所以长度为整数的弦的长度分别为12，13，14，15，16，17，18，19，20其中长度为 12 和 20 的各有一条弦，其余各有两条弦，所以共有 16 条弦 故选 C1
13、2 【正确答案】 D【试题解析】 由正弦定理 由于，又因 ABC3AC ，所以 C3A又因所以 即 故选 D13 【正确答案】 D【试题解析】 已知 所以共线，P 点在直线 AC 上 故选 D 事实上，P 是 ABC的 AC 边上一个三等分点14 【正确答案】 D【试题解析】 F 1PF2 为等腰直角三角形， PF2F190 ，PF 2F 1F2所以 PF 1 2F 1F2 2PF 2 22F 1F2 2而F 1F22c ，PF 12aPF 22a2c ，所以 (2a2c) 22(2c) 2，即 c22aca 20，两边同除 a2 得 解得离心率 故选 D15 【正确答案】 B【试题解析】 如
14、图所示该三角形中，BCABsinA 2，ACAB cosA 设 AB 边上的高为 cD，则 将三角形以 AB 为轴旋转一周后，所得几何体的体积为故选 B16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(0)存在，所以 f(x)在 x0 连续又因 f(x)是奇函数，从而 f(0)0，因而有 这表明F(x)在 x0 处可导 故选 D17 【正确答案】 C【试题解析】 把方程改写为 exx20，所以只需考查 f(x)e xx2 零点的个数 令 f(x)e x10，得 x0当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0因此f(x)在(，0)内单调递减，在(0，)内单调递增这表明 f(x)分别在( ，0)
15、 和(O，)内至多有一个零点 又 f(0)1，f(2)e 20，f(2)e 240由连续函数的零点存在定理可知，f(x)在(2，0)，(0，2)内分别至少有一个零点 综合上述，f(x)分别在( ，0)和(0，)内各只有一个零点 故选C18 【正确答案】 B【试题解析】 由(1)，(2)式可得曲线 f(x)无拐点，在 x1 处取得极大值故选 B19 【正确答案】 B【试题解析】 在 f(ex)x 2ex 中，则 ext，则 x lnt，于是 将 f(1)1 代入上式得 C1，所以 故选 B20 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理，存在 11，0使得 因，所以 10，所以存在 11，0)
16、使得 于是得 f(1)0同理存在 2(0，1使，( 2)0，由连续函数的零点存在定理得存在 (1， 2)使得 f()0 故选 C21 【正确答案】 A【试题解析】 设 ，对方程 作0，1上的定积分，有 故选 A22 【正确答案】 B【试题解析】 由于 所以 f(x)7x0 只有一个根 x0 故选 B23 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ABCI，所以 A(BC)1，故 BCA 1，从而(BC)ABCAI 故选 D24 【正确答案】 A【试题解析】 设 1(1，0，0) T， 2(0，1，0) T， 1(1，0，0)T， 2(0，0，1) T，则 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关但
17、 2 不能由1， 2 线性表出， 2 也不能由 1， 2 线性表出，因此命题(1)，命题(2)都是错误的，从而命题(3)也是错误的由排除法，只有命题(4) 是正确的 故选 A 事实上，可以证明命题(4)是正确的： 必要性若向量组 1， 2， m 线性无关则矩阵B( 1， 2， m)的秩 r(B)m，由题设向量组 1， 2， m 线性无关，因此矩阵 A( 1， 2， m)的秩 r(A)m从而有 r(A)r(B) 充分性 因 r(A)r(B)，即 r(1， 2， m)r( 1， 2， m)又 1， 2， m 线性无关，因此 r(1， 2， m)m，故 r(1， 2， m)m，即 1， 2， m 线性无关25 【正确答案】 C【试题解析】 设 0 是 A 的一个特征值，则 0 必然满足方程 f(0) 0IA0，因此满足 f(0) 0IA0 的 0 一定是 A 的一个特征值 由A 2I( 1)(2IA) (1)32IA0，可知 12 是 A 的一个特征值 由2IA(1)(2IA)( 1)3(2)IA0，可知 22 是 A的一个特征值由3I2A是 A 的一个特征值而 A 为三阶矩阵，最多只能有 3 个不同的特征值利用矩阵特征值的性质得A 1236故选 C
